181923 231　變量間的相關(guān)關(guān)系232　兩個(gè)變量的線性相關(guān)

1、2.3變量的相關(guān)性變量間的相關(guān)關(guān)系兩個(gè)變量的線性相關(guān)學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系的概念(重點(diǎn))2.會(huì)畫散點(diǎn)圖，并利用散點(diǎn)圖判斷兩個(gè)變量是否具有相關(guān)關(guān)系(重點(diǎn))3.理解最小二乘法原理，會(huì)求回歸直線方程(難點(diǎn))自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知一、變量間的相關(guān)關(guān)系1兩個(gè)變量的關(guān)系分類函數(shù)關(guān)系相關(guān)關(guān)系特征兩變量關(guān)系確定兩變量關(guān)系帶有隨機(jī)性2.散點(diǎn)圖將樣本中n個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi，yi)(i1,2，n)描在平面直角坐標(biāo)系中得到的圖形3正相關(guān)與負(fù)相關(guān)(1)正相關(guān)：如果一個(gè)變量的值由小變大時(shí)，另一個(gè)變量的值也由小變大，這種相關(guān)稱為正相關(guān)(2)負(fù)相關(guān)：如果一個(gè)變量的值由小變大時(shí)，另一個(gè)變量的值由大變小，

2、這種相關(guān)稱為負(fù)相關(guān)二、兩個(gè)變量的線性相關(guān)1最小二乘法設(shè)x、Y的一組觀察值為(xi，yi)，i1,2，n，且回歸直線方程為abx.當(dāng)x取值xi(i1,2，n)時(shí)，Y的觀察值為yi，差yii(i1,2，n)刻畫了實(shí)際觀察值yi與回歸直線上相應(yīng)點(diǎn)縱坐標(biāo)之間的偏離程度，通常是用離差的平方和，即Q(yiabxi)2作為總離差，并使之達(dá)到最小這樣，回歸直線就是所有直線中Q取最小值的那一條由于平方又叫二乘方，所以這種使“離差平方和最小”的方法，叫做最小二乘法2回歸直線方程的系數(shù)計(jì)算公式回歸直線方程回歸系數(shù)系數(shù)的計(jì)算公式方程或公式abxx上方加記號(hào)“ ”的意義區(qū)分y的估計(jì)值與實(shí)際值ya、b上方加“ ”表示由觀

3、察值按最小二乘法求得的估計(jì)值基礎(chǔ)自測(cè)1思考辨析(1)回歸直線方程中，由x的值得出的y值是準(zhǔn)確值()(2)回歸直線方程一定過(guò)樣本點(diǎn)的中心()(3)回歸直線方程一定過(guò)樣本中的某一個(gè)點(diǎn)()(4)選取一組數(shù)據(jù)中的部分點(diǎn)得到的回歸方程與由整組數(shù)據(jù)得到的回歸方程是同一個(gè)方程()答案 (1)×(2)(3)×(4) ×2過(guò)(3,10)，(7,20)，(11,24)三點(diǎn)的回歸直線方程是()A.1.755.75xB.1.755.75xC.5.751.75x D.5.751.75xC代入系數(shù)公式得1.75，5.75.代入直線方程，求得5.751.75x.故選C.3如圖2­3&

4、#173;1所示的兩個(gè)變量不具有相關(guān)關(guān)系的有_圖2­3­1是確定的函數(shù)關(guān)系；中的點(diǎn)大都分布在一條曲線周圍；中的點(diǎn)大都分布在一條直線周圍；中點(diǎn)的分布沒(méi)有任何規(guī)律可言，x，y不具有相關(guān)關(guān)系4若施肥量x(kg)與水稻產(chǎn)量y(kg)的線性回歸方程為5x250，當(dāng)施肥量為80 kg時(shí)，預(yù)計(jì)水稻產(chǎn)量約為_(kāi)kg.650把x80代入回歸方程得其預(yù)測(cè)值5×80250650(kg)合 作 探 究·攻 重 難相關(guān)關(guān)系的判斷(1)下列兩個(gè)變量之間的關(guān)系，哪個(gè)不是函數(shù)關(guān)系()A正方體的棱長(zhǎng)和體積B圓半徑和圓的面積C正n邊形的邊數(shù)和內(nèi)角度數(shù)之和D人的年齡和身高(2)對(duì)變量x，y有觀

