微分方程習(xí)題課

1、微微 分分 方方 程程 習(xí)習(xí) 題題 課課 基本概念基本概念一階方程一階方程 類類 型型1.1.直接積分法直接積分法2.2.可分離變量可分離變量3.3.齊次方程齊次方程4.4.可化為齊次可化為齊次方程方程5.5.全微分方程全微分方程6.6.線性方程線性方程7.7.伯努利方程伯努利方程可降階方程可降階方程線性方程線性方程解的結(jié)構(gòu)解的結(jié)構(gòu)定理定理1;1;定理定理2 2定理定理3;3;定理定理4 4歐拉方程歐拉方程二階常系數(shù)線性二階常系數(shù)線性方程解的結(jié)構(gòu)方程解的結(jié)構(gòu)特征方程的根特征方程的根及其對(duì)應(yīng)項(xiàng)及其對(duì)應(yīng)項(xiàng)f(x)f(x)的形式及其的形式及其特解形式特解形式高階方程高階方程待定系數(shù)法待定系數(shù)法特征方

2、程法特征方程法一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容微分方程解題思路微分方程解題思路一階方程一階方程高階方程高階方程分離變量法分離變量法全微分方程全微分方程常數(shù)變易法常數(shù)變易法特征方程法特征方程法待定系數(shù)法待定系數(shù)法非全微分方程非全微分方程非變量可分離非變量可分離冪級(jí)數(shù)解法冪級(jí)數(shù)解法降降階階作作變變換換作變換作變換積分因子積分因子1 1、基本概念、基本概念微分方程微分方程凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程叫微分方程叫微分方程微分方程的階微分方程的階微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)稱為微分方程的階高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)稱為微分方程的階微分方程的解微分

3、方程的解代入微分方程能使方程成為恒等代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù)稱為微分方程的解式的函數(shù)稱為微分方程的解 通解通解如果如果微分方程的解中含有任意常數(shù)，并且微分方程的解中含有任意常數(shù)，并且任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解叫做微分方程的通解解叫做微分方程的通解特解特解確定了通解中的任意常數(shù)以后得到的解，確定了通解中的任意常數(shù)以后得到的解，叫做微分方程的特解叫做微分方程的特解初始條件初始條件用來(lái)確定任意常數(shù)的條件用來(lái)確定任意常數(shù)的條件.初值問(wèn)題初值問(wèn)題求微分方程滿足初始條件的解的問(wèn)題，求微分方程滿足初始條件的解的問(wèn)題，叫初值問(wèn)題叫初值問(wèn)題

4、dxxfdyyg)()( 形如形如(1) 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程解法解法 dxxfdyyg)()(分離變量法分離變量法2 2、一階微分方程的解法、一階微分方程的解法)(xyfdxdy 形如形如(2) 齊次方程齊次方程解法解法xyu 作變量代換作變量代換1)0()5(yyydxdy0dd35yxy)(111cybxacbyaxfdxdy 形如形如齊次方程齊次方程,01時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) cc，令令kYyhXx ,（其中（其中h和和k是待定的常數(shù)）是待定的常數(shù)）否則為非齊次方程否則為非齊次方程(3) 可化為齊次的方程可化為齊次的方程解法解法化為齊次方程化為齊次方程35xyxydxdy)()

5、(xQyxPdxdy 形如形如(4) 一階線性微分方程一階線性微分方程, 0)( xQ當(dāng)當(dāng)上方程稱為齊次的上方程稱為齊次的上方程稱為非齊次的上方程稱為非齊次的., 0)( xQ當(dāng)當(dāng)齊次方程的通解為齊次方程的通解為.)( dxxPCey（使用分離變量法）（使用分離變量法）解法解法非齊次微分方程的通解為非齊次微分方程的通解為 dxxPdxxPeCdxexQy)()()(（常數(shù)變易法）（常數(shù)變易法）(5) 伯努利伯努利(Bernoulli)方程方程nyxQyxPdxdy)()( 形如形如)1 , 0( n方程為線性微分方程方程為線性微分方程.時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)1 , 0 n 方程為非線性微分方程方程為非線性

