第五節(jié)條件概率

1、第五節(jié) 條件概率、全概率公式與貝葉斯公式一、背景一個隨機事件的概率,確切地說,是指在某些給定的條件下,事件發(fā)生的可能性大小的度量.但如果給定的條件發(fā)生變化之后,該事件的概率一般也隨之變化.于是,人們自然提出:如果增加某個條件之后,事件的概率會怎樣變化的?它與原來的概率之間有什么關系?顯然這類現(xiàn)象是常有的.例1 設有一群共人,其中個女性,個是色盲患者. 個色盲患者中女性占個. 如果=從中任選一個是色盲, =從中任選一個是女性,此時, .如果對選取規(guī)則附加條件:只在女性中任選一位,換一句話說,發(fā)生之后,發(fā)生的概率(暫且記為) 自然是.例2 將一枚硬幣拋擲,觀察其出現(xiàn)正反面的情況.設事件為“兩次擲出

2、同一面”,事件為“至少有一次為正面H”.現(xiàn)在來求已知事件已經(jīng)發(fā)生的條件下事件發(fā)生的概率.這里,樣本空間.易知此屬于古典概型問題.已知事件已發(fā)生,有了這一信息,知道不可能發(fā)生,即知試驗所有可能結果所成的集合就是.中共有3個元素,其中只有屬于.于是,在發(fā)生的條件下,發(fā)生的概率為對于例1,已知容易驗證在發(fā)生的條件下,發(fā)生的概率對于例2,已知容易驗證發(fā)生的條件下,發(fā)生的概率對一般古典概型, 容易驗證:只要,則在發(fā)生的條件下, 發(fā)生的概率,總是成立的.在幾何概率場合,如果向平面上單位正方形內等可能任投一點,則當發(fā)生的條件下, 這時發(fā)生的概率為由此可知對上述的兩個等可能性的概率模型,總有成立. 其實,還可

3、以驗證, 這個關系式對頻率也是成立的.于是,從這些共性中得到啟發(fā),引入下面的一般定義.二、條件概率若是一個概率空間,若,則對于任意的,稱為已知事件發(fā)生的條件下, 事件發(fā)生的條件概率.例3 一盒子中裝有4只產(chǎn)品,其中有3只是一等品,1只是二等品.從中取產(chǎn)品兩次,每次任取一只,作不放回抽樣,設事件為“第二次取到的是一等品”,事件為“第一次取到的是一等品”,試求條件概率解:易知此屬古典概型問題.將產(chǎn)品編號：1,2,3號為一等品,4號為二等品.以表示第一次、第二次分別取到第號、第號產(chǎn)品.試驗E (取產(chǎn)品兩次,記錄其號碼)的樣本空間為=(1,2),(1,3),(1,4), (2,1),(2,3),(2,

4、4), (3,1),(3,2),(3,4), (4,1),(4,2),(4,3)=(1,2),(1,3),(1,4), (2,1),(2,3),(2,4), (3,1),(3,2),(3,4)=(1,2),(1,3), (2,1),(2,3), (3,1),(3,2)由條件概率公式得,例4 一個家庭中有兩個小孩,已知其中有一個是女孩,問這時另一個小孩也是女孩的概率?(假定一個小孩是女孩還是男孩是等可能的)解:據(jù)題意樣本空間為=(男,女),(男,男),(女,女),(女,男)=已知有一個是女孩=(男,女),(女,女),(女,男)=另一個小孩也是女孩=(女,女)于是,所求概率為三、條件概率的性質(1

5、)非負性:對任意的(2)規(guī)范性: (3)可列可加性:若為一列兩兩不相交的事件,有證明:(1) 因為所以(2)由于,所以(3)由于兩兩不相交,所以也必然兩兩不相交,所以四、乘法公式由條件概率的定義知: 設,則.于是,這就是概率的乘法公式.如果,同樣有設且則證明 因為,依條件概率的定義,上式的右邊五、乘法公式的應用例子例5 設某光學儀器廠制造的透鏡,第一次落下時打破的概率為1/2,若第一次落下時未打破, 第二次落下時打破的概率為7/10, 若前兩次時未打破, 第三次落下時打破的概率為9/10,試求透鏡落下三次而未打破的概率.解:以表示事件“透鏡第次落下時打破”,以表示事件“透鏡三次落下而未打破”.

