2022年2012年全國中考數(shù)學(xué)壓軸題分類解析匯編專題5定值問題

1、【答案】 解：（1）作圖如下：2021 年全國中考數(shù)學(xué)（續(xù)61 套）壓軸題分類解析匯編專題 5：定值問題60. （ 2021 湖北咸寧 10 分） 如圖 1,矩形 MNPQ 中,點(diǎn) E,F,G,H 分別在 NP,PQ,QM ,MN 上,如1234 ,就稱四邊形EFGH 為矩形 MNPQ 的反射四邊形圖2,圖3,圖 4 中,四邊形 ABCD 為矩形,且 AB=4 ,BC=8 懂得與作圖：（ 1）在圖 2,圖 3 中,點(diǎn) E, F 分別在 BC, CD 邊上,試?yán)谜叫尉W(wǎng)格在圖上作出矩形 ABCD 的反射四邊形 EFGH 運(yùn)算與猜想：（ 2）求圖 2,圖 3 中反射四邊形 EFGH 的周長(zhǎng),并猜

2、想矩形ABCD 的反射四邊形的周長(zhǎng)是否為定值？啟示與證明：（ 3）如圖 4,為了證明上述猜想,小華同學(xué)嘗試延長(zhǎng)GF 交 BC 的延長(zhǎng)線于 M ,試?yán)眯∪A同學(xué)給我們的啟示證明（ 2）中的猜想可編輯資料 - - - 歡迎下載（ 2）在圖 2 中,EFFGGHHE2242202 5 ,可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載四邊形 EFGH 的周長(zhǎng)為 8 5 .1在圖 3 中,EFGH222225 ,FGHE36453 5 ,可編輯資料 - - - 歡迎下載四邊形 EFGH 的周長(zhǎng)為 2523 58 5 .猜想：矩形 ABCD 的反射四邊形的周長(zhǎng)為定值.（ 3）延長(zhǎng) GH

3、交 CB 的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N ,12 ,15 ,25 .又 FC=FC , Rt FCE RtFCM （ ASA ）. EF=MF , EC=MC .同理： NH=EH , NB=EB . MN=2BC=16 . M905901 , N903 , 13 , MN . GM=GN .可編輯資料 - - - 歡迎下載過點(diǎn) G 作 GK BC 于 K ,就 KM1MN8 .2可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載 GMGK 2KM 2428245 .可編輯資料 - - - 歡迎下載四邊形 EFGH 的周長(zhǎng)為 2GM8 5 .矩形 ABCD的反射四邊形的周長(zhǎng)為定值.【考點(diǎn)】 新定

4、義,網(wǎng)格問題,作圖（應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖）,勾股定理,全等三角形的判定和性質(zhì),矩形的性質(zhì),等腰三角形的判定和性質(zhì).【分析】（ 1）依據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu),作出相等的角即可得到反射四邊形.（2） 圖 2 中,利用勾股定理求出EF=FG=GH=HE的長(zhǎng)度,然后即可得到周長(zhǎng),圖 3 中利用勾股定理求出EF=GH ,FG=HE 的長(zhǎng)度,然后求出周長(zhǎng),從而得到四邊形EFGH 的周長(zhǎng)是定值.（3） 延長(zhǎng) GH 交 CB 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) N,再利用 “ASA”證明 Rt FCE 和 Rt FCM 全等,依據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得 EF=MF , EC=MC ,同理求出 NH=EH , NB=EB ,從而得到 MN=2BC

