微積分大一上學(xué)期知識(shí)點(diǎn)

1、微積分知識(shí)總結(jié) 青島大學(xué)軟件工程班 陳雷第1章 函數(shù)，極限與連續(xù)第1節(jié) 函數(shù)注：函數(shù)是高中的重點(diǎn)知識(shí)，以下是高中函數(shù)全部重點(diǎn)，篇幅有點(diǎn)長(zhǎng)，供查閱。一、函數(shù)的概念與表示1、映射:設(shè)A、B是兩個(gè)集合，如果按照某種映射法則f，對(duì)于集合A中的任一個(gè)元素，在集合B中都有唯一的元素和它對(duì)應(yīng)，則這樣的對(duì)應(yīng)（包括集合A、B以及A到B的對(duì)應(yīng)法則f）叫做集合A到集合B的映射，記作f：AB。注意點(diǎn):判斷一個(gè)對(duì)應(yīng)是映射的方法:可多對(duì)一，不可一對(duì)多，都有象，象唯一.2、函數(shù):如果A,B都是非空的數(shù)集，那么A到B的映射f：AB就叫做A到B的函數(shù)，記作,其中.原像的集合A叫做函數(shù)的定義域.由所有象f(x)構(gòu)成的集合叫做的值

2、域，顯然值域是集合B的子集.構(gòu)成函數(shù)概念的三要素: 定義域(x的取值范圍)對(duì)應(yīng)法則（f）值域（y的取值范圍）兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的條件：定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致.二、函數(shù)的定義域、解析式與值域1、求函數(shù)定義域的主要依據(jù)：（1）整式的定義域是全體實(shí)數(shù)；（2）分式的分母不為零；（3）偶次方根的被開方數(shù)大于等于零；（4）零取零次方?jīng)]有意義（零指數(shù)冪的底數(shù)不為0）；（5）對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零；（6）指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)必須大于零且不等于1；（7）若函數(shù)是一個(gè)多項(xiàng)式，需要求出各單項(xiàng)式的定義域，然后取各部分結(jié)果的交集；（8）復(fù)合函數(shù)的定義域： 若已知的定義域，求復(fù)合函數(shù)的定義域，相當(dāng)于求使時(shí)的取值

3、范圍； 若已知復(fù)合函數(shù)的定義域，求的定義域，相當(dāng)于求的值域.2求函數(shù)值域的方法直接法：從自變量x的范圍出發(fā)，推出y=f(x)的取值范圍，適合于簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)；換元法：利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域，適合的形式；判別式法：運(yùn)用方程思想，依據(jù)二次方程有根，求出y的取值范圍；適合分子或分母為二次且R的分式；此種類型不拘泥于判別式法，如的形式可直接用不等式性質(zhì)；可先化簡(jiǎn)再用均值不等式；通常用判別式法； 可用判別式法或均值不等式；1-1-222分離常數(shù)：適合分子分母皆為一次式（x有范圍限制時(shí)要畫圖）；單調(diào)性法：利用函數(shù)的單調(diào)性求值域；圖象法：1.二次函數(shù)必畫草圖求其值域；在給定區(qū)間上求最值有兩類：

4、閉區(qū)間上的最值；求區(qū)間動(dòng)（定），對(duì)稱軸定（動(dòng)）的最值問題；注意“兩看”：一看開口，二看對(duì)稱軸與給定區(qū)間的位置關(guān)系.2.注意型函數(shù)的圖像在單調(diào)性中的應(yīng)用：增區(qū)間為，減區(qū)間為，；利用對(duì)號(hào)函數(shù)：（如右圖）；幾何意義法：由數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化距離等求值域.主要是含絕對(duì)值函數(shù)三函數(shù)的奇偶性1定義:設(shè)y=f(x)，xA，如果對(duì)于任意A，都有，則稱y=f(x)為偶函數(shù). 如果對(duì)于任意A，都有，則稱y=f(x)為奇函數(shù).2.性質(zhì)：y=f(x)是偶函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱, y=f(x)是奇函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;若函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則f(0)=0;奇±奇=奇 偶

5、7;偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇兩函數(shù)的定義域D1 ，D2，D1D2要關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱3奇偶性的判斷看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;看f(x)與f(-x)的關(guān)系或觀察函數(shù)圖像的對(duì)稱關(guān)系；4，復(fù)合函數(shù)的奇偶性：“內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外”四、函數(shù)的單調(diào)性作用：比較大小，解不等式，求最值.1、函數(shù)單調(diào)性的定義：如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值，當(dāng)時(shí)，都有，那么就稱函數(shù)在區(qū)間D上是增函數(shù)（減函數(shù)），區(qū)間D叫的單調(diào)區(qū)間. 圖像特點(diǎn)：增函數(shù)：從左到右上升（y隨x的增大而增大或減小而減小）； 減函數(shù)：從左到右下降（y隨x的增大而減小或減小而增大）；2.判斷單

