正方形內(nèi)的半角模型22問

1、正方形內(nèi)的半角模型22問何為半角模型？如圖a，在ABC中，BAC=2DAE，AB=AC。這種模型就叫做“半角模型”。“半角模型”通常解題的方法是“旋轉(zhuǎn)”?！纠?】如圖a，ABC中，AB=AC，BAC=120°，D、E是BC邊上的點(diǎn)，DAE=60°，BD=5，CE=8，求DE的長(zhǎng)?！咎崾尽繉?，AEC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120º得到APB，過點(diǎn)P作PMBC于點(diǎn)M，連接PD（如圖a-1）。則APDAED，PBM=60º。正方形中的半角模型：【例2】已知正方形ABCD，AB=6，點(diǎn)P在對(duì)角線BD上，AP交DC于點(diǎn)G，PHDC，PEPA交BC于點(diǎn)E，PFBC于點(diǎn)F，連

2、接EG交PF于點(diǎn)N，連接AN交PE于點(diǎn)M，EKBD于點(diǎn)K，連接AE交BD于點(diǎn)Q。則有以下結(jié)論：（1）PAE是等腰直角三角形；（2）EF=FC（四邊形EFHP為平行四邊形）；（3）PB-PD=2BE；（4）EG=EB+DG；（5）BC+BE=2BP；（6）GA平分DGE；（7）A到EG的距離為定值；（8）EFN的周長(zhǎng)為定值；（9）FH=AP；（10）BAE=BPE；（11）NE=NG=NP（NEP=NPE，NPG=NGP）；（12）KEQ=PEN；（13）APB=AEG；（14）DGE=2AQD；（15）PQ²=BQ²+PD²；（16）AB=2PK（PK=32）；（

3、17）若BE=2，則PF=4且DG=GC；（18）若EPF=22.5º，則PF=PK；（19）若PEC是等邊三角形，則PE=63-6（PF=9-33，PD=36-32）；（20）SABE=6，則SECG=6；（21）若ANEG，則PD=62-6；（22）若ANEG，則NA-NE=2NP?！窘馕觥浚?）延長(zhǎng)FP（如圖1-1），則PIDH為正方形，EPF=PAI，EPFPAI，PA=PE，又PEAP，PAE為等腰直角三角形；（2）EF=IP=ID=FC，PHEF，故四邊形EFHP為平行四邊形；（3）PB-PD=2BF-2PH=2（BF-PH）=2（BF-EF）=2BE；（4）將ADG繞點(diǎn)

4、A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90º得到ABJ（如圖1-2）。則AJ=AG，GAE=JAE=45º，AE=AE，GAEJAE，JE=EG，JE=JB+BE，JB=DG，EG=EB+DG；（5）BP=BD-PD=2BC-2FC，2BP=2BC-2FC=BC+（BC-FC-EF）=BC+BE；（6）由（4），AJB=AGE=AGD，故GA平分DGE；（7）由（4），AEB=AEG=AGD，故A到EG的距離=AB=6，為定值；（8）CECG=EC+CG+EG=EC+CG+GD+BE=BC+CD=12，EF=FC，F(xiàn)NCG，N為EG中點(diǎn)，CEFN=CECG÷2=6，為定值；（9）連接PC（

5、如圖1-3），根據(jù)對(duì)稱性，PA=PC，四邊形FCHP為矩形，PC=FH，PA=FH；（10）BAE+DAG=45º，BPE+EPF=45º，EPF=DAG（參照（1）的證明），BAE=BPE；（11）由（8）知，點(diǎn)N為EG中點(diǎn)，EPG為直角三角形，NE=NG=NP（NEP=NPE，NPG=NGP）；（12）KEQ=AEB-45º=90º-BAE -45º=45º-BAE=DAG；PEN=EPN=DAG，KEQ=PEN；（13）APB=BPC=45º+FPC=45º+EPN=45º+PEN=AEG；（14）

6、AQD=45º+BAE=45º+45º-DAG=90º-DAG=AGD，2AQD=2AGD=DGE；（15）將ABQ繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90º得到ADR，連接RP（如圖1-4）。則AR=AQ，RAP=QAP=45º，AP=AP，RAPQAP，PQ=PR，RD=BQ；ADR=ADP=45º，PDR=90º，PR²=RD²+PD²，即：PR²=RD²+PD²；（16）PK=BD-BK-PD=2AB-2BE/2-2PH=2AB-2BE/2-2FC=2AB-（2/2）

7、（BE+2FC）=2AB-（2/2）AB=（2/2）AB，AB=2PK；或6=2PK，PK=3 2；（17）FC=（6-2）÷2=2，PI=2，PF=4；設(shè)DG=x，則：（6-x）²+4²=(2+x)²，解得：x=3，GC=6-3=3，故DG=GC；（18）EPF=22.5º，DAG=BAE=22.5º，則ADGABE，DG=BE，CE=CG，GEC=45º，KEG=90º，AEP=45º，KEQ=PEN（第12問），KEQ=PEN=22.5º，PEK=PEF=67.5º，又

8、PFEF，PKEK，PK=PF；（19）設(shè)FC=a，則PI=a，PC=PE=2a，PF=3a，IF=（3+1）a=6，a=6÷（3+1）=3（3-1）；PE=6（3-1）；PF=3·3（3-1）=9-33，PD=2·3（3-1）=36-32；（20）SABE=6，BE=2，由（17），GC=3；EC=4，SECG=3×4÷2=6；（21）點(diǎn)N為EG中點(diǎn)，又ANEG，AG=AE，ADGABE。DAG=BAE=22.5º，EPF=FPC=22.5º；PCF=67.5º，PBC=45º，BPC=67.5º，BP=BC=6，BD=62，PD=62-6；（22）由（21），AE=AG，DPG=DGP=67.5º，PD=DG=62-6，PDNG，PNDG，四邊形DGNP為平行四邊形，NP=DG=62-6，NE=NG=PD=62-6；ANGN，ADDG，AG=AG，ADGANG，AN=AD=6，NA-NE=6-（62-6）=12-62，2NP=2（62-6）=12-62，NA-NE