5、,再證明 GM=GN ,過點(diǎn) G 作 GK BC 于 K ,依據(jù)等腰三角形三線合一的性可編輯資料 - - - 歡迎下載質(zhì)求出 KM周長(zhǎng).1 MN8 ,再利用勾股定理求出GM 的長(zhǎng)度,然后即可求出四邊形EFGH 的2可編輯資料 - - - 歡迎下載61. （ 2021 福建泉州 12 分） 已知： A ，B ，C 不在同始終線上 .可編輯資料 - - - 歡迎下載（1）如點(diǎn) A ，B， C 均在半徑為 R 的 O 上,i）如圖一,當(dāng) A=45°時(shí), R=1,求 BOC 的度數(shù)和 BC 的長(zhǎng)度.BCii ）如圖二,當(dāng) A 為銳角時(shí),求證 sin A=2R .（2）.如定長(zhǎng)線段 BC 的兩

6、個(gè)端點(diǎn)分別在 MAN 的兩邊 AM ，AN （B ，C 均與點(diǎn) A 不重合）滑動(dòng),如圖三,當(dāng) MAN=6°0,BC=2 時(shí),分別作 BPAM ,CP AN ,交點(diǎn)為點(diǎn) P ,摸索索：在整個(gè)滑動(dòng)過程中,P，A 兩點(diǎn)的距離是否保持不變？請(qǐng)說明理由.【答案】 解：（ 1） i） A=45°, BOC=90°（同弧所對(duì)的圓周角等于其所對(duì)的圓心角的一半）.又 R=1,由勾股定理可知BC=11=2 .ii ）證明：連接 BO 并延長(zhǎng),交圓于點(diǎn)E,連接 EC.可知 EC BC （直徑所對(duì)的圓周角為90°）,且 E= A （同弧所對(duì)的圓周角相等） .BCBC可編輯資料

7、- - - 歡迎下載故 sin A=sin A=.BE2R可編輯資料 - - - 歡迎下載（ 2）保持不變.理由如下：如圖,連接 AP ,取 AP 的中點(diǎn) K,連接 BK ，CK ,可編輯資料 - - - 歡迎下載在 Rt APC 中, CK= 12同理得： BK=AK=PK.AP=AK=PK .可編輯資料 - - - 歡迎下載CK=BK=AK=PK.點(diǎn) A， B，P，C 都在 K 上.由（ 1） ii ） sinA= BC 可知 sin60 °= BC .可編輯資料 - - - 歡迎下載AP=BC43sin6032RAP（為定值）.可編輯資料 - - - 歡迎下載【考點(diǎn)】 三角形的

8、外接圓與外心,圓周角定理,勾股定理,銳角三角函數(shù)定義,特別角的三可編輯資料 - - - 歡迎下載角函數(shù)值,直角三角形中線性質(zhì).【分析】（ 1）i ）依據(jù)圓周角定理得出BOC=2 A=90°,再利用勾股定理得出BC 的長(zhǎng).BCBC可編輯資料 - - - 歡迎下載出即可.ii ）作直徑 CE,就 E= A , CE=2R,利用 sin A=sin E=BE2R,得可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載（ 2 ）第一證明點(diǎn)A ， B ， P ， C都在 K上,再利用sinA= BC2R,得出可編輯資料 - - - 歡迎下載AP=BC4 3sin603（定值）即可.

9、可編輯資料 - - - 歡迎下載62. （ 2021 四川自貢 12 分） 如以下圖,在菱形ABCD 中, AB=4 , BAD=120°, AEF為正三角形,點(diǎn) E，F(xiàn) 分別在菱形的邊 BC CD 上滑動(dòng),且 E，F(xiàn) 不與 B CD 重合（1） 證明不論 E，F(xiàn) 在 BC CD 上如何滑動(dòng),總有BE=CF .（2） 當(dāng)點(diǎn) E， F 在 BC CD 上滑動(dòng)時(shí),分別探討四邊形AECF 和 CEF 的面積是否發(fā)生變化？假如不變,求出這個(gè)定值.假如變化,求出最大（或最?。┲怠敬鸢浮?解：（ 1）證明：如圖,連接AC四邊形 ABCD 為菱形, BAD=12°0, BAE+ EAC=

10、60° , FAC+ EAC=60° , BAE= FAC . BAD=12°0, ABF=60° . ABC 和 ACD 為等邊三角形. ACF=60° , AC=AB . ABE= AFC .在 ABE 和 ACF 中, BAE= FAC , AB=AC , ABE= AFC , ABE ACF （ ASA ）. BE=CF .（ 2）四邊形 AECF 的面積不變, CEF 的面積發(fā)生變化.理由如下： 由（ 1）得 ABE ACF ,就 S ABE=SACF.S 四邊形 AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE =SABC,是定值.