6、調(diào)性方法：定義法上是增函數(shù)；上是減函數(shù).觀察法：根據(jù)特殊函數(shù)圖像特點(diǎn)；掌握規(guī)律：對(duì)于兩個(gè)單調(diào)函數(shù)和，若它們的定義域分別為和，且：(i)當(dāng)和具有相同的增減性時(shí)，的增減性與，相同，、的增減性不能確定；(ii)當(dāng)和具有相異的增減性時(shí)，我們假設(shè)為增函數(shù)，為減函數(shù)，那么：的增減性不能確定； 、為增函數(shù)；為減函數(shù).3.奇偶函數(shù)的單調(diào)性奇函數(shù)在其定義域內(nèi)的對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在其定義域內(nèi)的對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反。4. 復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的確定（同增異減）：是定義在M上的函數(shù)，若f(x)與g(x)的單調(diào)性相反，則在M上是減函數(shù)；若f(x)與g(x)的單調(diào)性相同，則在M上是增函數(shù).5、 函數(shù)的對(duì)稱性函數(shù)的

7、圖象的對(duì)稱性（自身）1.函數(shù)的圖象關(guān)于直對(duì)稱 特殊的有：函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱（奇函數(shù)）;函數(shù)是偶函數(shù)關(guān)于對(duì)稱;2.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱. 特殊的有： 函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱; 函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（奇函數(shù)）; 函數(shù)是奇函數(shù)關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱. 若一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)是它本身,那么它的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱.兩個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱性:函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線(即軸)對(duì)稱;函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱特殊地: 與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱;函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱的解析式為;函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的解析式為;函數(shù)與的圖像關(guān)于直線成軸對(duì)稱函數(shù)與的圖像關(guān)于直線成軸對(duì)稱函數(shù)的圖像與x = f (y)的

8、圖像關(guān)于直線 成軸對(duì)稱.六函數(shù)的周期性：1定義 若是周期函數(shù)，T是它的一個(gè)周期.說明：nT也是的周期。推廣：若，則是周期函數(shù)，是它的一個(gè)周期結(jié)論1：如果（），那么是周期函數(shù)，其中一個(gè)周期結(jié)論2：如果（），那么是周期函數(shù)，其中一個(gè)周期結(jié)論3：如果定義在上的函數(shù)有兩條對(duì)稱軸、對(duì)稱，那么是周期函數(shù)，其中一個(gè)周期結(jié)論4：如果偶函數(shù)的圖像關(guān)于直線（）對(duì)稱，那么是周期函數(shù)，其中一個(gè)周期結(jié)論5：如果奇函數(shù)的圖像關(guān)于直線（）對(duì)稱，那么是周期函數(shù)，其中一個(gè)周期結(jié)論6：如果函數(shù)同時(shí)關(guān)于兩點(diǎn)、（）成中心對(duì)稱，那么是周期函數(shù)，其中一個(gè)周期結(jié)論7：如果奇函數(shù)關(guān)于點(diǎn)（）成中心對(duì)稱，那么是周期函數(shù)，其中一個(gè)周期結(jié)論8：如果

9、函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)（）成中心對(duì)稱，且關(guān)于直線（）成軸對(duì)稱，那么是周期函數(shù)，其中一個(gè)周期結(jié)論9：如果或，那么是周期函數(shù)，其中一個(gè)周期結(jié)論10：如果或，那么是周期函數(shù)，其中一個(gè)周期結(jié)論11：如果，那么是周期函數(shù)，其中一個(gè)周期七、反函數(shù)1.只有單調(diào)的函數(shù)才有反函數(shù)；反函數(shù)的定義域和值域分別為原函數(shù)的值域和定義域；2、求反函數(shù)的步驟 （1）解 (2)換 (3)寫定義域。3、關(guān)于反函數(shù)的性質(zhì)（1）y=f(x)和y=f-1(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱；（2）y=f(x)和y=f-1(x)具有相同的單調(diào)性；（3）已知y=f(x)，求f-1(a)，可利用f(x)=a，從中求出x，即是f-1(a)；（4）f-1

