20182019數學北師大版選修21練習4 用向量討論垂直與平行 1

1、基礎達標若(1，2，3)，(1，3，4)，則以下向量中能成為平面OAB的法向量的是()A(1，7，5)B(1，7，5)C(1，7，5)D(1，7，5)解析：選C.因為(1，7，5)·(1，2，3)114150，(1，7，5)·(1，3，4)121200，所以向量(1，7，5)能成為平面OAB的法向量若直線l的方向向量為a(1，0，2)，平面的法向量為u(2，0，4)，則()AlBlClDl與斜交解析：選B.u2a，a與u共線，l.已知A(1，2，11)，B(4，2，3)，C(6，1，4)，則ABC的形狀是()A等腰三角形B等邊三角形C直角三角形D等腰直角三角形解析：選C.(

2、5，1，7)，(2，3，1)，由于·0且|，故選C.已知平面與的一個法向量分別是a(x，2，2)，b(1，3，y)，若，且|a|2，則y()A5B1C4或4D5或1解析：選D.，ab，即x62y0，又|a|2，x2222224，由解得y5或y1.在直三棱柱ABC­A1B1C1中，ABACAA1，ABAC，E是BC的中點，則A1E與平面AB1C1的位置關系是()A相交但不垂直 BA1E平面AB1C1CA1E平面AB1C1 DA1E平面AB1C1解析：選A.建立如圖所示的空間直角坐標系取|AB|1，則A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，E(，0)，A1(0，0

3、，1)，B1(1，0，1)，C1(0，1，1)，(，1).(1，0，1)，(0，1，1)，由于·0，·0，故選A.已知點A(2，4，0)，B(1，3，3)，則直線AB與平面yOz交點C的坐標是_解析：令C的坐標為(0，y，z)，則由，得解得答案：(0，2，6)設平面的一個法向量為(3，2，1)，平面的一個法向量為(2，k)，若，則k等于_解析：，(3，2，1)(2，k)，即，解得k.答案：平面與平面的法向量分別是m，n，直線l的方向向量是a，給出下列論斷：mn；mn；aml；aml.其中正確的論斷為_(把你認為正確論斷的序號填在橫線上)解析：mn或、重合，不正確；mn，正確

4、；aml或l，不正確；aml，正確答案：如圖，在四棱錐S­ABCD中，底面ABCD為正方形，側棱SD底面ABCD，E、F分別為AB、SC的中點證明：EF平面SAD. 證明：建立如圖所示的空間直角坐標系 設A(a，0，0)，S(0，0，b)，則B(a，a，0)，C(0，a，0)，E，F.取SD的中點G，連接AG，則.因為，所以EFAG，又AG平面SAD，EF平面SAD，所以EF平面SAD.如圖，正方體ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G分別是B1B，AB，BC的中點證明：D1F平面AEG.證明：設a，b，c，則abc，ab，ac，·(abc)·(ab)

5、0，即D1FAG.·(abc)·(ac)0，即D1FAE，又AEAGA，D1F平面AEG.能力提升已知平面內有一點A(2，1，2)，它的一個法向量為n(3，1，2)，則下列點P中，在平面內的是()A(1，1，1)B(1，3，)C(1，3，)D(1，3，)解析：選B.要判斷點P是否在平面內，只需判斷向量與平面的法向量n是否垂直，即判斷·n是否為0即可，因此，要對各個選項進行逐個檢驗對于選項A，(1，0，1)，則·n(1，0，1)·(3，1，2)50，故排除A；對于選項B，(1，4，)，則·n(1，4，)·(3，1，2)0，故選

6、B.如圖，以等腰直角三角形斜邊BC上的高AD為折痕，把ABD與ACD折成互相垂直的兩個平面后，有以下四個結論：·0；BAC60°；三棱錐D­ABC是正三棱錐；平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直其中正確結論的序號是_(請把正確結論的序號都填上)解析：DA、DB、DC兩兩垂直，且|DA|DB|DC|，ABC為正三角形；D在平面ABC上的射影在ABC中心，故三棱錐D­ABC為正三棱錐，故不正確，正確答案：(1)如圖所示，已知平行六面體ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且C1CBC1CDBCD60°.求證：CC1BD

7、. (2)如圖，已知平行四邊形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，點M，N分別在對角線BD，AE上，且BMBD，ANAE，求證：MN平面CDE.證明：(1)設a，b，c，則|a|b|.ba，·(ba)·cb·ca·c|b|c|cos 60°|a|c|cos 60°0，即CC1BD.(2)()().又與不共線，根據共面向量定理，可知，共面因為MN不在平面CDE內，所以MN平面CDE.4(1)在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1平面ABC，BCAC，BCAC2，AA13，D是AC的中點，問在側棱AA1上是否存在點P，使C

8、P平面BDC1，并證明你的結論(2)已知：四棱錐P­ABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，且PAAB2，ABC60°，BC，PD的中點分別為E，F.在線段AB上是否存在一點G，使得AF平面PCG？若存在，指出G在AB上的位置并給出證明；若不存在，請說明理由解：(1)不存在證明如下：以C1為原點，C1A1，C1C，C1B1所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則B(0，3，2)，C(0，3，0)，D(1，3，0)，(0，3，2)，(1，3，0)假設側棱AA1上存在一點P(2，y，0)(0y3)使CP平面BDC1，(2，y3，0)，即這樣的y不存在側棱AA1上不存在點P，使CP平面BDC1.(2)由題意知PA平面ABCD，又因為底面ABCD是菱形，得ABBC且ABC60°，所以ABC是正三角形，連接AE，又E是BC的中點，BCAE，故AE，AD，AP彼此兩兩垂直，以AE，AD，AP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系(圖略)，PAAB2，故A(0，0，0)，B(，1，0)，P(0，0，2)，F(0，1，1)，C(，1，0)，(0，0，2