11、作 AH BC 于 H 點(diǎn),就 BH=2 ,可編輯資料 - - - 歡迎下載S四邊形 AECFS ABC1 BC AH1 BCAB 2BH 24 3 .可編輯資料 - - - 歡迎下載22由 “垂線段最短 ”可知：當(dāng)正三角形 AEF 的邊 AE 與 BC 垂直時(shí), 邊 AE 最短 故 AEF 的面積會(huì)隨著 AE 的變化而變化, 且當(dāng) AE 最短時(shí), 正三角形 AEF的面積會(huì)最小,又 SCEF=S 四邊形 AECF SAEF,就此時(shí) CEF 的面積就會(huì)最大 S=S S122可編輯資料 - - - 歡迎下載CEF四邊形 AECFAEF4 3232 333 .2可編輯資料 - - - 歡迎下載 CE

12、F 的面積的最大值是3 .【考點(diǎn)】 菱形的性質(zhì),等邊三角形的判定和性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),勾股定理,垂直線段的性質(zhì).【分析】 （ 1）先求證 AB=AC ,進(jìn)而求證 ABC ， ACD 為等邊三角形,得 ACF =60°, AC=AB ,從而求證 ABE ACF ,即可求得 BE=CF .（ 2） 由 ABE ACF可 得S ABE =SACF, 故 根 據(jù)S四邊形AEC F=SAEC +S ACF=SAEC +S AB E=S ABC 即可得四邊形 AECF 的面積是定值. 當(dāng)正三角形 AEF 的邊 AE 與 BC 垂直時(shí),邊 AE 最短 AEF 的面積會(huì)隨著 AE 的變化而

13、變化,且當(dāng) AE 最短時(shí),正三角形 AEF 的面積會(huì)最小,依據(jù) S CEF=S 四邊形 AECF S AEF ,就 CEF 的面積就會(huì)可編輯資料 - - - 歡迎下載最大.63. （2021 四川成都 12 分） 如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy 中,一次函數(shù)5y=x+m 4 m 為可編輯資料 - - - 歡迎下載常數(shù) 的圖象與x 軸交于點(diǎn)A3 , 0,與 y 軸交于點(diǎn)C以直線x=1 為對(duì)稱軸的拋物線y=ax 2 +bx+ca,b, c 為常數(shù),且 a 0經(jīng) 過 A , C 兩點(diǎn),并與 x 軸的正半軸交于點(diǎn)B（ 1）求 m 的值及拋物線的函數(shù)表達(dá)式.（ 2）設(shè) E 是 y 軸右側(cè)拋物線上一點(diǎn), 過

14、點(diǎn) E 作直線 AC 的平行線交 x 軸于點(diǎn) F是否存在這樣的點(diǎn) E,使得以 A ,C,E,F 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如存在,求出點(diǎn) E 的坐標(biāo)及相應(yīng)的平行四邊形的面積.如不存在,請(qǐng)說明理由.（ 3）如 P 是拋物線對(duì)稱軸上使 ACP 的周長(zhǎng)取得最小值的點(diǎn), 過點(diǎn) P 任意作一條與 y 軸可編輯資料 - - - 歡迎下載不平行的直線交拋物線于Mx ,y,Mx ,y兩點(diǎn),摸索究M 1P M 2 P 是否為定值,可編輯資料 - - - 歡迎下載111222M 1M 2可編輯資料 - - - 歡迎下載并寫出探究過程可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載y=x+m【答案

