2010高中數(shù)學(xué)數(shù)列章末整合章末檢測(cè)同步學(xué)案新人教A版必修5

1、章末整合對(duì)點(diǎn)講練一、 等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本運(yùn)算例1已知an是各項(xiàng)為不同的正數(shù)的等差數(shù)列，lg a1、lg a2、lg a4成等差數(shù)列又bn，n1,2,3，.(1)證明：bn為等比數(shù)列；(2)如果數(shù)列bn的前3項(xiàng)的和等于，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an及數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.點(diǎn)撥先利用等差數(shù)列an的首項(xiàng)a1和公差d來(lái)表示bn，再證明bn為等比數(shù)列(1)證明lg a1、lg a2、lg a4成等差數(shù)列，2lg a2lg a1lg a4.即aa1a4，設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則(a1d)2a1(a13d)，整理得d2a1d.d0，a1d.a2na1(2n1)d2nd，bn.bn是以為首項(xiàng)，為公比的

2、等比數(shù)列(2)解b1b2b3，d3，a1d3.ana1(n1)d3n，bnn.Tnb1b2bn 回顧歸納在等差數(shù)列an中，通常把首項(xiàng)a1和公差d作為基本量，在等比數(shù)列bn中，通常把首項(xiàng)b1和公比q作為基本量，列關(guān)于基本量的方程(組)是解決等差數(shù)列和等比數(shù)列的常用方法變式訓(xùn)練1等差數(shù)列an中，a410，且a3，a6，a10成等比數(shù)列，求數(shù)列an前20項(xiàng)的和S20.解設(shè)數(shù)列an的公差為d，則a3a4d10d，a6a42d102d，a10a46d106d.由a3，a6，a10成等比數(shù)列得a3a10a，即(10d)(106d)(102d)2，整理得10d210d0，解得d0或d1.當(dāng)d0時(shí)，S2020

3、a4200；當(dāng)d1時(shí)，a1a43d7，S2020a1d207190330.二、 數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和例2在數(shù)列an中，a11，an12an2n.(1)設(shè)bn.證明：數(shù)列bn是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列an的前n項(xiàng)和點(diǎn)撥先利用等差數(shù)列的定義判斷bn是等差數(shù)列，借助bn求出an是解決第(2)小題的關(guān)鍵(1)證明由已知an12an2n得bn11bn1.bn1bn1，又b1a11.bn是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列(2)解由(1)知，bnn，bnn.ann2n1.Sn1221322n2n1兩邊乘以2得：2Sn121222(n1)2n1n2n兩式相減得：Sn121222n1n2n2n1n2n(1n)2n

4、1Sn(n1)2n1.回顧歸納遞推數(shù)列問(wèn)題通常借助構(gòu)建等差數(shù)列或等比數(shù)列來(lái)解決把一般數(shù)列問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩種基本數(shù)列問(wèn)題是解決數(shù)列的一種常用思想方法變式訓(xùn)練2已知數(shù)列an的首項(xiàng)a1，an1，n1,2，.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.(1)證明an1，1，又a1，1.數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列(2)解由(1)知1n，1，n.設(shè)Tn，則TnTn11Tn2.又123nn(n1)數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn2.三、等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合運(yùn)用例3已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)a11，公差d0，且第二項(xiàng)、第五項(xiàng)、第十四項(xiàng)分別是一個(gè)等比數(shù)列的第二項(xiàng)、第三項(xiàng)、第四項(xiàng)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)

5、設(shè)bn (nN*)，Snb1b2bn，是否存在最大的整數(shù)t，使得對(duì)任意的n均有Sn總成立？若存在，求出t；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由點(diǎn)撥解答本題的關(guān)鍵是求出an的通項(xiàng)公式，注意Sn大于總成立小于Sn的最小值解(1)由題意得(a1d)(a113d)(a14d)2，整理得2a1dd2.a11，解得(d0舍)，d2.an2n1 (nN*)(2)bn，Snb1b2bn.假設(shè)存在整數(shù)t滿足Sn總成立，又Sn1Sn0，數(shù)列Sn是單調(diào)遞增的S1為Sn的最小值，故，即t0，n2,3,4，)(1)求證：數(shù)列an是等比數(shù)列；(2)設(shè)數(shù)列an的公比為f(t)，作數(shù)列bn，使b11，bnf (n2,3,4，)求數(shù)列bn的通

