空間向量及其運(yùn)算知識總結(jié)

1、空間向量及其運(yùn)算1空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量注：空間的一個(gè)平移就是一個(gè)向量向量一般用有向線段表示同向等長的有向線段表示同一或相等的向量空間的兩個(gè)向量可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段來表示2空間向量的運(yùn)算定義：與平面向量運(yùn)算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘向量運(yùn)算如下OB OA AB a b ; BA OA OBab ; OPa(R)運(yùn)算律：加法交換律：abbaDC加法結(jié)合律： (ab )ca(bc )A數(shù)乘分配律：(ab)abBa3平行六面體：平行四邊形 ABCD平移向量 a 到 A B C D 的軌跡所形成的幾何體，DC叫做平行六面體，并記作：ABCDA BCD它的

2、六個(gè)面都是平行四邊形，每個(gè)面的邊叫做平行六面體的棱AB4. 平面向量共線定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量由于任何一組平行向量都可以平移到同一條直線上，所以平行向量也叫做共線向量向量 b 與非零向量a 共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使 b a .要注意其中對向量a 的非零要求5 共線向量如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量 a 平行于 b 記作 a / b 當(dāng)我們說向量 a 、 b 共線（或 a /b ）時(shí)，表示 a 、 b 的有向線段所在的直線可能是同一直線，也可能是平行直線6 共線向量定理： 空間任意兩個(gè)向量a 、b（ b 0 ）

3、，a / b 的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使 a b .推論：如果 l 為經(jīng)過已知點(diǎn)A 且平行于已知非零向量a 的直線，那么對于任意一點(diǎn) O，點(diǎn) P 在直線 l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t 滿足等式OPOA t a 其中向量 a 叫做直線 l 的方向向量 .空間直線的向量參數(shù)表示式：OP OAt a 或 OP OAt (OBOA ) (1 t)OA t OB ，中點(diǎn)公式 OP1 (OA OB )27向量與平面平行：已知平面和向量 a ，作 OAa ，如果直線 OA 平行于 或在 內(nèi)，那么我們說向量 a 平行于平面 ，記作： a / 通常我們把平行于同一平面的向量，叫做共面向量BpPbMaA A說明：空間

4、任意的兩向量都是共面的8a, b 不共線，pO與向量共面向量定理：如果兩個(gè)向量a,b 共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)x, y 使 p xayb推論：空間一點(diǎn) P 位于平面 MAB 內(nèi)的充分必要條件是存在有序?qū)崝?shù)對x, y ，使 MP xMA yMB或?qū)臻g任一點(diǎn)O，有 OPOMxMAyMB或 OP xOAyOB zOM ,( xy z 1)上面式叫做平面MAB 的向量表達(dá)式9空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a, b, c 不共面，那么對空間任一向量p ，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組 x, y, z ，使 pxaybzc若三向量 a,b,c不共面，我們把 a, b, c 叫做空間的一個(gè)基底， a, b,c

5、叫做基向量，空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底推論：設(shè) O, A, B, C 是不共面的四點(diǎn)，則對空間任一點(diǎn)P ，都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)x, y, z，使OPxOAyOBzOC10空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量a,b ，在空間任取一點(diǎn)O ，作 OAa,OBb ，則AOB 叫做向量 a 與 b 的夾角，記作a, b；且規(guī)定 0a, b，顯然有a,bb , a；若a,b，則稱 a 與 b 互相垂直，記作：ab .211向量的模：設(shè)OAa ，則有向線段OA 的長度叫做向量a 的長度或模，記作：| a | .12向量的數(shù)量積：已知向量a, b ，則 | a | |b | cos

6、a ,b叫做 a,b 的數(shù)量積，記作a b ，即a b| a | |b | cos a ,b已知向量 ABa 和軸 l ，e 是 l 上與 l 同方向的單位向量，作點(diǎn) A 在 l 上的射影A ，作點(diǎn) B 在 l上 的 射 影 B ， 則 A B 叫 做 向 量 AB 在 軸 l 上 或 在 e 上 的 正 射 影 .可以證明 AB 的長度| A B | | AB | cosa,e| a e | 13空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：（1） a e | a | cos a, e（ 2） a ba b0 （ 3） | a |2 a a 14空間向量數(shù)量積運(yùn)算律：（1） ( a) b(a b)a ( b ) （

