計(jì)算迎面相遇和追及相遇次數(shù)的問題

1、計(jì)算迎面相遇和追及相遇次數(shù) 的問題計(jì)算迎面相遇和追及相遇次數(shù)的問題咼等有趣，值得一探【題目】一游泳池道長(zhǎng)100米，甲乙兩個(gè)運(yùn)動(dòng)員從泳道的兩端同時(shí)下水做往返訓(xùn)練 - 鐘，甲每分鐘游81米，乙每分鐘游89米。甲運(yùn)動(dòng)員一共從乙運(yùn)動(dòng)員身邊經(jīng)過了多少次【解答】從身邊經(jīng)過，包括 迎面和追上兩種情況。能迎面相遇【（81 + 89）X 15+ 100】十200,取整是13次。第一次追上用100-（ 89- 81）= 12.5分鐘,以后每次追上需要12.5 X 2 = 25分鐘，顯然15分鐘只能追上一次。因此經(jīng)過13+ 1= 14次。時(shí)甲如果甲乙從A，B兩點(diǎn)出發(fā)，甲乙第n次迎面相遇時(shí)，路程和為全長(zhǎng)的 2n-1倍

2、，而此 走的路程也是第一次相遇時(shí)甲走的路程的2n-1倍（乙也是如此）?？偨Y(jié)：若兩人走的一個(gè)全程中甲走 1份M米,兩人走3個(gè)全程中甲就走3份M米。（含義是說，第一次相遇時(shí)，甲乙實(shí)際就是走了一個(gè)全程，第二次相遇時(shí)，根據(jù)上面的公 式，甲乙走了 2x2-1=3個(gè)全程，如果在第一次相遇時(shí)甲走了 m米，那么第二次相遇時(shí)甲就 走了 3個(gè)m米）F面我們用這個(gè)方法看一道例題。 湖中有A, B兩島，甲、乙二人都要在兩島間游一個(gè)來回。 兩人分別從A, B兩島同時(shí)出發(fā), 他們第一次相遇時(shí)距 A島700米，第二次相遇時(shí)距 B島400米。問：兩島相距多遠(yuǎn)？【解】從起點(diǎn)到第一次迎面相遇地點(diǎn)，兩人共同完成1個(gè)全長(zhǎng)，從起點(diǎn)到第

3、二次迎面相遇地點(diǎn)，兩人共同完成3個(gè)全長(zhǎng)，此時(shí)甲走的路程也為第一次相遇地點(diǎn)的 3倍。畫圖可知，由3倍關(guān)系得到：A，B兩島的距離為 700 X 3-400=1700米小學(xué)奧數(shù)行程問題分類討論2010-06-08 12:00:20來源：網(wǎng)絡(luò)資源 進(jìn)入論壇行程問題是小升初考試和小學(xué)四大杯賽四大題型之一 （計(jì)算、數(shù)論、幾何、行程。具 體題型變化多樣，形成10多種題型，都有各自相對(duì)獨(dú)特的解題方法。現(xiàn)根據(jù)四大杯賽的 真題研究和主流教材將小題型總結(jié)如下，希望各位看過之后給予更加明確的分類。般相遇追及問題。包括一人或者二人時(shí)（同時(shí)、異時(shí)）、地（同地、異地）、向（同向、相向）的時(shí)間和距離等條件混合出現(xiàn)的行程問題。

4、在杯賽中大量出現(xiàn)，約占80%左右建議熟練應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)解法，即s=v X t結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)畫圖（基本功）解答。由于只用到相遇追及的 基本公式即可解決，并且要就題論題，所以無法展開，但這是考試中最常碰到的，希望高 手做更為細(xì)致的分類。、復(fù)雜相遇追及冋題（1）多人相遇追及問題。比一般相遇追及問題多了一個(gè)運(yùn)動(dòng)對(duì)象，即一般我們能碰到 的是三人相遇追及問題。解題思路完全一樣，只是相對(duì)復(fù)雜點(diǎn)，關(guān)鍵是標(biāo)準(zhǔn)畫圖的能力能 否清楚表明三者的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。（2）多次相遇追及問題。即兩個(gè)人在一段路程中同時(shí)同地或者同時(shí)異地反復(fù)相遇和追 及，俗稱反復(fù)折騰型問題。分為標(biāo)準(zhǔn)型（如已知兩地距離和兩者速度，求 n次相遇或者追 及點(diǎn)距特定地點(diǎn)的距

