08年全國一卷數(shù)學(xué)

1、2008年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（必修+選修）一、選擇題1函數(shù)的定義域?yàn)椋?）ABCD2汽車經(jīng)過啟動(dòng)、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，若把這一過程中汽車的行駛路程看作時(shí)間的函數(shù)，其圖像可能是（ ）stOAstOstOstOBCD3在中，若點(diǎn)滿足，則（ ）ABCD4設(shè)，且為正實(shí)數(shù)，則（ ）A2B1C0D5已知等差數(shù)列滿足，則它的前10項(xiàng)的和（ ）A138B135C95D236若函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則（ ）Ae2x-1Be2xCe2x+1D e2x+27設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則（ ）A2BCD8為得到函數(shù)的圖像，只需將函數(shù)的圖像（ ）A向左平移個(gè)長度單位

2、B向右平移個(gè)長度單位C向左平移個(gè)長度單位D向右平移個(gè)長度單位9設(shè)奇函數(shù)在上為增函數(shù)，且，則不等式的解集為（ ）ABCD10若直線通過點(diǎn)，則（ ）ABCD11已知三棱柱的側(cè)棱與底面邊長都相等，在底面內(nèi)的射影為的中心，則與底面所成角的正弦值等于（ ）AB CD12如圖，一環(huán)形花壇分成四塊，現(xiàn)有4種不同的花供選種，要求在每塊里種1種花，且相鄰的2塊種不同的花，則不同的種法總數(shù)為（ ）DBCAA96B84C60D48二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分把答案填在題中橫線上（注意：在試題卷上作答無效）1313若滿足約束條件則的最大值為 14已知拋物線的焦點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則以拋物線與兩坐標(biāo)軸的三

3、個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積為 15在中，若以為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)，則該橢圓的離心率 16等邊三角形與正方形有一公共邊，二面角的余弦值為，M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，則EM、AN所成角的余弦值等于 三、解答題：本大題共6小題，共70分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟17（本小題滿分10分）設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊長分別為a、b、c，且（）求的值；（）求的最大值18（本小題滿分12分）四棱錐中，底面為矩形，側(cè)面底面，（）證明：；（）設(shè)與平面所成的角為，求二面角的大小CDEAB19（本小題滿分12分）已知函數(shù)，（）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，求的取值范圍20（本小題滿分12分）已知5

4、只動(dòng)物中有1只患有某種疾病，需要通過化驗(yàn)血液來確定患病的動(dòng)物血液化驗(yàn)結(jié)果呈陽性的即為患病動(dòng)物，呈陰性的即沒患病下面是兩種化驗(yàn)方法：方案甲：逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定患病動(dòng)物為止方案乙：先任取3只，將它們的血液混在一起化驗(yàn)若結(jié)果呈陽性則表明患病動(dòng)物為這3只中的1只，然后再逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定患病動(dòng)物為止；若結(jié)果呈陰性則在另外2只中任取1只化驗(yàn)（）求依方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)不少于依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)的概率；（）表示依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)，求的期望21（本小題滿分12分）雙曲線的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，兩條漸近線分別為，經(jīng)過右焦點(diǎn)垂直于的直線分別交于兩點(diǎn)已知成等差數(shù)列，且與同向（）求雙曲線的離心率；（）設(shè)被雙曲

5、線所截得的線段的長為4，求雙曲線的方程22（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)數(shù)列滿足，（）證明：函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)；（）證明：；（）設(shè)，整數(shù)證明：2008年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（必修+選修）參考答案一、選擇題1、C2、A 3、A 4、D 5、C 6、B 7、D 8、A 9.D 10.D 11.B 12.B. 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分把答案填在題中橫線上13.答案：914. 答案：2.15.答案：.16.答案：.三、解答題：本大題共6小題，共70分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟17.解析：（）由正弦定理得a=acosB-bcosA=()c= = =依題設(shè)得