10、f(x)=x;（5）若點(diǎn) (a,b)在y=f(x)的圖象上，則 (b,a)在y=f-1(x)的圖象上；（6）y=f(x)的圖象與其反函數(shù)y=f-1(x)的圖象的交點(diǎn)一定在直線y=x上; 八二次函數(shù)(涉及二次函數(shù)問題必畫圖分析)一般式： ；頂點(diǎn)式：；零點(diǎn)式：1二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a0)的圖象是一條拋物線，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)，開口向上，開口向下2二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系一元二次方程的根為二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a0)的的取值.韋達(dá)定理：3.一元二次不等式的解集(a>0)二次函數(shù)情況一元二次不等式解集Y=ax2+bx+c (a>0)=b2-4acax2+bx+

11、c>0 (a>0) ax2+bx+c<0 (a>0)圖象與解>0=0<0R九、指數(shù)式與對(duì)數(shù)式1冪的有關(guān)概念(1)零指數(shù)冪； (2)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪(3)正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪；(4)負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪(5) 0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義.2有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì) 3根式 根式的性質(zhì):當(dāng)是奇數(shù)，則；當(dāng)是偶數(shù)，則4對(duì)數(shù)(1)對(duì)數(shù)的概念:如果,那么b叫做以a為底N的對(duì)數(shù),記(2)對(duì)數(shù)的性質(zhì)：零與負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù) (3)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì) 對(duì)數(shù)換底公式：對(duì)數(shù)的降冪公式：（4）三個(gè)常用結(jié)論：；.十、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)1、 指數(shù)函數(shù)y=ax與對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax (a>0

12、, a1)互為反函數(shù)名稱指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)一般形式y(tǒng)=ax (a>0且a1)y=logax (a>0 , a1)定義域(-,+ )(0,+ )值域(0,+ )(-,+ )過定點(diǎn)（，1）（1，）圖象指數(shù)函數(shù)y=ax與對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax (a>0 , a1)圖象關(guān)于y=x對(duì)稱單調(diào)性a> 1,在(-,+ )上為增函數(shù)a<1, 在(-,+ )上為減函數(shù)a>1,在(0,+ )上為增函數(shù)a<1, 在(0,+ )上為減函數(shù)值分布y>1 ? y<1?y>0? y<0?指數(shù)函數(shù)圖像分布規(guī)律：時(shí)，越大函數(shù)圖像在y軸右側(cè)越靠近y軸； 時(shí)，越小函數(shù)圖

13、像在y軸左側(cè)越靠近y軸；對(duì)數(shù)函數(shù)圖像分布規(guī)律：時(shí)，越大函數(shù)圖像在x軸上方越靠近x軸； 時(shí)，越小函數(shù)圖像在x軸下方越靠近x軸；2. 比較兩個(gè)冪值的大小，是一類易錯(cuò)題，解決這類問題，首先要分清底數(shù)相同還是指數(shù)相同2、 ，如果底數(shù)相同，可利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；指數(shù)相同，可以利用指數(shù)函數(shù)的底數(shù)與圖象關(guān)系（對(duì)數(shù)式比較大小同理）3.研究指數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)問題，盡量化為同底，并注意對(duì)數(shù)問題中的定義域限制4.指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)中的絕大部分？問題是指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)與其他函數(shù)的復(fù)合問題，討論復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性是解決問題的重要途徑冪函數(shù)：一般地，形如的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中n為常數(shù).圖像及性質(zhì)：（1）所有的冪函數(shù)在（0，

14、+）都有定義，并且圖象都過點(diǎn)（1，1）（原因：）；所有的冪函數(shù)在第四象限沒有圖像.（2）n0時(shí)，冪函數(shù)的圖象都通過原點(diǎn)，并且在0，+上，是增函數(shù)（從左往右看，函數(shù)圖象逐漸上升）.特別地，當(dāng)時(shí)，圖像下凸，當(dāng)時(shí)，圖像上凸； （3）n0時(shí)，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間（0，+）上是減函數(shù). 在第一象限內(nèi)，當(dāng)向原點(diǎn)靠近時(shí)，圖象在軸的右方無限逼近軸正半軸，當(dāng)慢慢地變大時(shí)，圖象在軸上方并無限逼近軸的正半軸.十一函數(shù)的圖象變換1、平移變換：（左+ 右- ，上+ 下- ）即2、對(duì)稱變換：（對(duì)稱誰(shuí)，誰(shuí)不變，對(duì)稱原點(diǎn)都要變）十二函數(shù)的其他性質(zhì)1函數(shù)的單調(diào)性通常也可以以下列形式表達(dá)： 單調(diào)遞增； 單調(diào)遞減2函數(shù)的奇偶性也可以