6、微分方程.時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)1 , 0 nxyxy25edd解法解法 需經(jīng)過(guò)變量代換化為線性微分方程需經(jīng)過(guò)變量代換化為線性微分方程,1 nyz 令令. )1)()()1()()1(1 cdxenxQezydxxPndxxPnn0),(),( dyyxQdxyxP其中其中dyyxQdxyxPyxdu),(),(),( 形如形如(6) 全微分方程全微分方程xQyP 全微分方程全微分方程注意：注意：解法解法應(yīng)用曲線積分與路徑無(wú)關(guān)應(yīng)用曲線積分與路徑無(wú)關(guān). yyxxdyyxQxdyxPyxu00),(),(),(0,),(),(000 xdyxPdyyxQxxyy .),(cyxu 用直接湊用直接湊全微分的方法

7、全微分的方法.通解為通解為(7) 可化為全微分方程可化為全微分方程).(xQyP 非全微分方程非全微分方程0),(),( dyyxQdxyxP形如形如 若若0),( yx 連連續(xù)續(xù)可可微微函函數(shù)數(shù)，且且可可使使方方程程0),(),(),(),( dyyxQyxdxyxPyx 成成為為全全微微分分方方程程.則則稱稱),(yx 為為方方程程的的積積分分因因子子.公式法公式法: :)(1xQyPQ 若若)(xf ;)()( dxxfex 則則)(1yPxQP 若若)(yg .)()( dyygey 則則觀察法觀察法: :熟記常見函數(shù)的全微分表達(dá)式，通過(guò)觀察直接找出熟記常見函數(shù)的全微分表達(dá)式，通過(guò)觀察

8、直接找出積分因子積分因子常見的全微分表達(dá)式常見的全微分表達(dá)式 222yxdydyxdx xydxydxxdy2 xyarctgdyxydxxdy22 xydxyydxxdyln )ln(212222yxdyxydyxdx yxyxdyxydxxdyln2122可選用積分因子可選用積分因子.,1,1,1,12222222等等xyyxyxyxxyx 0d)ln(d3yxyxxy0dd)2(yxxyx3 3、可降階的高階微分方程的解法、可降階的高階微分方程的解法解法解法),(xPy 令令特點(diǎn)特點(diǎn). y不顯含未知函數(shù)不顯含未知函數(shù)),()2(yxfy 型型)()1()(xfyn 接連積分接連積分n次，

9、得通解次，得通解 型型解法解法代入原方程代入原方程, 得得).(,(xPxfP ,Py ),(xPy 令令特點(diǎn)特點(diǎn).x不不顯顯含含自自變變量量),()3(yyfy 型型解法解法代入原方程代入原方程, 得得).,(PyfdydpP ,dydpPy 、線性微分方程解的結(jié)構(gòu)、線性微分方程解的結(jié)構(gòu)（1 1）二階齊次方程解的結(jié)構(gòu)）二階齊次方程解的結(jié)構(gòu): :)1(0)()( yxQyxPy形形如如定定理理 1 1 如如果果函函數(shù)數(shù))(1xy與與)(2xy是是方方程程( (1 1) )的的兩兩個(gè)個(gè)解解, ,那那末末2211yCyCy 也也是是( (1 1) )的的解解. .（21,CC是是常常數(shù)數(shù)）定定理理

10、 2 2：如如果果)(1xy與與)(2xy是是方方程程( (1 1) )的的兩兩個(gè)個(gè)線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的特特解解, , 那那么么2211yCyCy 就就是是方方程程( (1 1) )的的通通解解. .（2 2）二階非齊次線性方程的解的結(jié)構(gòu)）二階非齊次線性方程的解的結(jié)構(gòu): :)2()()()(xfyxQyxPy 形形如如定理定理 3 3 設(shè)設(shè)*y是是)2(的一個(gè)特解的一個(gè)特解, , Y是與是與(2)(2)對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)的齊次方程的齊次方程(1)(1)的通解的通解, , 那么那么*yYy 是二階是二階非齊次線性微分方程非齊次線性微分方程(2)(2)的通解的通解. .定理定理 4 4 設(shè)非齊次方程設(shè)非齊次