6、 因為,故有例6 設袋中裝有只紅球,只白球.每次自袋中任取一只球,觀察其顏色后放回,并再放入只與所取出的那個球同色的球.若在袋中連續(xù)取球四次,試求第一、二次取到紅球且第三、四次取到白球的概率.解:以表示事件“第次取到紅球”,分別表示事件第三、四次取到白球.所求概率為例7 (卜里耶模型)罐中有只黑球,只紅球,隨機地取一只之后,把原球放回,并加進與抽出的球同色之球只,再摸第二次,這樣下去共摸次.問前次出現(xiàn)黑球,后面次出現(xiàn)紅球概率是多少?解:以表示事件“第k次取到黑球”, 表示事件“第次取到紅球”,則由一般乘法公式,1. 在例7中,最后答案與黑球和紅球出現(xiàn)的次數(shù)有關,而與出現(xiàn)的順序無關.2.卜里耶模

7、型被卜里耶用來描述傳染病的數(shù)學模型.當時,它是有放回的摸球模型. 當時,它是不放回的摸球模型.思考題: 在卜里耶模型中,取次,問正好出現(xiàn)次紅球概率是多少?例8 一批產(chǎn)品共100件,對其進行抽樣調查,整批產(chǎn)品看作不合格的規(guī)定是:在被檢查的5件產(chǎn)品中至少有一件是廢品.如果在該批產(chǎn)品中有5%是廢品,試問該批產(chǎn)品被拒絕接收的概率是多少?解:設表示被檢查的第件產(chǎn)品是正品.表示該批產(chǎn)品被接收.則且因此, 該批產(chǎn)品被拒絕接收的概率是0.23。作業(yè):P55 EX 29,30,31六、全概率公式設是兩個事件,那么可以表示為顯然,如果則例1 1號箱中有2個白球和4個紅球,2號箱中有5個白球和3個紅球,現(xiàn)隨機地從1

8、號箱中取出一球放入2號箱,然后從2號箱隨機取出一球,問從2號箱取出的紅球的概率是多少?解:令 :最后從2號箱中取出的是紅球;:從1號箱中取出的是紅球.則 由上面的公式,上例采用的方法是概率論中頗為常用的方法,為了求復雜事件的概率,往往可以把它分解成若干個互不相容的簡單事件之并,然后利用條件概率和乘法公式,求出這些簡單事件的概率,最后利用概率可加性,得到最終結果,這一方法的一般化就是所謂的全概率公式.設為試驗的樣本空間,為的事件,為的一組事件.若(1) (2) 則稱為樣本空間的一個分割.若為樣本空間的一個分割,那么,對每一次試驗,事件必有一個且僅有一個發(fā)生.例2 設試驗為“擲一顆骰子觀察其點數(shù)”

9、.它的樣本空間.的一組事件是樣本空間的一個分割.而事件組不是樣本空間的一個分割,因為例3 甲、乙、丙三人向同一飛機射擊.設樣本空間=無人命中飛機,一人命中飛機,二人命中飛機,全命中.的一組事件=三人以下命中飛機,=全命中飛機是樣本空間的一個分割.設試驗E的樣本空間,為的事件, 為的一個分割,且 ,則上式被稱為全概率公式.證明: ,所以由假設,且所以由條件概率公式,得代入上式,即得例4 甲、乙、丙三人向同一飛機射擊.設甲、乙、丙射中的概率分別為0.4,0.5,0.7.又設若只有一人射中,飛機墜落的概率為0.2,若有二人射中,飛機墜落的概率為0.6,若有三人射中, 飛機必墜落.求飛機墜落的概率.解