5、離或者在規(guī)定時(shí)間內(nèi)的相遇或追及次數(shù)）和純周期問題（少見，如已知兩者速度，求一個(gè)周期后，即兩者都回到初始點(diǎn)時(shí)相遇、追及的次數(shù)）。標(biāo)準(zhǔn)型解法固定，不能從路程入手，將會(huì)很繁，最好一開始就用求單位相遇、追及時(shí) 間的方法，再求距離和次數(shù)就容易得多。如果用折線示意圖只能大概有個(gè)感性認(rèn)識(shí)，無法 具體得出答案，除非是非考試時(shí)間仔細(xì)畫標(biāo)準(zhǔn)尺寸圖。一般用到的時(shí)間公式是（只列舉甲、乙從兩端同時(shí)出發(fā)的情況，從同一端出發(fā)的情況 少見，所以不贅述）：?jiǎn)纬滔嘤鰰r(shí)間：t單程相遇=s/（v甲+v乙）單程追及時(shí)間：t單程追及=s/（v甲-V乙）第n次相遇時(shí)間：Tn= t單程相遇x （2n-1）第m次追及時(shí)間：Tm= t單程追及x

6、 （2m-1）限定時(shí)間內(nèi)的相遇次數(shù)：N相遇次數(shù)=(Tn+ t單程相遇)/2 t單程相遇限定時(shí)間內(nèi)的追及次數(shù)：M追及次數(shù)=(Tm+ t單程追及)/2 t單程追及注：是取整符號(hào)之后再選取甲或者乙來研究有關(guān)路程的關(guān)系，其中涉及到周期問題需要注意，不要把 運(yùn)動(dòng)方向搞錯(cuò)了。簡(jiǎn)單例題：甲、乙兩車同時(shí)從 A地出發(fā)，在相距300千米的A、B兩地之間不斷往返行駛，已知甲車的速度是每小時(shí) 30千米，乙車的速度是每小時(shí)20千米，問(1)第二次迎 面相遇后又經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間甲、乙追及相遇？(2)相遇時(shí)距離中點(diǎn)多少千米？(3)50小時(shí)內(nèi)，甲 乙兩車共迎面相遇多少次？、火車問題。特點(diǎn)無非是涉及到車長(zhǎng)，相對(duì)容易。小題型分為:(

7、1)火車vs點(diǎn)(靜止的，如電線桿和運(yùn)動(dòng)的，如人)s火車=(v火車土 V人)x t經(jīng)過(2)火車vs線段(靜止的，如橋和運(yùn)動(dòng)的，如火車)S火車+S橋=v火車x t經(jīng)過和s火 車1+s火車2=(v火車1± v火車2） X t經(jīng)過合并（1）和（2）來理解即s和=v相對(duì)X t經(jīng)過把電線桿、人的水平長(zhǎng)度想象為0即可火車問題足見基本公式的應(yīng)用廣度，只要略記公式，火車問題一般不是問題。（3）坐在火車?yán)铩１旧硭诨疖嚨能囬L(zhǎng)就形同虛設(shè)了，注意的是相對(duì)速度的計(jì)算。電 線桿、橋、隧道的速度為0（弱智結(jié)論）。四、流水行船問題。理解了相對(duì)速度，流水行船問題也就不難了。理解記住1個(gè)公式 （順?biāo)?靜水船速+水

8、流速度）就可以順勢(shì)理解和推導(dǎo)出其他公式（逆水船速二靜水船速- 水流速度，靜水船速=（順?biāo)?逆水船速）寧2，水流速度=（順?biāo)?逆水船速）-2）， 對(duì)于流水問題也就夠了。技巧性結(jié)論如下:（1）相遇追及。水流速度對(duì)于相遇追及的時(shí)間沒有影響，即對(duì)無論是同向還是相向的 兩船的速度差不構(gòu)成“威脅”，大膽使用為善。流水落物。漂流物速度二水流速度，t仁t2（t1 :從落物到發(fā)現(xiàn)的時(shí)間段，t2 :從 發(fā)現(xiàn)到拾到的時(shí)間段）與船速、水速、順行逆行無關(guān)。此結(jié)論所帶來的時(shí)間等式常常非常 容易的解決流水落物問題，其本身也非常容易記憶。例題：一條河上有甲、乙兩個(gè)碼頭，甲碼頭在乙碼頭的上游50千米處。一艘客船和一艘貨