6、項(xiàng)bn；(3)求和：b1b2b2b3b3b4b4b5b2n1b2nb2nb2n1.(1)證明由a1S11，S21a2，得a2，.又3tSn(2t3)Sn13t，3tSn1(2t3)Sn23t.，得3tan(2t3)an10.，(n2,3，)數(shù)列an是一個(gè)首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列(2)解由f(t)，得bnfbn1.數(shù)列bn是一個(gè)首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列bn1(n1).(3)解由bn，可知b2n1和b2n是首項(xiàng)分別為1和，公差均為的等差數(shù)列于是b1b2b2b3b3b4b4b5b2n1b2nb2nb2n1b2(b1b3)b4(b3b5)b6(b5b7)b2n(b2n1b2n1)(b2b4b2n)

7、n(2n23n)課堂小結(jié)：1等差數(shù)列和等比數(shù)列各有五個(gè)量a1，n，d，an，Sn或a1，n，q，an，Sn.一般可以“知三求二”，通過(guò)列方程(組)求關(guān)鍵量a1和d(或q)，問(wèn)題可迎刃而解2數(shù)列的綜合問(wèn)題通常可以從以下三個(gè)角度去考慮：建立基本量的方程(組)求解；巧用等差數(shù)列或等比數(shù)列的性質(zhì)求解；構(gòu)建遞推關(guān)系求解，有些數(shù)列問(wèn)題還要涉及其它章節(jié)的知識(shí)求解，如函數(shù)的思想等課時(shí)作業(yè)一、選擇題1數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn2n23n3，則a4a5a10等于()A171 B21 C10 D161答案D解析a4a5a10S10S3161.2(2010東北三省四市聯(lián)考)已知數(shù)列an滿足a11，an1an2n，則a10

8、等于()A1 024 B1 023C2 048 D2 047答案B解析利用累加法及等比數(shù)列求和公式，可求得a1021011 023，故選B.3已知一個(gè)等比數(shù)列首項(xiàng)為1，項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，其奇數(shù)項(xiàng)和為85，偶數(shù)項(xiàng)之和為170，則這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為()A4 B6 C8 D10答案C解析設(shè)項(xiàng)數(shù)為2n，公比為q.由已知S奇a1a3a2n1.S偶a2a4a2n.得，q2，S2nS奇S偶2552n8.4已知等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，數(shù)列bn滿足bnln an，b318，b612，則數(shù)列bn前n項(xiàng)和的最大值等于()A126 B130 C132 D134答案C解析an是各項(xiàng)不為0的正項(xiàng)等比數(shù)列，bnln an是等差

9、數(shù)列又b318，b612，b122，d2，Sn22n(2)n223n，(Sn)max1122311132.二、填空題5三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，它們的和為14，積為64，則這三個(gè)數(shù)按從小到大的順序依次為_(kāi)答案2,4,8解析設(shè)這三個(gè)數(shù)為，a，aq.由aaqa364，得a4.由aaq44q14.解得q或q2.這三個(gè)數(shù)為2,4,8.6一個(gè)等差數(shù)列的前12項(xiàng)和為354，前12項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)與奇數(shù)項(xiàng)和之比為3227，則這個(gè)等差數(shù)列的公差是_答案5解析S偶a2a4a6a8a10a12；S奇a1a3a5a7a9a11.則，S奇162，S偶192，S偶S奇6d30，d5.7等比數(shù)列an中，S33，S69，則a13a14a