7、 2） a b ba （交換律） （3） a (b c)a b ac （分配律）z空間向量的直角坐標(biāo)及其運(yùn)算1 空間直角坐標(biāo)系：（ 1）若空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直， 且長為 1，這個(gè)基底叫單位正交基底，用 i, j, k 表示；（ 2 ）在空間選定一點(diǎn) O 和一個(gè)單位正交基底 i , j , k ，以點(diǎn) O 為原點(diǎn)，分別以 i, j , k 的方向?yàn)檎较蚪⑷龡l數(shù)軸：x 軸、 y 軸、 z 軸，它們都叫坐標(biāo)軸我們稱建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系Oxyz，點(diǎn) O 叫原點(diǎn)，向量i , j ,k 都叫坐標(biāo)向量通過每兩個(gè)坐標(biāo)軸的平面叫坐標(biāo)平面，分別稱為 xOy 平面， yOz 平面， zOx 平

8、面；2空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系Oxyz 中，對空間任一點(diǎn)A ，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組 ( x, y, z) ，使 OAxiyjzk，有序?qū)崝?shù)組(x, y, z) 叫作向量A 在空間直角坐標(biāo)系 Oxyz 中的坐標(biāo)，記作A( x, y, z) ， x 叫橫坐標(biāo)，y 叫縱坐標(biāo)，z 叫豎坐標(biāo)A(x,y,z)ki OjyxzDCABDC yx ABzA常見坐標(biāo)系正方體：如圖所示，正方體 ABCD A B C D 的棱長為 a ，一般選BDOyCx擇點(diǎn) D 為原點(diǎn)， DA 、 DC 、 DD 所在直線分別為 x 軸、 y 軸、 z 軸建立空間直角坐標(biāo)系 D xyz ，則各點(diǎn)坐標(biāo)為亦可選 A

9、點(diǎn)為原點(diǎn) . 在長方體中建立空間直角坐標(biāo)系與之類似.正四面體： 如圖所示， 正四面體 ABCD 的棱長為 a ，一般選擇 A 在BCD 上的射影為原點(diǎn)，OC 、 OD （或 OB ）、 OA 所在直線分別為x 軸、 y 軸、 z 軸建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz ，則各點(diǎn)坐標(biāo)為正四棱錐：如圖所示，正四棱錐PABCD 的棱長為 a ，一般選擇點(diǎn) P 在平面 ABCD 的射影為原點(diǎn)， OA（或 OC ）、OB（或 OD ）、OP 所在直線分別為x 軸、 y 軸、z 軸建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz ，則各點(diǎn)坐標(biāo)為正三棱柱： 如圖所示， 正三棱柱ABCA B C 的底面邊長為a ，高為 h ，一般選擇 AC

10、 中點(diǎn)為原點(diǎn)， OC （或 OA）、 OB 、 OE （ E 為 O 在 A C 上的射影）所在直線分別為 x 軸、 y 軸、 z 軸建立空間直角坐標(biāo)系 Oxyz ，則各點(diǎn)坐標(biāo)為3空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律：（1）若 a (a1 ,a2, a3 ) ， b (b1, b2 , b3 ) ，則 a b (a1 b1, a2 b2 , a3 b3 ) ，zPDCx AOB yzAEa b (a1 b1, a2b2 , a3b3 ) ， a ( a1, a2 , a3 )(R) ，CBa b a1b1 a2b2a3b3 ， a / ba1b1, a2b2 ,a3b3 (R) ，AOa b a1b1 a