11、方程(2)(2)的右端的右端)(xf是幾個(gè)函是幾個(gè)函數(shù)之和數(shù)之和, , 如如)()()()(21xfxfyxQyxPy 而而*1y與與*2y分別是方程分別是方程, , )()()(1xfyxQyxPy )()()(2xfyxQyxPy 的特解的特解, , 那么那么*2*1yy 就是原方程的特解就是原方程的特解. .011122xtdtdxttdtxd , , tet111122txtdtdxttdtxd1.試驗(yàn)證有基本解組并求方程 的通解。、二階常系數(shù)齊次線性方程解法、二階常系數(shù)齊次線性方程解法)(1)1(1)(xfyPyPyPynnnn 形如形如n階常系數(shù)線性微分方程階常系數(shù)線性微分方程0

12、qyypy二階常系數(shù)齊次線性方程二階常系數(shù)齊次線性方程)(xfqyypy 二階常系數(shù)非齊次線性方程二階常系數(shù)非齊次線性方程解法解法由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為定其通解的方法稱為特征方程法特征方程法.02 qprr0 qyypy 特征根的情況特征根的情況 通解的表達(dá)式通解的表達(dá)式實(shí)根實(shí)根21rr 實(shí)根實(shí)根21rr 復(fù)根復(fù)根 ir 2, 1xrxreCeCy2121 xrexCCy2)(21 )sincos(21xCxCeyx 特征方程為特征方程為01)1(1)( yPyPyPynnnn特征方程為特征方程為0111 nnnnPrPrPr

13、特征方程的根特征方程的根通解中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)通解中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)rk重重根根若若是是rxkkexCxCC)(1110 jk復(fù)復(fù)根根重重共共軛軛若若是是xkkkkexxDxDDxxCxCC sin)(cos)(11101110推廣：推廣： 階常系數(shù)齊次線性方程解法階常系數(shù)齊次線性方程解法n、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程解法、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程解法)(xfqyypy 二階常系數(shù)非齊次線性方程二階常系數(shù)非齊次線性方程型型)()()1(xPexfmx 解法解法待定系數(shù)法待定系數(shù)法., )(xQexymxk 設(shè)設(shè) 是重根是重根是單根是單根不是根不是根 2,10k型型sin)(cos)()()2(xxPxx

14、Pexfnlx ,sin)(cos)()2()1(xxRxxRexymmxk 設(shè)設(shè)次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式，是是其其中中mxRxRmm)(),()2()1( nlm,max .1;0是特征方程的單根時(shí)是特征方程的單根時(shí)不是特征方程的根時(shí)不是特征方程的根時(shí) jjk7 7、歐拉方程、歐拉方程 歐拉方程是特殊的變系數(shù)方程，通過(guò)變量代換歐拉方程是特殊的變系數(shù)方程，通過(guò)變量代換 可化為常系數(shù)微分方程可化為常系數(shù)微分方程.xtextln 或或)(1)1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn 的方程的方程(其中其中nppp21,形如形如叫叫歐拉方程歐拉方程.為常為常數(shù)數(shù))，texdtdxdtxd222561

15、35622xeydxdydxydx 當(dāng)微分方程的解不能用初等函數(shù)或其積分當(dāng)微分方程的解不能用初等函數(shù)或其積分表達(dá)時(shí)表達(dá)時(shí), 常用冪級(jí)數(shù)解法常用冪級(jí)數(shù)解法.8 8、冪級(jí)數(shù)解法、冪級(jí)數(shù)解法1.求方程2dyxydx經(jīng)過(guò)(0,0)的第三次近似解 注意：解的存在唯一性定理?xiàng)l件及意義二、典型例題二、典型例題.)cossin()sincos(dyxyxxyyxdxxyyxyxy 求通解求通解例例1 1解解原方程可化為原方程可化為),cossinsincos(xyxyxyxyxyxyxydxdy ,xyu 令令.,uxuyuxy 代入原方程得代入原方程得),cossinsincos(uuuuuuuuxu ,c

16、os2cossinxdxduuuuuu 分離變量分離變量?jī)蛇叿e分兩邊積分,lnln)cosln(2Cxuu ,cos2xCuu ,cos2xCxyxy 所求通解為所求通解為.cosCxyxy .32343yxyyx 求通解求通解例例2 2解解原式可化為原式可化為,32342yxyxy ,3223134xyxyy 即即,31 yz令令原式變?yōu)樵阶優(yōu)?3232xzxz ,322xzxz 即即對(duì)應(yīng)齊方通解為對(duì)應(yīng)齊方通解為,32Cxz 一階線性非齊方程一階線性非齊方程伯努利方程伯努利方程,)(32xxCz 設(shè)設(shè)代入非齊方程得代入非齊方程得,)(232xxxC ,73)(37CxxC 原方程的通解為原