15、通過下面方法證明： 奇函數(shù)； 偶函數(shù)3函數(shù)的凸凹性： 凹函數(shù)（圖象“下凹”，如：指數(shù)函數(shù)） 凸函數(shù)（圖象“上凸”，如：對(duì)數(shù)函數(shù)）十三函數(shù)的應(yīng)用:二次函數(shù)與二次方程的關(guān)系：設(shè)一元二次方程的兩個(gè)不等根為，且，相應(yīng)的二次函數(shù).方程的根即為二次函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)，他們的分步情況如下：分布情況函數(shù)圖像二次函數(shù)法二次方程法兩個(gè)負(fù)根xy兩個(gè)正根xy一正根，一負(fù)根兩根都小于kkxy兩根都大于kkxy一個(gè)大于k，一個(gè)小于kkyx兩根都在（m,n）內(nèi)mnyx兩根只有一個(gè)在（m,n）內(nèi)ynm一根在（m,n）內(nèi)，令一根在（p,q）內(nèi)n pq my函數(shù)零點(diǎn)問題：對(duì)于函數(shù)，把使的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn).零點(diǎn)存在性定理：如果

16、函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間（a,b）內(nèi)有零點(diǎn)，即存在使，這個(gè)c也就是方程的根.（1） 利用函數(shù)圖像解決函數(shù)零點(diǎn)問題（轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點(diǎn)問題）；（2） 利用零點(diǎn)性質(zhì)求參數(shù)取值范圍. 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用：一.利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線在某點(diǎn)處的切線方程是高考的熱點(diǎn)問題，解決該類問題必須熟記導(dǎo)數(shù)公式，明確導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在某點(diǎn)處切線的斜率，切點(diǎn)既在切線上又在曲線上注意：1.“過某點(diǎn)的切線”中的某點(diǎn)可以不在曲線上，而“在某點(diǎn)的切線”中的某點(diǎn)一定在這條曲線上；過某點(diǎn)的切線條數(shù)可能是不止一條，但在某點(diǎn)的切線條數(shù)必定唯一. 2.曲線的切線與這條曲線的公共點(diǎn)可能不唯一，只是在切點(diǎn)的鄰近區(qū)

17、域才是唯一的，當(dāng)曲線是二次曲線時(shí)，公共點(diǎn)只有一個(gè)；當(dāng)曲線為其他曲線時(shí)，公共點(diǎn)可能有多個(gè),如曲線在點(diǎn)（1,1）處的切線與該曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)（1,1），（-2，-8）2 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間、極值、最值利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極、最值問題已成為高考考查的熱點(diǎn)解決該類問題要明確：極值點(diǎn)一定是導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，但導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，導(dǎo)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)才是函數(shù)的極值點(diǎn)（例如是導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)但不是極值點(diǎn)；求單調(diào)區(qū)間時(shí)要注意函數(shù)定義域；求最值時(shí)需要把極值和端點(diǎn)值逐一求出，比較即可核心考點(diǎn)：1. 含參函數(shù)的單調(diào)性（區(qū)間）與極值、最值思路提示：第一步，求函數(shù)定義域；第二步，求導(dǎo)函數(shù)；第三步，以導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)存

18、在性進(jìn)行討論；第四步，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)存在多個(gè)零點(diǎn)時(shí)，討論他們的大小關(guān)系及與區(qū)間的位置關(guān)系；第五步，判斷導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，從而得出函數(shù)的單調(diào)性；第六步，綜合上述討論下結(jié)論.2. 含參函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性、無單調(diào)性或存在單調(diào)區(qū)間，求參數(shù)范圍思路提示：已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，轉(zhuǎn)化為或恒成立；先分析導(dǎo)函數(shù)圖像形式和特點(diǎn)，如一次函數(shù)最值落在端點(diǎn)，開口向上拋物線最大值落在端點(diǎn)，考口向下拋物線最小值落在端點(diǎn)等；已知區(qū)間上函數(shù)不單調(diào)，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上存在極值（即導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上存在變號(hào)零點(diǎn)），可利用分離變量法求解參變量范圍；或者利用補(bǔ)集思想；已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)增或減區(qū)間，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上大于或小于零有