15、】 解：（ 1）54經(jīng)過點(diǎn)（ 3, 0）, 154x+m=0,解得m= 15 .4可編輯資料 - - - 歡迎下載y=x+直線解析式為515 .44令 x=0 ,得 y= 15 . C（ 0, 15 ）.44拋物線 y=ax 2+bx+c 對(duì)稱軸為 x=1 ,且與 x 軸交于 A （ 3, 0）,另一交點(diǎn)為B（ 5, 0）.設(shè)拋物線解析式為y=a（ x+3 ）（x 5）,拋物線經(jīng)過C（ 0, 15 ）, 15 =a.3（ 5）,解得 a=1 .可編輯資料 - - - 歡迎下載44拋物線解析式為y=1y=142115可編輯資料 - - - 歡迎下載（ x+3 ）（ x 5）,即4x +x+.42

16、4可編輯資料 - - - 歡迎下載（ 2）假設(shè)存在點(diǎn)E 使得以 A ，C，E，F(xiàn) 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形, 就 AC EF 且 AC=EF ,如答圖 1.（i）當(dāng)點(diǎn) E 在點(diǎn) E 位置時(shí),過點(diǎn) E 作 EG x 軸于點(diǎn) G,AC EF, CAO= EFG.又 COA= EOF=900, AC=EF , CAO EFG可編輯資料 - - - 歡迎下載（AAS ）.EG=CO= 15 ,即 y E= 15 .可編輯資料 - - - 歡迎下載 15 =44x12115E +xE +,解得 xE=2（x E=0 與 C 點(diǎn)重合,舍去） .可編輯資料 - - - 歡迎下載4424E（ 2, 15 ）

17、, S. ACEF= 15 .42（ii ）當(dāng)點(diǎn) E 在點(diǎn) E位置時(shí),過點(diǎn) E作 EGx 軸于點(diǎn) G,可編輯資料 - - - 歡迎下載同理可求得 E（31+1,15 ）,S.ACEF= 1531+105 .可編輯資料 - - - 歡迎下載44（ 3）要使 ACP 的周長(zhǎng)最小,只需AP+CP 最小即可.可編輯資料 - - - 歡迎下載如答圖 2,連接 BC 交 x=1 于 P 點(diǎn),由于點(diǎn) A ，B 關(guān)于 x=1 對(duì)稱,依據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)以及兩點(diǎn)之間線段最短,可知此時(shí) AP+CP 最小（ AP+CP 最小值為線段BC 的長(zhǎng)度）.B（ 5,0）, C（ 0, 15 ）,4可編輯資料 - - - 歡迎下載

18、直線 BC 解析式為 y=3 x+ 15 .44可編輯資料 - - - 歡迎下載xP=1, y P=3,即 P（1, 3）.令經(jīng)過點(diǎn) P（ 1, 3）的直線為 y=kx+3 k,ykx3k可編輯資料 - - - 歡迎下載聯(lián)立 y=12115 得可編輯資料 - - - 歡迎下載x +x+424x2+（ 4k 2）x 4k3=0 ,x1+x 2=2 4k, x 1x 2=4k 3.y1=kx 1+3k, y 2=kx 2+3 k, y1 y2=k（x 1 x 2）.依據(jù)勾股定理得：M 1M 2=2222222xx+ yy=xx+kxx=1+kxx1212121212可編輯資料 - - - 歡迎下載= 1+k 22x1+x 24x1x 2 = 1+k 2224k44k3 =4 1+k 2可編輯資料 - - - 歡迎下載,可編輯資料 - - - 歡迎下載x112+ y1M 1P=23=x121+ kx1+3k32 =1+k 22x 11,可編輯資料 - - - 歡迎下載M 2P=可編輯資料 - - - 歡迎下載x 212+ y 223=x 221+ kx 2 +3k32 =1+k 22x 21.可編輯資料 - - - 歡迎下載M 1P.M2P=可編輯資料 - - - 歡迎下載1+k 222