11、2b2a3b30 CB（2）若 A( x1, y1, z1) ， B( x2 , y2 , z2 ) ，則 AB ( x2x1, y2y1, z2z1 ) yx一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)4 模長公式 ：若 a( a1 ,a2 , a3 ) ， b(b1, b2 ,b3 ) ，則 | a |a aa12a2 2a3 2 ， |b |b bb12b2 2b325夾角公式 ： cos a ba ba1b1a2b2 a3b3| a | | b |a12a2 2a3 2 b12b2 2b326兩點(diǎn)間的距離公式 ：若 A( x1 , y1, z1 )

12、， B(x2 , y2 , z2 ) ，2( x2 x1 )2 ( y2 y1)2(z2 z1)2，或 dA ,B( x2x1 )2( y2 y1 )2( z2 z1 )2則|AB|AB空間向量應(yīng)用一、直線的方向向量把直線上任意兩點(diǎn)的向量或與它平行的向量都稱為直線的方向向量. 在空間直角坐標(biāo)系中，由A( x1, y1, z1) 與 B( x2 , y2 , z2 ) 確定直線AB 的方向向量是AB( x2x1 , y2y1 , z2z1 ) .平面法向量如果 a，那么向量a 叫做平面的法向量 .法向量的求解 :_.二、證明平行問題1 線線平行 ：證明兩直線平行可用 a/ b a1 b1,a2b

13、2, a3b3( R) 或 a / ba1a2a3 .b1b2b32.線面平行 ：直線 l 的方向向量為a ，平面的法向量為 n ，且 l，若 an 即 an0 則 a/.3.面面平行 ：平面的法向量為 n1 ，平面的法向量為 n2 ，若 n1/ n2 即 n1n2 則/ .三、證明垂直問題1 線線垂直 ：證明兩直線垂直可用aba b a1b1 a2 b2a3b302 線面垂直 ：直線 l的方向向量為 a ，平面的法向量為 n ，且 l，若 a / n 即 an 則 a.3. 面面垂直 ：平面的法向量為 n1 ，平面的法向量為 n2，若 n1n2 即 n1n20 則.四、求夾角1線線夾角 ：設(shè)

14、 a(a1,a2,a3) b (b1,b2,b3)(0 ,90 為一面直線所成角，則：a b |a| |b| cosa,b；cosa, ba ba1b1 a2 b2 a3b3； cos| cosa, b| .| a | |b |a12a22a32b12b22b322 線面夾角 ：如圖，已知 PA 為平面的一條斜線， n 為平面的一個(gè)法向量，過 P 作平面的垂線 PO，連結(jié) OA則PAO 為斜線 PA 和平面所成的角，記為易得sin|sin(OP, AP) | cosOP, AP|2P| n PA |n| cos n, AP| | cosn, PA |.| n |PA |O3 面面夾角 ：設(shè) n

15、1 、 n2分別是二面角兩個(gè)半平面、 的法向量，A當(dāng)法向量 n1 、 n2同時(shí)指向二面角內(nèi)或二面角外時(shí)，二面角的大小為n1, n2；當(dāng)法向量 n1 、 n2一個(gè)指向二面角內(nèi)，另一外指向二面角外時(shí)，二面角的大小為n1, n2.五、距離1 點(diǎn)點(diǎn)距離 ：設(shè) A( x1 , y1, z1 ) ， B( x2 , y2 , z2 ) ， d A,B( x2x1 )2( y2 y1 ) 2( z2z1 )2|AB|AB AB( x2x1 )2( y2y1 )2( z2z1) 22 點(diǎn)面距離 ： A 為平面任一點(diǎn)， 已知 PA 為平面的一條斜線， n 為平面的一個(gè)法向量，過P作平面的垂線 PO ，連結(jié) OA 則PAO 為斜線 PA 和平面所成的角，記為易得| PO | | PA | sin| PA | | cosPA, n| PA | | PA n | PA n | .|PA| n | n |3 線線距離： 求異面直線間的距離可以利用向量的正射影性質(zhì)直接計(jì)算.設(shè)兩條異面直線a 、 b 的公垂線的方向向量為 n ,這時(shí)分別在 a 、b 上任取 A 、 B 兩點(diǎn)，則向量在 n 上的正射影長就是兩條異面直線 a 、 b 的距離 .即兩