19、解.3. 方程解（函數(shù)零點(diǎn)）的個(gè)數(shù)問題思路提示：研究函數(shù)的零點(diǎn)問題常常與研究對(duì)應(yīng)方程的實(shí)根問題相互轉(zhuǎn)化已知含參函數(shù)存在零點(diǎn)求參數(shù)范圍問題一般對(duì)進(jìn)行參變分離，得到的形式，則所求a的范圍就是的值域；當(dāng)研究函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題時(shí)，要借助數(shù)形結(jié)合.4. 不等式恒成立與存在性問題思路提示：1.在不等式恒成立或不等式有解條件下求參數(shù)的取值范圍，一般轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值或值域問題，可采用“分離常數(shù)”或“直接移項(xiàng)構(gòu)造輔助函數(shù)”。（1） 若函數(shù)在區(qū)間D上存在最小值和最大值，則：不等式在區(qū)間D上恒成立；不等式在區(qū)間D上恒成立；不等式在區(qū)間D上恒成立；不等式在區(qū)間D上恒成立；（2） 若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（?。┲?，且值

20、域?yàn)椋╩,n），則：不等式（或）在區(qū)間D上恒成立不等式（或）在區(qū)間D上恒成立思路提示2：（1） 若函數(shù)在區(qū)間D上存在最小值和最大值，則對(duì)不等式有解問題有以下結(jié)論：不等式在區(qū)間D上有解；不等式在區(qū)間D上有解；不等式在區(qū)間D上有解；不等式在區(qū)間D上有解；（2） 若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（?。┲担抑涤?yàn)椋╩,n），則對(duì)不等式有解問題有以下結(jié)論：不等式（或）在區(qū)間D上有解不等式（或）在區(qū)間D上恒成立思路提示3：對(duì)于任意的，總存在，使對(duì)于任意的，總存在，使對(duì)于任意的，使對(duì)于存在，任意的，使5. 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式思路提示：構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證得不等

21、式構(gòu)造輔助函數(shù)的一般方法及解題程序如下：（1） 移項(xiàng)，使不等式的一端為0，另一端即為所作的輔助函數(shù)；（2） 求導(dǎo)函數(shù)，并驗(yàn)證函數(shù)在指定區(qū)間上的單調(diào)性；（3） 求出區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值（或最值），作比較即可.第2節(jié) 極限一、知識(shí)要點(diǎn)1數(shù)列極限的定義：一般地，如果當(dāng)項(xiàng)數(shù)無限增大時(shí)，無窮數(shù)列的項(xiàng)無限趨近于某個(gè)常數(shù)（即|ana|無限地接近于0），那么就說數(shù)列以為極限記作（注：a不一定是an中的項(xiàng)）2幾個(gè)重要極限：（p.28 p.29） （1） （2）（3）（4）3. 數(shù)列極限的運(yùn)算法則:（p.23）如果那么4無窮等比數(shù)列的各項(xiàng)和（拓展）公比的絕對(duì)值小于1的無窮等比數(shù)列前n項(xiàng)的和，當(dāng)n無限增大時(shí)的極限，叫做

22、這個(gè)無窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和，記做5. 收斂函數(shù)的性質(zhì)（p.14） 收斂函數(shù)的極限是唯一的； 收斂數(shù)列一定有界； n趨向于無窮，數(shù)列Xn趨向于a ,a>0(或a<0)，則存在正整數(shù)N，當(dāng)n>N時(shí)，恒有Xn>0（或X<0）; 若數(shù)列Xn收斂于常數(shù)a，則Xn的任何子數(shù)列Xkn都收斂于a；6. 函數(shù)極限的性質(zhì)（p.19） 極限的唯一性； 局部有界性； 局部保號(hào)性；7. 無窮小量的性質(zhì)（p.20） 有界函數(shù)與無窮小的乘積還是無窮?。?兩個(gè)無窮小之積還是無窮??； 兩個(gè)無窮小之和還是無窮?。?函數(shù)f（x）以A為極限的充要條件是f（x）=A+（x），其中（x）是在與f（x）的同一自

23、變量的變化過程中的無窮小8. 無窮小的比較（p.32） 設(shè)是自變量在同一變化過程中的兩個(gè)無窮小，且 9.無窮小的等價(jià)替換（p.32） x0（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）（7） （8） （9）（10）（補(bǔ)充） 二、方法與技巧 只有無窮數(shù)列才可能有極限，有限數(shù)列無極限.運(yùn)用數(shù)列極限的運(yùn)算法則求數(shù)列極限應(yīng)注意法則適應(yīng)的前提條件.（參與運(yùn)算的數(shù)列都有極限，運(yùn)算法則適應(yīng)有限個(gè)數(shù)列情形）求數(shù)列極限最后往往轉(zhuǎn)化為或型的極限.求極限的常用方法：分子、分母同時(shí)除以或.求和（或積）的極限一般先求和（或積）再求極限.利用已知數(shù)列極限（如等）.含參數(shù)問題應(yīng)對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論求極限.,00,等