10、:記=飛機墜落,=個人射中飛機,=(甲射中,乙丙未射中)+(乙射中,甲丙未射中)+(丙射中,甲乙未射中)再由題設,利用全概率公式,例5 播種用的小麥種子混有2%的二等種子,1.5%的三等種子,1%的四等種子,用一等、二等、三等、四等種子長出的麥穗含有50顆麥粒以上的概率為0.5,0.15,0.1,0.05,求這批所結出的麥穗含有50顆麥粒以上的概率.解: 設=從這批種子任選一顆種子是等種子, .=從這批種子任選一顆,所結出的麥穗含有50顆麥粒以上則由全概率公式在例題5中, ,這對于農(nóng)業(yè)技術人員來說,這個數(shù)據(jù)是重要的,但對育種專家來說,僅有這個數(shù)據(jù)是不夠的.因為他們更感興趣的是下面的問題.例6

11、在例題5中,問由這批所結出的含有50顆麥粒以上麥穗中是一等、二等種子長出的概率.解:在上面的計算中,事實上建立了一個著名的公式Bayes公式.七、貝葉斯公式設試驗的樣本空間,為的事件, 為的一個分割,且 ,則上式稱為貝葉斯公式.證明:由條件概率,知和全概率公式例7 某電子設備廠所用的元件是由三家元件廠提供的,根據(jù)以往的記錄,這三個廠家的次品率分別為0.02,0.01,0.03,提供元件的份額分別為0.15,0.8,0.05,設這三個廠家的產(chǎn)品在倉庫是均勻混合的,且無區(qū)別的標志.(1)在倉庫中隨機地取一個元件,求它是次品的概率.(2) 在倉庫中隨機地取一個元件,若已知它是次品,為分析此次品出自何

12、廠,需求出此品由三個廠家生產(chǎn)的概率是多少?解:設取到的元件是次品,表示取到的元件是由第個廠家生產(chǎn)的.(1)由全概率公式,(2) 由貝葉斯公式,以上結果表明,這只產(chǎn)品來自第2家工廠的可能性最大.八、貝葉斯方法從這道題中我們看出，“取一個元件”是進行一個試驗,那么是在試驗以前就已經(jīng)知道的,所以習慣地稱它們?yōu)橄闰灨怕?實際上它是過去已經(jīng)掌握的生產(chǎn)情況的反映,對試驗要出現(xiàn)的結果提供了一定的信息.在這個例子中,試驗結果出現(xiàn)次品,這時條件概率反映了在試驗以后,對A發(fā)生的來源的各種可能性的大小,通常稱為后驗概率.如果是病人可能患的n種疾病,在診斷以前先檢驗與這些疾病有關的某些指標(如體溫,血壓,白血球等),

13、若病人的某些指標偏離正常值,要問病人患的是哪一種疾病,從概率論的角度考慮,若較大,而為了計算 ,就可以利用上述的貝葉斯公式,并把由過去的病例中得到的先驗概率值代入,也就是醫(yī)學上所說的發(fā)病率,人們常常喜歡找有經(jīng)驗的醫(yī)生給自己治病,因為過去的經(jīng)驗能幫助醫(yī)生作出比較準確的診斷,能夠更好地做到對癥下藥,而貝葉斯公式正是利用了經(jīng)驗的知識,由此,讀者可以直覺地認識到這個公式的意義.也正因如此,這類方法在過去和現(xiàn)在,都受到人們的普遍重視,并稱為貝葉斯方法.例8 用甲胎蛋白法普查肝癌,令=被檢驗者患肝癌=甲胎蛋白檢驗呈陽性被檢驗者未患肝癌甲胎蛋白檢驗呈陰性由資料已知,又已知某地居民的肝癌發(fā)病率,在普查中查出一批甲胎蛋白檢驗呈陽性的人,求這批人中真的患肝癌的概率.解:由貝葉斯公式可得,由此可見,經(jīng)甲胎蛋白檢驗呈陽性的人群中,其中真正患肝癌的人還是很少的,只占0.0038,把與對比一下是很有意思的.當已知病人患肝癌或未患肝癌時, 甲胎蛋白檢驗的準確性應該說是比較高的,這從可以肯定這一點.但如果病人患肝癌或未患肝癌時,而要從甲胎蛋白檢驗結果是否為陽性這一事件出發(fā),來判斷病人是否患肝癌,那么它的準確性還是很低的,因為 .這個問題看來似乎有點矛盾.一種檢驗方