9、船分別從甲、乙兩碼頭同時(shí)出發(fā)向上游行駛，兩船的靜水速度相同?？痛霭l(fā)時(shí)有 一物品從船上落入水中，10分鐘后此物品距客船5千米?？痛谛旭?0千米后掉頭追趕 此物品，追上時(shí)恰好和貨船相遇。求水流速度。五、間隔發(fā)車問題。空間理解稍顯困難，證明過程對(duì)快速解題沒有幫助。一旦掌握了 3個(gè)基本公式，一般問題都可以迎刃而解。(1) 在班車?yán)?。即柳卡問題。不用基本公式解決，快速的解法是直接畫時(shí)間-距離圖,再畫上密密麻麻的交叉線，按要求數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可完成。如果不畫圖，單憑想象似乎對(duì)于 像我這樣的一般人兒來說不容易。例題：A、B是公共汽車的兩個(gè)車站，從 A站到B站是上坡路。每天上午8點(diǎn)到11點(diǎn)從A、B兩站每隔30

10、分同時(shí)相向發(fā)出一輛公共汽車。已知從A站到B站單程需要105分鐘, 從B站到A站單程需要80分鐘。問8: 30、9： 00從A站發(fā)車的司機(jī)分別能看到幾輛從 B站開來的汽車？(2) 在班車外。聯(lián)立3個(gè)基本公式好使汽車間距=(汽車速度+行人速度)X相遇事件時(shí)間間隔 1汽車間距=(汽車速度-行人速度)X追及事件時(shí)間間隔1、2合并理解，即汽車間距=相對(duì)速度X時(shí)間間隔分為2個(gè)小題型：1、一般間隔發(fā)車問題。用3個(gè)公式迅速作答;2、求到達(dá)目的地后 相遇和追及的公共汽車的輛數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)方法是：畫圖 -盡可能多的列3個(gè)好使公式-結(jié)合s全 程=vX t-結(jié)合植樹問題數(shù)數(shù)。例題：小峰在騎自行車去小寶家聚會(huì)的路上注意到，每

11、隔 9分鐘就有一輛公交車從后 方超越小峰。小峰騎車到半路車壞了，于是只好坐出租車去小寶家。這時(shí)小峰又發(fā)現(xiàn)出租 車也是每隔9分鐘超越一輛公交車，已知出租車的速度是小峰騎車速度的5倍，如果這3種車輛在行駛過程中都保持勻速，那么公交車站每隔多少分鐘發(fā)一輛車？六、平均速度問題。相對(duì)容易的題型。大公式要牢牢記?。嚎偮烦?平均速度X總時(shí)間。用s=vXt寫出相應(yīng)的比要比直接寫比例式好理解并且規(guī)范，形成行程問題的統(tǒng)一解 決方案。七、環(huán)形問題。是一類有挑戰(zhàn)性和難度的題型，分為“同一路徑”、“不同路徑”、“真實(shí)相遇”、“能否看到”等小題型。其中涉及到周期問題、幾何位置問題（審題不仔細(xì)容易漏掉多種位置可能）、不等式

12、問題（針對(duì)“能否看到”問題，即問甲能否在線段的拐 角處看到乙）。仍舊屬于就題論題范疇，不展開了。八、鐘表問題。是環(huán)形問題的特定引申?；娟P(guān)系式：v分針=12v時(shí)針（1）總結(jié)記憶：時(shí)針每分鐘走1/12格，0.5 ° ;分針每分鐘走1格，6°。時(shí)針和分針 “半”天共重合11次，成直線共11次，成直角共22次（都在什么位置需要自己拿表畫圖 總結(jié)）?；窘忸}思路：路程差思路。即格或角（分針）=格或角（時(shí)針）+格或角（差）格：x=x/12+（開始時(shí)落后時(shí)針的格+終止時(shí)超過時(shí)針的格）角：6x=x/2+（開始時(shí)落后時(shí)針的角度+終止時(shí)超過時(shí)針的角度）可以解決大部分時(shí)針問題的題型，包括重合、