24、形式，必須先化簡(jiǎn)成可求極限的類型再用四則運(yùn)算求極限 三、怎么求極限（重要）1. 代入法： 直接將的代入所求極限的函數(shù)中去，若存在，即為其極限，例如；若不存在，我們也能知道屬于哪種未定式，便于我們選擇不同的方法。例如，就代不進(jìn)去了，但我們看出了這是一個(gè)型未定式，我們可以用以下的方法來求解。2. 分解因式，消去零因子法例如，。3. 分子（分母）有理化法例如， 又如，4. 化無窮大為無窮小法例如，實(shí)際上就是分子分母同時(shí)除以這個(gè)無窮大量。由此不難得出又如，（分子分母同除）。再如，（分子分母同除）。5. 利用無窮小量性質(zhì)、等價(jià)無窮小量替換求極限例如，（無窮小量乘以有界量）。又如，解：商的法則不能用由無窮

25、小與無窮大的關(guān)系,得再如，等價(jià)無窮小量替換求極限的例子見課本p.32，33。6. 利用兩個(gè)重要極限求極限（參見微積分課本p.28）7. 分段函數(shù)、復(fù)合函數(shù)求極限例如，解: 左右極限存在且相等, 4、 函數(shù)的連續(xù)性對(duì)，當(dāng)自變量從變到，稱叫自變量的增量，而叫函數(shù)的增量定義 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量的增量趨于零時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)的增量也趨于零，那么就稱函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)它的另一等價(jià)定義是：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義，如果函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限存在，且等于它在點(diǎn)處的函數(shù)值，即，那么就稱函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)下面給出左連續(xù)及右連續(xù)的概念：如果存在且等于，即，就說函數(shù)在點(diǎn)左連續(xù)如果存在且等于，即，就說函數(shù)在點(diǎn)右連

26、續(xù)五、函數(shù)的間斷點(diǎn)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)有定義在此前提下，如果函數(shù)有下列三種情形之一：1在沒有定義；2雖在有定義，但不存在；3雖在有定義，且存在，但；則函數(shù)在點(diǎn)為不連續(xù)，而點(diǎn)稱為函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)或間斷點(diǎn)下面我們來觀察下述幾個(gè)函數(shù)的曲線在點(diǎn)的情況，給出間斷點(diǎn)的分類： 在連續(xù) 在間斷，極限為2 在間斷，極限為2 在間斷，左極限為2，右極限為1 在 間斷在間斷，極限不存在像這樣在點(diǎn)左右極限都存在的間斷，稱為第一類間斷，其中極限存在的稱作第一類間斷的可補(bǔ)間斷，此時(shí)只要令，則在函數(shù)就變成連續(xù)的了；被稱作第一類間斷中的跳躍間斷被稱作第二類間斷，其中也稱作無窮間斷，而稱作震蕩間斷就一般情況而言，通常把間斷點(diǎn)

27、分成兩類：如果是函數(shù)的間斷點(diǎn)，但左極限及右極限都存在，那么稱為函數(shù)的第一類間斷點(diǎn)不是第一類間斷點(diǎn)的任何間斷點(diǎn)，稱為第二類間斷點(diǎn)在第一類間斷點(diǎn)中，左、右極限相等者稱為可去間斷點(diǎn)，不相等者稱為跳躍間斷點(diǎn)無窮間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)顯然是第二類間斷點(diǎn)第2章 導(dǎo)數(shù)與微分一：導(dǎo)數(shù)公式與求導(dǎo)法則：（p.57重要，一定記住?。┒弘[函數(shù)的求導(dǎo)法則： 其實(shí)隱函數(shù)非常簡(jiǎn)單，只有一個(gè)技巧；兩邊同時(shí)求導(dǎo).例1求由方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 解：根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，對(duì)自變量求導(dǎo)，有 ， 從中解得：例2.設(shè)確定了一個(gè)隱函數(shù)，求 解：（一）方程兩邊對(duì)自變量求導(dǎo)，有 -（1） 所以，-（2） 由（1）式，有 -（3） （3）式兩邊

