一種新型平面并聯(lián)定位機構的誤差建模與分析

1、第31卷第2期2009年4月壓電與聲光PIEZOELECTECTRICS&ACOUSTOOPTICS文章編號:100422474(2009)0220284205一種新型平面并聯(lián)定位機構的誤差建模與分析李娟,孫立寧,劉延杰(哈爾濱工業(yè)大學機器人與系統(tǒng)國家重點實驗室,黑龍江哈爾濱150080)摘要:當前IC行業(yè)的迅速發(fā)展使得研制新型高速精密定位機構成為十分迫切的任務。針對這種需要,提出了一種新型平面并聯(lián)定位機構,它由直線電機直接驅(qū)動含有平行四邊形支鏈的并聯(lián)桿機構來實現(xiàn)末端平臺平面內(nèi)的平動。首先根據(jù)輸入、輸出關系微分法建立了機構的誤差模型,了敏感性分析,給出了誤差源對末端精度的敏感系數(shù);,并給出了已

2、知誤差源精度水平下,關鍵詞:定位機構;:ErrorsofaNovelPlanarParallelPositioningMechanismLIJuan,SUNLi2ning,LIUYan2jie(StateKeyLab.ofRoboticsandSystem,HarbinInstituteofTechnology,Harbin150080,China)Abstract:WiththequicklydevelopmentoftheICindustry,itisnecessarytostudyanovelhighspeedandhighprecisionpositioningmechanism.Or

3、ienttothisrequirement,anovelprecisionpositioningmechanismwaspresentedinthispaper.Itconsistedtwoparallelogramschains,andwasdrovendirectlybylinearmotors.Firstly,bydifferen2tiatingthekinematicequationsofthemechanism,theerrormodelwasbuiltforthiskindofplanarparallelmecha2nism.Secondlybasedontheerrormodel

4、,thepartialdifferentiatemethodwasadoptedtoperformtheerrorsensitivi2tyanalysiswhichdescribedthecontributionofeacherrorcomponenttothetotalpositionandorientationerrorofthemechanism.Thenaccordingtothesensitivityanalysisresults,thesourceerrorsthathadmorecontributetothepo2sitioningerroroftheendstagewerepo

5、intedout.Lastly,basedontheerrormappingmatrix,thepositioningerrorextremumexpressionofthemechanismwasdeduced,andthedistributionofthepositioningerroroftheendstageo2vertheglobalworkspacewasillustrated.Thesimulationexperimentindicatedthatthepositioningerrorofthemech2anismintheplanewaslessthan0.02mm.Theab

6、ovementionederrormodelingandanalysismethodhadimportantinstructionalmeaningfordesigninganderrorcompensateforthehighprecisionpositioningmechanism.Keywords:positioningmechanism;precisionanalysis;errormodelingIC工業(yè)的迅速發(fā)展,迫切需要研制面向芯片封裝的高速高精度定位平臺。精度是定位平臺的一個重要指標。對機構進行誤差建模與分析,可指導機構的設計,同時也為誤差補償提供了理論依據(jù)122。有關誤差建模

7、與分析方法,國內(nèi)外已有很多學者進行了相關的研究。徐衛(wèi)良等3采用微小位移合成法進行空間開鏈和閉鏈連桿機構進行誤差分析,此法可避免微分運算。Wang等4采用D2H參數(shù)法對六自由度(62DOF)Stewart平臺建立了1階和2階誤差模型,并對影響機構的位置與方向誤差的誤差源進行了敏感性分析。Bi等5采用矢量代數(shù)法建立了2個32DOF并聯(lián)機構的末端位姿誤差與其誤差源之間的映射關系,并分析了各個誤差源對機構位姿精度的影響。Okafor等6采用矩陣變換法建立了包含幾何誤差和由發(fā)熱導致誤差的誤差模型,據(jù)此計算和預測工具與待加工零件之間的誤差矢量,并進行補償。楊玉虎等7采用傳遞矩陣法推導了機構位置誤差的一般線