5、測(cè)數(shù)據(jù)(xi，yi)(i1,2，10)，得散點(diǎn)圖；對(duì)變量u，v有觀測(cè)數(shù)據(jù)(ui，vi)(i1,2，10)，得散點(diǎn)圖.由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷()圖2­3­2A變量x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān)B變量x與y正相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)C變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān)D變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)思路探究結(jié)合相關(guān)關(guān)系，函數(shù)關(guān)系的定義及正負(fù)相關(guān)的定義分別對(duì)四個(gè)選項(xiàng)作出判斷(1)D(2)C(1)A、B、C都是函數(shù)關(guān)系，對(duì)于A，Va3；對(duì)于B，Sr2；對(duì)于C，g(n)(n2).而對(duì)于年齡確定的不同的人可以有不同的身高，選D.(2)由圖象知，變量x與y呈負(fù)相關(guān)關(guān)系；u與v呈正相關(guān)關(guān)系規(guī)律方法判斷兩

6、個(gè)變量x和y間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，常用的簡(jiǎn)便方法就是繪制散點(diǎn)圖，如果發(fā)現(xiàn)點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，那么這兩個(gè)變量就是線性相關(guān)的，注意不要受個(gè)別點(diǎn)的位置的影響.跟蹤訓(xùn)練1某公司20092019年的年利潤(rùn)x(單位：百萬(wàn)元)與年廣告支出y(單位：百萬(wàn)元)的統(tǒng)計(jì)資料如下表所示：年份200920192019201920192019利潤(rùn)x12.214.6161820.422.3支出y0.620.740.810.8911.11A.利潤(rùn)中位數(shù)是16，x與y有正線性相關(guān)關(guān)系B利潤(rùn)中位數(shù)是18，x與y有負(fù)線性相關(guān)關(guān)系C利潤(rùn)中位數(shù)是17，x與y有正線性相關(guān)關(guān)系D利潤(rùn)中位數(shù)是17，x與y有負(fù)線性相關(guān)關(guān)系

7、C由表知，利潤(rùn)中位數(shù)是(1618)17，且y隨x的增大而增大，故選C.求回歸直線方程探究問(wèn)題1怎樣判斷一組數(shù)據(jù)是否具有線性相關(guān)關(guān)系？提示畫出散點(diǎn)圖，若點(diǎn)大致分布在一條直線附近，就說(shuō)明這兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系，否則不具有線性相關(guān)關(guān)系2最小二乘法的實(shí)質(zhì)是什么？任何一組數(shù)據(jù)都可以由最小二乘法得出回歸直線方程嗎？提示實(shí)際上，最小二乘法就是從整體上看，使各點(diǎn)與回歸直線的距離最小用最小二乘法求回歸直線方程的前提是所給數(shù)據(jù)是線性相關(guān)的，不是線性相關(guān)的數(shù)據(jù)，求出回歸直線方程是無(wú)意義的3回歸系數(shù)的含義是什么？提示代表x每增加一個(gè)單位，y的平均增加單位數(shù)當(dāng)0時(shí)，兩變量呈正相關(guān)；當(dāng)0時(shí)，兩變量呈負(fù)相關(guān)一個(gè)車間為了

8、規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此進(jìn)行了10次試驗(yàn)，收集數(shù)據(jù)如下：零件數(shù)x(個(gè))102030405060708090100加工時(shí)間y(分)626875818995102108115122(1)y與x是否具有線性相關(guān)關(guān)系？(2)如果y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，求y關(guān)于x的回歸直線方程思路探究解(1)畫散點(diǎn)圖如下：由上圖可知y與x具有線性相關(guān)關(guān)系(2)列表、計(jì)算：i12345678910xi102030405060708090100yi626875818995102108115122xiyi6201 3602 2503 2404 4505 7007 1408 64010 35012 20

9、055，91.7，x38 500，iyi55 9500.668，91.70.668×5554.96.即所求的回歸直線方程為：0.668x54.96.母題探究：1.(變條件)已知變量x，y有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：x1234y1345(1)作出散點(diǎn)圖，y與x是否具有線性相關(guān)關(guān)系？(2)如果y與x具有相關(guān)關(guān)系，用最小二乘法求關(guān)于x，y的回歸直線方程解(1)散點(diǎn)圖如圖所示：由圖知y與x具有線性相關(guān)關(guān)系(2)，iyi16122039，1491630，×0，所以x為所求回歸直線方程2(變結(jié)論)本例條件不變，若已知y與x具有相關(guān)關(guān)系，且線性回歸方程為kx60，求k值解由題意可求得55，91.7，