13、成直角、成直線、成任意角度、在哪兩 個(gè)格中間，和哪一個(gè)時(shí)刻形成多少角度。例題：在9點(diǎn)23分時(shí)，時(shí)針和分針的夾角是多少度？從這一時(shí)刻開始，經(jīng)過多少分鐘, 時(shí)針和分針第一次垂直？（3）壞鐘問題。所用到的解決方法已經(jīng)不是行程問題了，變成比例問題了，有相應(yīng)的 比例公式。這里不做討論了，我也討論不好，都是考公務(wù)員的題型，有難度。九、自動(dòng)扶梯問題。仍然用基本關(guān)系式 s扶梯級(jí)數(shù)=（v人速度土 V扶梯速度）x t上或 下解決最漂亮。這里的路程單位全部是“級(jí)”，唯一要注意的是t上或下要表示成實(shí)際走的級(jí)數(shù)/人的速度?？梢訮K掉絕大部分自動(dòng)扶梯問題。例題：商場(chǎng)的自動(dòng)扶梯以勻速由下往上行駛，兩個(gè)孩子在行駛的扶梯上上下

14、走動(dòng)，女 孩由下向上走，男孩由上向下走，結(jié)果女孩走了 40級(jí)到達(dá)樓上，男孩走了 80級(jí)到達(dá)樓下。 如果男孩單位時(shí)間內(nèi)走的扶梯級(jí)數(shù)是女孩的 2倍，則當(dāng)該扶梯靜止時(shí)，可看到的扶梯梯級(jí) 有多少級(jí)？十、十字路口問題。即在不同方向上的行程問題。沒有特殊的解題技巧，只要老老實(shí) 實(shí)把圖畫對(duì)，再通過幾何分析就可以解決。十一、校車問題。就是這樣一類題：隊(duì)伍多，校車少，校車來回接送，隊(duì)伍不斷步行 和坐車，最終同時(shí)到達(dá)目的地（即到達(dá)目的地的最短時(shí)間，不要求證明）分4種小題型：根 據(jù)校車速度（來回不同）、班級(jí)速度（不同班不同速）、班數(shù)是否變化分類。（1）車速不變-班速不變-班數(shù)2個(gè)（最常見）(2) 車速不變-班速不變

15、-班數(shù)多個(gè)(3) 車速不變-班速變-班數(shù)2個(gè)(4) 車速變-班速不變-班數(shù)2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)解法：畫圖-列3個(gè)式子：1、總時(shí)間=一個(gè)隊(duì)伍坐車的時(shí)間+這個(gè)隊(duì)伍步行的時(shí)間;2、 班車走的總路程；3、一個(gè)隊(duì)伍步行的時(shí)間=班車同時(shí)出發(fā)后回來接它的時(shí)間。最后會(huì)得到 幾個(gè)路程段的比值，再根據(jù)所求代數(shù)即可。此類問題可以得到幾個(gè)公式，但實(shí)話說公式無 法記憶，因?yàn)橄鄬?duì)復(fù)雜，只能臨考時(shí)抱佛腳還管點(diǎn)兒用。孩子有興趣推導(dǎo)一下倒可以，不 要死記硬背。簡(jiǎn)單例題：甲班與乙班學(xué)生同時(shí)從學(xué)校出發(fā)去15千米外的公園游玩，甲、乙兩班的步行速度都是每小時(shí)4千米。學(xué)校有一輛汽車，它的速度是每小時(shí) 48千米，這輛汽車恰 好能坐一個(gè)班的學(xué)生。為了使兩班學(xué)生在最短時(shí)間內(nèi)到達(dá)公園，那么甲班學(xué)生與乙班學(xué)生 需要步行的距離是多少千米？十二、保證往返類。簡(jiǎn)單例題：A、B兩人要到沙漠中探險(xiǎn)，他們每天向沙漠深處走 20千米，已知每人最多可以攜帶一個(gè)人 24天的食物和水。如果不準(zhǔn)將部分食物存放于途 中，其中一個(gè)人最遠(yuǎn)可深入沙漠多少千米 (要求兩人返回出發(fā)點(diǎn))?這類問題其實(shí)屬于智能 應(yīng)用題類。建議推導(dǎo)后記憶結(jié)論，以便考試快速作答。每人可以帶夠t天的食物，最遠(yuǎn)可以走的時(shí)間T(1)返回類。(保證一個(gè)人走的最