8、性模型。上述研究均是針對誤差建模方法展開的,很少涉及定位誤差極值的研究。實際上,研究機構的定位誤差極值,對于了解機構的精度具有特別重要的意義8。制造和安裝誤差等幾何結構誤差是末端平臺定位誤差的主要來源,本文以一種新型平面并聯(lián)定位機構為對象,只考慮幾何結構誤差,研究含有平行四邊形支鏈的平面并聯(lián)機構的誤差建模與分析方法。通過誤差映射矩陣推導了機構位姿誤差的敏感系數(shù),并采用蒙特卡羅模擬求得當前加工水平下機構的定位誤差均值和極值在工作空間內(nèi)的分布情況,為機構設計與誤差補償提供了理論依據(jù)。收稿日期:2007209207基金項目:國家“九七三”計劃基金資助項目(2003CB716202)作者簡介:李娟(1

9、9782),女,吉林長春人,講師,博士,主要研究方向為機器人的結構設計與優(yōu)化。第2期李娟等:一種新型平面并聯(lián)定位機構的誤差建模與分析285122DOF定位平臺的描述新型平面并聯(lián)定位機構如圖1所示。它由兩個直線電機驅(qū)動的含有平行四邊形支鏈的并聯(lián)桿機構來實現(xiàn)末端平臺的平面內(nèi)平動。對應的構型參數(shù)如圖2所示。圖中,r為末端的位姿矢量,L為桿的長度,qi為直線電機的運動行程,wij、ui分別為連桿和電機驅(qū)動方向的單位方向矢量,vi為滑塊上兩個轉(zhuǎn)動副連線的單位方向矢量,si為末端平臺上i支鏈中兩個轉(zhuǎn)動副的垂直平分線的單位方向矢量,ti為末端平臺上i支鏈中兩個轉(zhuǎn)動副連線的單位方向矢量,i=1,2,其他參數(shù)如

10、表1所示。式中sgn(j)=1(j=1)-1(j=2)。對式(1)作1階攝動可得r=qiui+qvi+sgn(j)bqivi+iui+sgn(j)bqiLijwij+Lijwij-R(aisi+sgn(j)bpiti)-aisbpitR(i+aisi+sgn(j)i+sgn(j)bpiti)(2)r為末端平臺的位姿誤差;wi和wi分別為式中ui和ui分;vii2ssii值;tti和i分別為末端平臺上2個轉(zhuǎn)動副連線方向矢量的理想值與誤差值;R為動平臺到底座的旋轉(zhuǎn)變換矩陣。圖1定位機構實體圖圖3定位機構的實際構型根據(jù)微分變換的原理,旋轉(zhuǎn)矩陣的微商0-zR=(R(z,R=Rz)-Iz)R=0z(3)

11、圖2定位機構的理想構型式中矩陣=U0)。sz,矩陣U=(0-1;1i和t2xy中測量,其在o2xy坐標系i在動坐標系o中可分別表達為si=Rsi和ti=Rti。另外,對于任意小角度誤差,可認為cos1,sin;同時考慮到/2,則上述各方向向量的誤差為1=0,2=u1=f11u2=f22v1=g1q1v2=g2q2s1=f11s2=f22t1=g1p1t2=g2p22誤差建模只考慮幾何結構誤差,機構的實際構型如圖3所示。圖中,假設:(1)直線電機的運動方向始終通過滑塊上2個轉(zhuǎn)動副連線的中點。(2)末端平臺的中心o處于2對轉(zhuǎn)動副的連線的垂直平分線上。理想情況下(見圖2),末端點o在o2xy坐標下的

12、位姿矢量為r=qiui+sgn(j)bqivi+Lijwij-R(aisi+sgn(j)bpiti)(1)(4)286壓電與聲光2009年式中f1=g2=(01)T;f2=g1=(-10)T。其他各參數(shù)的意義如表1所示。表1參數(shù)及其物理含義表參數(shù)理想值微分變化微分變化的物理意義qiqi支鏈i中電機的驅(qū)動長度誤差支鏈i中第j個連桿的長度誤LijLijL差支鏈i中滑塊上兩個旋轉(zhuǎn)關節(jié)bqibqib中心距誤差支鏈i中動平臺中心到兩個旋aiaia轉(zhuǎn)關節(jié)連線的距離誤差支鏈i中動平臺上兩個旋轉(zhuǎn)關bpibpib節(jié)中心距誤差/2電機驅(qū)動方向與x/x2.2位置誤差等式假設qi=qi-ai為支鏈i中電機驅(qū)動長度Li