17、方程的通解為.73323731xCxy 利用常數(shù)變易法利用常數(shù)變易法. 0324223 dyyxydxyx求通解求通解例例3 3解解)2(3yxyyP ,64yx )3(422yxyxxQ ,64yx )0( y,xQyP 方程為全微分方程方程為全微分方程.(1) 利用原函數(shù)法求解利用原函數(shù)法求解:,2),(3yxxuyxu 則則設(shè)原函數(shù)為設(shè)原函數(shù)為),(),(32yyxyxu ,求導(dǎo)求導(dǎo)兩邊對(duì)兩邊對(duì) y),(33142422yyxyxyyu ,1)(2yy 解得解得,1)(yy 故方程的通解為故方程的通解為.1232Cyyx (2) 利用分項(xiàng)組合法求解利用分項(xiàng)組合法求解:原方程重新組合為原方

18、程重新組合為, 0)1()(32 ydyxd即得即得, 01)32(2423 dyydyyxdxyx故方程的通解為故方程的通解為.1232Cyyx (3) 利用曲線積分求解利用曲線積分求解:,32422),()1 ,0(3Cdyyxydxyxyx ,312142203Cdyyxydxxyx 即即.113212Cyxyxyy 故方程的通解為故方程的通解為.1232Cyyx . 0)2()2(2222 dyxyxdxyyx求通解求通解例例4 4解解, 22 yyP, 22 xxQ,xQyP 非全微分方程非全微分方程.利用積分因子法利用積分因子法:原方程重新組合為原方程重新組合為),(2)(22xd

19、yydxdydxyx 222yxxdyydxdydx ,)(1)(22xyxyd ,ln11lnCxyxyyx 故方程的通解為故方程的通解為.yxyxCeyx .212yyy 求通解求通解例例5 5解解.x方程不顯含方程不顯含,dydPPyPy 令令代入方程，得代入方程，得,212yPdydPP ,112yCP 解解得得，, 11 yCP, 11 yCdxdy即即故方程的通解為故方程的通解為.12211CxyCC . 1)1()1(,2 yyexeyyyxx求特解求特解例例6 6解解特征方程特征方程, 0122 rr特征根特征根, 121 rr對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為.)(

20、21xexCCY 設(shè)原方程的特解為設(shè)原方程的特解為,)(2*xebaxxy ,2)3()(23*xebxxbaaxy 則則,2)46()6()(23*xebxbaxbaaxy 代代入入原原方方程程比比較較系系數(shù)數(shù)得得將將)( ,)( ,* yyy,21,61 ba原方程的一個(gè)特解為原方程的一個(gè)特解為,2623*xxexexy 故原方程的通解為故原方程的通解為.26)(2321xxxexexexCCy , 1)1( y, 1)31(21 eCC,6)1()(3221xexxCCCy , 1)1( y, 1)652(21 eCC,31121 eCC,651221 eCC由由解得解得 ,121,61

21、221eCeC所以原方程滿足初始條件的特解為所以原方程滿足初始條件的特解為.26)121(61223xxxexexexeey ).2cos(212xxyyy 求解方程求解方程例例解解特征方程特征方程, 042 r特征根特征根,22,1ir 對(duì)應(yīng)的齊方的通解為對(duì)應(yīng)的齊方的通解為.2sin2cos21xCxCY 設(shè)原方程的特解為設(shè)原方程的特解為.*2*1*yyy ,)1(*1baxy 設(shè)設(shè),)(*1ay 則則, 0)(*1 y，得，得代入代入xyy214 ，xbax2144 由由，04 b，214 a解得解得，0 b，81 a;81*1xy ),2sin2cos()2(*2xdxcxy 設(shè)設(shè),2sin)2(2cos)2()(*2xcxdxdxcy 則則,2sin)44(2cos)44()(*2xdxcxcxdy ，得，得代入代入xyy2cos214 故原方程的通解為故原方程的通解為.2sin81812sin2cos21xxxxCxCy ,2cos212sin42cos4xxcxd 由由，04 c，214 d即即，81 d，0 c;2sin81*2xxy .)(),(1)()(2此方程的通