28、對(duì)再求導(dǎo)，得： -（4） 將（2）式代入（4）式，有： 注意： （1）欲求，必要用到的結(jié)果； （2）也可通過對(duì)（1）式兩邊再求導(dǎo)的方法得到； （3）請(qǐng)大家考慮以下：從上題如何求？例3.求的導(dǎo)數(shù). 解： 對(duì)上式兩邊關(guān)于求導(dǎo)，得： 例4。求的導(dǎo)數(shù)。（ 解： 對(duì)上式兩邊關(guān)于求導(dǎo)，得： 注意：例3、例4的解法稱為對(duì)數(shù)求導(dǎo)法，請(qǐng)大家體會(huì)以下它的適用范圍.三：高階導(dǎo)數(shù)（p.61） 設(shè)函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)，若極限 存在，則稱函數(shù)在處二階可導(dǎo)，并稱此極限（即一階導(dǎo)函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)）為在處的二階導(dǎo)數(shù)，記為： 注意：（1）如果導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間I的每一點(diǎn)處都可導(dǎo)，則二階導(dǎo)數(shù) 是區(qū)間上的函數(shù)，稱為的二階導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱的二階導(dǎo)數(shù). （

29、2）同樣，可定義三階導(dǎo)數(shù) 一般地，稱的n-1階導(dǎo)函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為在處的n階導(dǎo)數(shù)，表示為; （3）二階以上的導(dǎo)數(shù)，稱為高階導(dǎo)數(shù)，也稱普通的導(dǎo)數(shù)為一階導(dǎo)數(shù)；原函數(shù)為零階導(dǎo)數(shù)； （4）若為路程函數(shù)，則 ； （5）由高階導(dǎo)數(shù)的定義可知，計(jì)算函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)就是按求導(dǎo)法則和導(dǎo)數(shù)公式逐階求下去，最后歸納出n階導(dǎo)數(shù)的一般形式. （p.62萊布尼茨公式）四：函數(shù)的微分（p.64） 定義：若函數(shù)在處的增量可表示為，其中是與無關(guān)的常數(shù)，則稱函數(shù)在處可微分，并稱為在處的微分，記作，或者. 注意：由微分的定義可見，當(dāng)在處可微分時(shí)且很小時(shí)，有下述的近似計(jì)算公式： 定理1.函數(shù)在可微函數(shù)在可導(dǎo).注意：（1）由定理1的證明可

30、見，當(dāng)函數(shù)在處可微分； （2）一元函數(shù)的可導(dǎo)性與可微性是等價(jià)的； （3）微分的幾何解釋（作圖）：在的充分小的鄰域內(nèi)，可用處的一小段切線段來近似替代處的一小段曲線段； （4）如果在區(qū)間I上每一點(diǎn)處都可微，則稱為區(qū)間I上的可微函數(shù)，在區(qū)間I上的微分記作：（5）在不至于引起混淆的情況下也可簡(jiǎn)為記.微分的公式和運(yùn)算法則（與導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來，同樣重要）（p.66）定理2.設(shè)函數(shù)在處均可微，則 （1）； （2）； （3）.推論：。證明：僅證明（4） 定理3.（復(fù)合函數(shù)的微分法則）設(shè)有都可微，則 .（其中）-（2）注意：如果只是一個(gè)普通的函數(shù)，是自變量，則-（3）與（2）式相同。也就是說：無論是普通函數(shù)，還是復(fù)

31、合函數(shù)，都有。這個(gè)性質(zhì)稱為一階微分形式的不變性.第3章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1.1羅爾定理（p.80）若函數(shù)滿足如下條件：（）在閉區(qū)間上連續(xù)；（）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；（）,則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)使得羅爾定理的幾何意義是說：在每一點(diǎn)可導(dǎo)的一段連續(xù)曲線上，如果曲線的兩端點(diǎn)高度相等，則至少存在一條切線.證明：因?yàn)樵谏线B續(xù)，所以有最大值與表示，現(xiàn)分兩種情況來討論：（1）若,則在上必為常數(shù)，從而結(jié)論顯然成立.（2）若,則因使得最大值與最小值至少有一個(gè)在內(nèi)某點(diǎn)處取得，從而是的極值點(diǎn)，由條件在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，在點(diǎn)處可導(dǎo)，故由費(fèi)馬定理推知注：定理中的三個(gè)條件缺少任何一個(gè)，結(jié)論將不一定成立.先講羅爾定理,并由此推出微

32、分學(xué)的兩個(gè)基本定理拉格朗日中值定理和柯西中值定理.1.2拉格朗日中值定理（p.82）若函數(shù)滿足如下條件：（）在閉區(qū)間上連續(xù)；（）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)使得 （1） 顯然，特別當(dāng)時(shí)為羅爾定理。這表明羅爾定理是拉格朗日的定理的一個(gè)特殊情形.證明：做輔助函數(shù)顯然，(=0),且在上滿足羅爾定理的另兩個(gè)條件，故存在使，移項(xiàng)既得到所要證明的（1）式.拉格朗日中值定理的幾何意義是：在滿足定理?xiàng)l件的曲線上至少存在一點(diǎn)，該曲線在該點(diǎn)處的切線平行于曲線兩端點(diǎn)的連線,我們?cè)谧C明中引入輔助函數(shù)，正是曲線與直線.1.3柯西中值定理（p.84）設(shè)函數(shù)滿足：（）在閉區(qū)間上連續(xù)；（）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；（）不同時(shí)為零