13、1+Li2)/2為支鏈i中兩個桿的誤差;Li+=(誤差均值。則式(6)+(7)可得機構位置誤差等式為TTTwir=qiwiui+qiwifi+Li+-aiwiTsi-aiwiTfi(9)由式(9)可見,除影響姿態(tài)誤差的誤差源外,還有4種誤差源影響末端平臺的位置誤差,它們分別是qi、2個桿的誤iLi+、ii。14項,它們分別為bi、qi、Li-、qi、Li+和pi、i、i(i=1,2)。2),且左邊乘wiT,利用TTTwiwi=1和wiwi=0(wiwij0),經(jīng)整理可得Tqi-ai)wiTui+qiwiTfLij+wir=(ii+bqi-bpi)sgn(j)bqiwiTgiqi+sgn(j)(

14、TTTwivi-aiwisi-sgn(j)bpiwiti-T(5)aiwiTfii-sgn(j)bpiwigipi式(5)表明,本文研究的平面并聯(lián)機構的末端位3誤差映射矩陣與敏感性分析為了更明確的表達機構末端精度與各類幾何誤差源之間的映射關系,分析誤差源對機構定位誤差的影響,有必要對機構進行敏感性分析,進而可通過消除或減小零件公差或提高裝配精度來有效的提高平臺的定位精度。3.1誤差映射矩陣(9)可得機構的位姿誤差映射矩陣通過式(8)、p=J(10)置誤差和姿態(tài)誤差是互相耦合的,針對機構中含有平行四邊形支鏈的特點,采用下面的方法分別建立機構的姿態(tài)誤差模型與位置誤差模型,可使姿態(tài)誤差從位姿誤差中分

15、離出來。2.1姿態(tài)誤差等式式(5)中,分別令j=1和j=2,可得Tqi-ai)wiTui+qiwiTfLij+wir=(i+bqi-bpi)wiTvi-aiwiTsi-bpiwiTti-(TT(6)aiwiTfi-bpiwigipi+bqiwigiqiTqi-ai)wiTui+qiwiTfLij-wir=(i+bqi-bpi)wiTvi-aiwiTsi+bpiwiTti-(TT(7)aiwiTfi+bpiwigipi-bqiwigiqi假設bi=bqi-bpi為支鏈i中兩對旋轉(zhuǎn)關節(jié)式中p、J和分別為末端位姿誤差、位姿誤差雅可比矩陣和位姿誤差源,其具體表達式為Tp=(xyz)TJ=(JrJ)=J

16、rqJJrrLJJrrJbJrJqJrJLJrJp0000JbJqJLJp(11)T=(qL+bL-qp)式中Jrq=jJr=jJrL=j,w1u1w2u2q1w1g1q2w2g2a1w1g1a2w2g2a1w1Us1a2w2Us2TTTTTTTTT,Li1-Li2)/2為支鏈i的中心距相對誤差;Li-=(7),可得姿中兩個桿的相對長度誤差。則由式(6)、態(tài)誤差等式TTTbpiwiti=biwivi+bqiwigiqi+Li-bpiwiTgipi(8)Jr=-jJr=-j,式(8)給出了機器人的姿態(tài)誤差與結構幾何誤差之間的關系,由此可看出,存在4種誤差源影響末端平臺姿態(tài)誤差,它們分別是旋轉(zhuǎn)關節(jié)

17、中心距相對誤差bi、滑塊i轉(zhuǎn)動副中心連線方向誤差支鏈i中qi、兩個桿長的相對誤差Li-和動平臺上支鏈i中轉(zhuǎn)動副中心連線方向誤差pi(i=1,2)。Jb=Tbp1w1Ut1Tbp2w21UtT,第2期李娟等:一種新型平面并聯(lián)定位機構的誤差建模與分析287Jq=Tbp1w1Ut1bp2wUtTT21T,JL=bp1w1Ut1TTbp1w1Ut1T,bp2w21Ut2圖5yTJp=Tbp2w21Utw12TTT,j-1=。3.2式(10)可寫成pi=66Jijjij(12)為評定每個誤差源對位姿誤差單獨作用時的影響,定義位姿誤差對每個誤差源的敏感系數(shù)為(13)Ci=Jijj式(13)以上定義的敏感系