10、15_.答案48解析易知q1，1q33，q32.a13a14a15(a1a2a3)q12S3q1232448.三、解答題8設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn) (nN*)均在函數(shù)y3x2的圖象上(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn，Tn是數(shù)列bn的前n項(xiàng)和，求使得Tn對(duì)所有nN*都成立的最小正整數(shù)m.解(1)依題意得3n2，即Sn3n22n.當(dāng)n2時(shí)，anSnSn13n22n3(n1)22(n1)6n5，當(dāng)n1時(shí)，a1S1312615，所以an6n5 (nN*)(2)由(1)得bn，故Tn，因此，使得0，a60，a4a2q20，a48.4設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S10S512，則S15

11、S5等于()A34 B23 C12 D13答案A解析顯然等比數(shù)列an的公比q1，則由1q5q5，故.5(2009安徽理，5)已知an為等差數(shù)列，a1a3a5105，a2a4a699，以Sn表示an的前n項(xiàng)和，則使得Sn達(dá)到最大值的n是()A21 B20 C19 D18答案B解析(a2a1)(a4a3)(a6a5)3d，991053d.d2.又a1a3a53a16d105，a139.Snna1dn2nn240n(n20)2400.當(dāng)n20時(shí)，Sn有最大值6已知數(shù)列an為等比數(shù)列，a22，a5，則a1a2a2a3anan1等于()A16(14n) B16(12n) C.(14n) D.(12n)答

12、案C解析設(shè)an的公比為q，則q3.q，a14，anan1也是等比數(shù)列且首項(xiàng)a1a28，公比為q2，a1a2a2a3anan1(14n)7(2009天津十二區(qū)縣畢業(yè)班聯(lián)考)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且S2142，記A2aa9a13，則A的值為()A2 B1 C16 D32答案B解析由S2121a1142，a112.a(a9a13)a2a110.A2aa9a13201.8若an是等比數(shù)列，其公比是q，且a5，a4，a6成等差數(shù)列，則q等于()A1或2 B1或2 C1或2 D1或2答案C解析依題意有2a4a6a5，即2a4a4q2a4q，而a40，q2q20，(q2)(q1)0.q1或q2.

13、9已知等差數(shù)列an的公差d0且a1，a3，a9成等比數(shù)列，則等于()A. B. C. D.答案C解析因?yàn)閍a1a9，所以(a12d)2a1(a18d)所以a1d.所以.10某純凈水廠在凈化過(guò)程中，每增加一次過(guò)濾可減少水中雜質(zhì)的20%，要使水中雜質(zhì)減少到原來(lái)的5%以下，則至少需過(guò)濾的次數(shù)為(lg 20.301 0)()A5 B10 C14 D15答案C解析設(shè)原雜質(zhì)數(shù)為1，各次過(guò)濾雜質(zhì)數(shù)成等比數(shù)列，且a11，公比q120%，an1(120%)n，由題意可知：(120%)n5%，即0.8n0.05.兩邊取對(duì)數(shù)得nlg 0.8lg 0.05，lg 0.8，即n13.41，取n14.11在數(shù)列an中，a

14、12，an1anln，則an等于()A2ln n B2(n1)ln nC2nln n D1nln n答案A解析an1anln，an1anlnlnln(n1)ln n.又a12，ana1(a2a1)(a3a2)(a4a3)(anan1)2ln 2ln 1ln 3ln 2ln 4ln 3ln nln(n1)2ln nln 12ln n.12(2009山東日照2月模擬)已知數(shù)列1，則是數(shù)列中的()A第48項(xiàng) B第49項(xiàng) C第50項(xiàng) D第51項(xiàng)答案C解析將數(shù)列分為第1組一個(gè)，第2組二個(gè)，第n組n個(gè)，即，則第n組中每個(gè)數(shù)分子分母的和為n1，則為第10組中的第5個(gè)，其項(xiàng)數(shù)為(1239)550.二、填空題(