10、代入kx60，得k0.576.規(guī)律方法1求回歸直線方程的一般步驟(1)收集樣本數(shù)據(jù)，設(shè)為(xi，yi)(i1,2，n)(數(shù)據(jù)一般由題目給出)(2)作出散點(diǎn)圖，確定x，y具有線性相關(guān)關(guān)系(3)把數(shù)據(jù)制成表格，計(jì)算出x，xiyi.(4)計(jì)算，x，xiyi.(5)代入公式計(jì)算，公式為(6)寫出回歸直線方程bxa.2回歸直線方程必過(guò)樣本中心點(diǎn)(，)利用回歸方程對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改進(jìn)后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過(guò)程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對(duì)照數(shù)據(jù)：x3456y2.5344.5(1)請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；(2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出回歸直線方程bxa

11、；(3)已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程，預(yù)測(cè)生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤？【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31892019】思路探究(1)以產(chǎn)量為橫坐標(biāo)，以生產(chǎn)能耗對(duì)應(yīng)的測(cè)量值為縱坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫散點(diǎn)圖；(2)應(yīng)用計(jì)算公式求得線性相關(guān)系數(shù)，的值；(3)實(shí)際上就是求當(dāng)x100時(shí)，對(duì)應(yīng)的v的值解(1)散點(diǎn)圖，如圖所示：(2)由題意，得iyi3×2.54×35×46×4.566.5，4.5，3.5，3242526286，0.7，3.50.7×4.50.35，故線性回歸直線方程為0.7x0

12、.35.(3)根據(jù)回歸直線方程的預(yù)測(cè)，現(xiàn)在生產(chǎn)100噸產(chǎn)品消耗的標(biāo)準(zhǔn)煤為0.7×1000.3570.35(噸)，故耗能減少了9070.3519.65(噸)標(biāo)準(zhǔn)煤規(guī)律方法回歸分析的三個(gè)步驟：(1)判斷兩個(gè)變量是否線性相關(guān)：可以利用經(jīng)驗(yàn)，也可以畫散點(diǎn)圖；(2)求線性回歸直線方程，注意運(yùn)算的正確性；(3)根據(jù)回歸直線進(jìn)行預(yù)測(cè)估計(jì)：估計(jì)值不是實(shí)際值，兩者會(huì)有一定的誤差.跟蹤訓(xùn)練2某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出y(百萬(wàn)元)與銷售額x(百萬(wàn)元)之間的關(guān)系如下表所示x8121416y58911(1)假定y與x之間存在線性相關(guān)關(guān)系，求其回歸直線方程(2)若廣告費(fèi)支出不少于60百萬(wàn)元，則實(shí)際銷售額應(yīng)不少于多少？

13、解(1)設(shè)回歸直線方程為bxa，則，××，則所求回歸直線方程為x.(2)由x60，得x84，所以實(shí)際銷售額不少于84百萬(wàn)元當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)·固 雙 基1設(shè)一個(gè)回歸方程31.2x，則變量x增加一個(gè)單位時(shí)()Ay平均增加1.2個(gè)單位By平均增加3個(gè)單位Cy平均減少1.2個(gè)單位Dy平均減少3個(gè)單位A由1.2>0，故選A.2下列有關(guān)線性回歸的說(shuō)法，不正確的是()A變量取值一定時(shí)，因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系B在平面直角坐標(biāo)系中用描點(diǎn)的方法得到表示具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的一組數(shù)據(jù)的圖形叫做散點(diǎn)圖C回歸直線方程最能代表觀測(cè)值x、y之間的線性關(guān)

14、系D任何一組觀測(cè)值都能得到具有代表意義的回歸直線D只有數(shù)據(jù)點(diǎn)整體上分布在一條直線附近時(shí)，才能得到具有代表意義的回歸直線3已知變量x，y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，其散點(diǎn)圖如圖2­3­3所示，則其回歸方程可能為()A.1.5x2B.1.5x2C.1.5x2D.1.5x2圖2­3­3B由散點(diǎn)圖知，變量x、y呈負(fù)相關(guān)，且回歸直線在y軸上的截距大于0，故0，0.因此回歸方程可能為1.5x2.4已知變量x與y正相關(guān)，且由觀測(cè)數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù)3，3.5，則由該觀測(cè)數(shù)據(jù)算得的線性回歸方程可能是()A.0.4x2.3B.2x2.4C.2x9.5 D.0.3x4.4A因?yàn)樽兞縳和y正相關(guān)，則回歸直線的斜率為正，故可以排除選項(xiàng)C和