18、數(shù)隨末端點位置的變化而變化,為了綜合描述每個誤差源對姿態(tài)誤差和位置誤差的影響,把它們在工作空間內(nèi)的均值作為全局敏感系數(shù),定義為KiCdw=dwiw圖6方向誤差z對其誤差源的敏感系數(shù)4定位誤差分析根據(jù)式(8)可知,機構的姿態(tài)誤差為位置誤差源;而對本文研究的平面定位機構,最終只有位置誤差對應用產(chǎn)生影響。因此,這里主要分析機構的位置誤差,定義為=rTr=x2+y2(15)當零件單件生產(chǎn)時,制造誤差在公差范圍內(nèi)呈均勻分布;大批量生產(chǎn)時,則呈正態(tài)分布。這里假設零件在公差范圍內(nèi)呈均勻分布,采用蒙特卡羅法分析機構誤差分布規(guī)律。誤差的蒙特卡羅模擬根據(jù)各誤差源的分布規(guī)律,利用(0,1)上均勻分布的隨機數(shù)的標準抽

19、樣子程序,產(chǎn)生與誤差源具有相同概率分布和相同統(tǒng)計特征的隨機量的抽樣值。當樣本數(shù)達到一定數(shù)目時,可以認為末端平臺的定位誤差均值為所有樣本產(chǎn)生的定位誤差的平均值,進而可以通過計算每點的定原則來計算定位誤差極值,位誤差的方差,采用3即(16) 3max,min=式中 為任意點的多次抽樣計算的定位誤差平均值;為方差。根據(jù)目前實際加工裝配水平,假設各類誤差源的最大誤差數(shù)據(jù)如表2所示。采用蒙特卡羅法,依(16),可求得當樣本總數(shù)為1000時,機據(jù)式(15)、構定位誤差的平均值與極值分別如圖7所示。(14)圖46分別為機構的x向位置誤差x、y向位置誤差y和繞z軸的方向誤差z對其誤差源的全局敏感系數(shù)。由圖可看

20、出,支鏈i中電機驅(qū)動長度誤差qi和支鏈i中兩個桿的誤差均值Li+對定位平臺的位置誤差影響最大,而qi和pi對定位平臺的方向誤差影響最大。因此,要提高機構的定位精度,在加工與裝配過程中要盡量減小這幾項誤差源。圖4位置誤差x對其誤差源的敏感系數(shù)288壓電與聲光2009年表2誤差極值表誤差源極值/mm誤差源極值/radqibiLi+Li-誤差等式。通過誤差變換矩陣,定義并求得了機構位姿誤差對各類誤差源的全局敏感系數(shù),最后采用蒙特卡羅法分析了機構定位誤差在工作空間內(nèi)的分布情況,可得出如下結論:(1)機構的姿態(tài)誤差為位置誤差源,即姿態(tài)誤差源通過姿態(tài)誤差間接對位置誤差產(chǎn)生影響。(2)敏感性分析結果說明機構

21、位置誤差(x向Li+的影和y向位置誤差)主要受誤差源qi、i、響,。()。4。參考文獻:12圖1由圖,而大。敏感性分析表明,機構位置誤差主要受誤差源qi、Li+的影響,因此為了提高機構的絕對定i、位誤差,首先要降低上述3種結構參數(shù)誤差。假設上述3種誤差源分別減少一半,即再次采用仿真蒙特卡羅法進行仿真試驗,得到的機構末端定位誤差均值與極值如圖8所示。由圖可看出,提高了敏感系數(shù)較高的誤差源的加工精度后,系統(tǒng)定位誤差顯著減小。董吉洪,徐洪.全自動金絲球焊機X2Y工作臺的誤差分析J.光學精密工程,2005,13(S1):1482152.王振華,孫立寧,曲東升,等.壓電陶瓷驅(qū)動并聯(lián)微動機器人位姿測量與誤差補償J.壓電與聲光,2005,27(2):1822184.3徐衛(wèi)良,張啟先.空間開鏈和閉鏈連桿機構運動誤差研究的微小位移合成法J.北京航空學院學報,1987(1):69281.4WANGShi2ming,EHMANNKF.Errormodelandaccuracyanalysisofasix2DOFstewartplatformJ.JournalofManufactu