15、本大題共4小題，每小題4分，共16分)13已知在等差數(shù)列an中，首項(xiàng)為23，公差是整數(shù)，從第七項(xiàng)開(kāi)始為負(fù)項(xiàng)，則公差為_(kāi)答案4解析由，解得d，dZ，d4.14在和之間插入三個(gè)數(shù)，使這五個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則插入的三個(gè)數(shù)的乘積為_(kāi)答案216解析設(shè)插入的三個(gè)數(shù)為，a，aq，則由題意有，a，也為等比數(shù)列，所以a236，由于，a，都處在奇數(shù)位上，所以同號(hào)，故a6，從而aaqa3216.15數(shù)列an中，Sn是其前n項(xiàng)和，若a11，an1Sn (n1)，則an_.答案解析an1Sn，an2Sn1，an2an1(Sn1Sn)an1an2an1 (n1)a2S1，an.16等差數(shù)列an中，a10|a10|，Sn為數(shù)

16、列an的前n項(xiàng)和，則使Sn0的n的最小值為_(kāi)答案20解析S1919a100.當(dāng)n19時(shí)，Sn0.故使Sn0的n的最小值是20.三、解答題(本大題共6小題，共74分)17(12分)已知數(shù)列l(wèi)og2(an1) (nN*)為等差數(shù)列，且a13，a39.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)證明：1.(1)解設(shè)等差數(shù)列l(wèi)og2(an1)的公差為d.由a13，a39得log2(91)log2(31)2d，則d1.所以log2(an1)1(n1)1n，即an2n1.(2)證明因?yàn)?，所?1.18(12分)函數(shù)f(x)3x22x，已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn)(n，Sn) (nN*)均在函數(shù)yf(x)的圖象上

17、(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn，Tn是數(shù)列bn的前n項(xiàng)和，求使得Tn對(duì)所有nN*都成立的最小正整數(shù)m.解(1)由點(diǎn)(n，Sn) (nN*)均在函數(shù)yf(x)的圖象上得Sn3n22n.當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1(3n22n)3(n1)22(n1)6n5；當(dāng)n1時(shí)，a1S1312211615.所以an6n5 (nN*)(2)由(1)得bn，故Tnbi因此，使得0，bnbn120.bn為首項(xiàng)b11，公差d2的等差數(shù)列bn2(n1)12n1，即bn的通項(xiàng)bn2n1.20(12分)某市2009年共有1萬(wàn)輛燃油型公交車(chē)有關(guān)部門(mén)計(jì)劃于2010年投入128輛電力型公交車(chē)，隨后電力型公交車(chē)每年的投入比上

18、一年增加50%，試問(wèn)：(1)該市在2016年應(yīng)該投入多少輛電力型公交車(chē)？(2)到哪一年底，電力型公交車(chē)的數(shù)量開(kāi)始超過(guò)該市公交車(chē)總量的？解(1)由題意可知，該市逐年投入的電力型公交車(chē)數(shù)量組成一個(gè)等比數(shù)列，其中a1128，q150%1.5，到2016年應(yīng)為a7，則到2016年該市應(yīng)該投入的電力型公交車(chē)為a7a1q61281.561 458(輛)(2)設(shè)經(jīng)過(guò)n年電力型公交車(chē)數(shù)量開(kāi)始超過(guò)該市公交車(chē)總量的，記Sna1a2an，依題意有，即Sn5 000，Sn256(1.5n1)5 000，即1.5n，解得n7.5，故n8.所以到2017年底，電力型公交車(chē)數(shù)量開(kāi)始超過(guò)該市公交車(chē)總量的.21(12分)設(shè)an是等差數(shù)列，bn是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1b11，a3b521，a5b313.(1)求an、bn的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.解(1)設(shè)an的公差為d，bn的公比為q，則依題意有q0且解得d2，q2.所以an1(n1)d2n1，bnqn12n1.(2).Sn1，2Sn23.得Sn2222226.22(14分)在數(shù)列an