33、；（）則存在，使得證明：作輔助函數(shù).易見在上滿足羅爾定理?xiàng)l件，故存在，使得因?yàn)椋ǚ駝t由上式也為零），所以可把上式改成。注:若有=0，則若則.當(dāng)函數(shù)在這表明在的附近可用一次多項(xiàng)式逼近，現(xiàn)在，我們希望用更高多項(xiàng)式逼近，因?yàn)槎囗?xiàng)式在運(yùn)算上最方便，且具有很好的性質(zhì).泰勒（1685-1731,英國(guó)數(shù)學(xué)家）最早考慮了這個(gè)問題.隨著定理的不斷深入，應(yīng)該說泰勒公式才達(dá)到了中值定理的最后階段.1.4泰勒公式（p.90）若在上有直到階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在上階導(dǎo)數(shù)存在，則其中注意:當(dāng)令（拓展，不作要求）:1.5常用微分中值定理及內(nèi)在聯(lián)系中值定理?xiàng)l 件結(jié) 論羅爾中值定理在閉區(qū)間上連續(xù)，內(nèi)可導(dǎo)則，使得 柯西中值定理則，使得 則

34、，使得 拉格朗日中值定理，在閉區(qū)間上連續(xù)，內(nèi)可導(dǎo)，0，則，使得泰勒公式在上有直到階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在上階導(dǎo)數(shù)關(guān)系柯西和泰勒都是拉格朗日的推廣，拉格朗日是羅爾的推廣1.6洛必達(dá)法則（p.86）洛必達(dá)法則的原意是用來求(未定型)極限或，但是也可以用來求下面這些未定型的極限： （其中）；(當(dāng)時(shí),和是同號(hào)無窮大量)； (其中)； (其中)； (其中)求這些未定型的極限時(shí)，都要先把函數(shù)做恒等變換，化成能直接用洛必達(dá)法則的未定型或. 【注】在運(yùn)用洛必達(dá)法則時(shí)，一定要檢查它是否滿足洛必達(dá)法則的條件.不然的話，有可能造成錯(cuò)誤！例如， (錯(cuò)在何處？)而實(shí)際上，. 再如不存在 (又錯(cuò)在何處?)，而實(shí)際上，1.7函數(shù)單調(diào)

35、性的判定法與極值，凹凸性與拐點(diǎn)，函數(shù)的描繪（p.93 在文檔開頭函數(shù)部分有詳細(xì)介紹，這里則不做總結(jié)）第四章 不定積分1. 利用基本公式。（這就不多說了）2. 第一類換元法。（湊微分）設(shè)f()具有原函數(shù)F()。則其中可微。用湊微分法求解不定積分時(shí)，首先要認(rèn)真觀察被積函數(shù)，尋找導(dǎo)數(shù)項(xiàng)內(nèi)容，同時(shí)為下一步積分做準(zhǔn)備。當(dāng)實(shí)在看不清楚被積函數(shù)特點(diǎn)時(shí)，不妨從被積函數(shù)中拿出部分算式求導(dǎo)、嘗試，或許從中可以得到某種啟迪。3. 第二類換元法：設(shè)是單調(diào)、可導(dǎo)的函數(shù)，并且具有原函數(shù)，則有換元公式第二類換元法主要是針對(duì)多種形式的無理根式。常見的變換形式需要熟記會(huì)用。主要有以下幾種：4. 分部積分法.公式：分部積分法采用迂回的技巧，規(guī)避難點(diǎn)，挑容易積分的部分先做，最終完成不定積分。具體選取時(shí)，通?；谝韵聝牲c(diǎn)考慮：（1） 降低多項(xiàng)式部分的系數(shù)（2） 簡(jiǎn)化被積函數(shù)的類型5. 幾種特殊類型函數(shù)的積分。（1） 有理函數(shù)的積分有理函數(shù)先化為多項(xiàng)式和真分式之和，再把分解為若干個(gè)部分分式之和。（對(duì)各部分分式的處理可能會(huì)比較復(fù)雜。出現(xiàn)時(shí)，記得用遞推公式：）（2）三角函數(shù)有