矩陣的基本概念(共7頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上§1 矩陣及其運算教學要求 ： 理解矩陣的定義、掌握矩陣的基本律、掌握幾類特殊矩陣（比如零矩陣，單位矩陣，對稱矩陣和反對稱矩陣 ) 的定義與性質(zhì)、注意矩陣運算與通常數(shù)的運算異同。能熟練正確地進行矩陣的計算。 知識要點 ：一、矩陣的基本概念矩陣，是由 個數(shù)組成的一個 行 列的矩形表格，通常用大寫字母 表示，組成矩陣的每一個數(shù)，均稱為矩陣的元素，通常用小寫字母其元素 表示，其中下標 都是正整數(shù)，他們表示該元素在矩陣中的位置。比如， 或 表示一個 矩陣，下標 表示元素 位于該矩陣的第 行、第 列。元素全為零的矩陣稱為零矩陣。 特別地，一個 矩陣 ，也稱為一個 維列

2、向量；而一個 矩陣 ，也稱為一個 維行向量。 當一個矩陣的行數(shù) 與烈數(shù) 相等時，該矩陣稱為一個 階方陣。對于方陣，從左上角到右下角的連線，稱為主對角線；而從左下角到右上角的連線稱為付對角線。若一個 階方陣的主對角線上的元素都是 ，而其余元素都是零，則稱為單位矩陣，記為 ，即： 。如一個 階方陣的主對角線上（下）方的元素都是零，則稱為下（上）三角矩陣，例如， 是一個 階下三角矩陣，而 則是一個 階上三角矩陣。今后我們用 表示數(shù)域 上的 矩陣構(gòu)成的集合，而用 或者 表示數(shù)域 上的 階方陣構(gòu)成的集合。 二、矩陣的運算1、矩陣的加法 ： 如果 是兩個同型矩陣（即它們具有相同的行數(shù)和列數(shù)，比如說 ），則

3、定義它們的和 仍為與它們同型的矩陣（即 ）， 的元素為 和 對應元素的和，即： 。 給定矩陣 ，我們定義其負矩陣 為： 。這樣我們可以定義同型矩陣 的減法為： 。由于矩陣的加法運算歸結(jié)為其元素的加法運算，容易驗證，矩陣的加法滿足下列 運算律： （ 1）交換律： ； （ 2）結(jié)合律： ； （ 3）存在零元： ； （ 4）存在負元： 。 2 、數(shù)與矩陣的乘法 ： 設(shè) 為一個數(shù)， ，則定義 與 的乘積 仍為 中的一個矩陣， 中的元素就是用數(shù) 乘 中對應的元素的道德，即 。由定義可知： 。容易驗證數(shù)與矩陣的乘法滿足下列運算律： （1 ） ； （2 ） ； （3 ） ； （4 ） 。 3 、矩陣的乘法：

4、設(shè) 為 距陣， 為 距陣，則矩陣 可以左乘矩陣 （注意：距陣 德列數(shù)等與矩陣 的行數(shù)），所得的積為一個 距陣 ，即 ，其中 ，并且 。 據(jù)真的乘法滿足下列 運算律（假定下面的運算均有意義）： （ 1）結(jié)合律： ； （ 2）左分配律： ； （ 3）右分配律： ； （ 4）數(shù)與矩陣乘法的結(jié)合律： ； （ 5）單位元的存在性： 。 若 為 階方陣，則對任意正整數(shù) ，我們定義： ，并規(guī)定： 由于矩陣乘法滿足結(jié)合律，我們有： ， 。 注意： 矩陣的乘法與通常數(shù)的乘法有很大區(qū)別，特別應該注意的是： （1 ）矩陣乘法不滿足交換律：一般來講即便 有意義， 也未必有意義；倘使 都有意義，二者也未必相等（請讀者自

5、己舉反例）。正是由于這個原因，一般來講， ， 。 （2 ）兩個非零矩陣的乘積可能是零矩陣，即 未必能推出 或者 （請讀者自己舉反例）。 （3 ）消去律部成立：如果 并且 ，未必有 。 4 、矩陣的轉(zhuǎn)置 ： 定義：設(shè) 為 矩陣，我們定義 的轉(zhuǎn)置為一個 矩陣，并用 表示 的轉(zhuǎn)置，即： 。矩陣的轉(zhuǎn)置運算滿足下列運算律： （1 ） ； （2 ） ； （3 ） ； （4 ） 。 5、對稱矩陣 ： 定義1.11 階方陣 若滿足條件： ，則稱 為對稱矩陣；若滿足條件： ，則稱 為反對稱矩陣。若設(shè) ，則 為對稱矩陣，當且僅當 對任意的 成立； 為反對稱矩陣，當且僅當 對任意的 成立。從而反對稱局針對角線上的元素必為零。對稱矩陣具有如下性質(zhì)： （1 ）對于任意 矩陣 ， 為 階對稱矩陣；而 為 階對稱矩陣； （2 ）兩個同階（反）對稱矩陣的和，仍為（反）對稱矩陣； （3 ）如果兩個同階（反）對稱矩陣 可交換，即 ，則它們的乘積 必為對稱矩陣，即 。 思考題：1 、設(shè) 為第 個分量為 ，而其余分