6、,解得tanAcotB=4(II)由（I）得tanA=4tanB，故A、B都是銳角，于是tanB>0tan(A-B)=，且當(dāng)tanB=時(shí)，上式取等號(hào)，因此tan(A-B)的最大值為18解：(I)作AOBC，垂足為O，連接OD，由題設(shè)知，AO底面BCDE，且O為BC中點(diǎn)，由知，RtOCDRtCDE，從而ODC=CED，于是CEOD，由三垂線定理知，ADCE（II）由題意，BEBC，所以BE側(cè)面ABC，又BE側(cè)面ABE，所以側(cè)面ABE側(cè)面ABC。作CFAB，垂足為F，連接FE，則CF平面ABE故CEF為CE與平面ABE所成的角，CEF=45°由CE=，得CF=又BC=2，因而ABC

7、=60°，所以ABC為等邊三角形作CGAD，垂足為G，連接GE。由（I）知，CEAD，又CECG=C，故AD平面CGE，ADGE，CGE是二面角C-AD-E的平面角。CG=GE=cosCGE=所以二面角C-AD-E為arccos()解法二：（I）作AOBC，垂足為O，則AO底面BCDE，且O為BC的中點(diǎn)，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線OC為x軸正向，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系O-xyz.設(shè)A（0,0,t），由已知條件有C(1,0,0), D(1,0), E(-1, ,0),所以，得ADCE（II）作CFAB，垂足為F，連接FE，設(shè)F（x,0,z）則=(x-1,0,z),故CFBE，又ABBE=B

8、，所以CF平面ABE，CEF是CE與平面ABE所成的角，CEF=45°由CE=，得CF=又CB=2，所以FBC=60°，ABC為等邊三角形，因此A（0，0，）作CGAD，垂足為G，連接GE，在RtACD中，求得|AG|=|AD|故G又所以的夾角等于二面角C-AD-E的平面角。由cos()=知二面角C-AD-E為arccos()（19）解：（）f´(x)=3x2+2ax+1，判別式=4(a2-3)（i）若a>或a<，則在上f´(x)>0，f(x)是增函數(shù)； 在 內(nèi)f´(x)<0，f(x)是減函數(shù)； 在上f´(x)

9、>0，f(x)是增函數(shù)。（ii）若<a<，則對(duì)所有xR都有f´(x)>0，故此時(shí)f(x)在R上是增函數(shù)。（iii）若a=，則f´()=0，且對(duì)所有的x都有f´(x)>0，故當(dāng)a=時(shí)，f(x)在R上是增函數(shù)。（）由（）知，只有當(dāng)a>或a<時(shí)，f(x)在內(nèi)是減函數(shù)。因此 且當(dāng)|a|>時(shí)，由、解得a2 因此a的取值范圍是2,+）。（20）解：記A1、A2分別表示依方案甲需化驗(yàn)1次、2次， B1、B2分別表示依方案乙需化驗(yàn)2次、3次， A表示依方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)不少于依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)。依題意知A2與B2獨(dú)立。（） ，。

10、P()=P(A1+A2·B2) =P(A1)+P(A2·B2) =P(A1)+P(A2)·P(B2) = =所以 P(A)=1-P()=0.72（）的可能取值為2，3. P(B1)=，P(B2)=，P(=2)=P(B1)=，P(=3)=P(B2)= ，所以E=（次）。（21）解：（）設(shè)雙曲線方程為(a>0,b>0)，右焦點(diǎn)為F(c,0)(c>0)，則c2=a2+b2不妨設(shè)l1：bx-ay=0，l2：bx+ay=0則，。因?yàn)?+2=2，且 =2-，所以2+2=(2-)2，于是得tanAOB=。又與同向，故AOF=AOB，所以解得tanAOF=，或t

11、anAOF=-2（舍去）。因此。所以雙曲線的離心率e=（）由a=2b知，雙曲線的方程可化為 x2-4y2=4b2 由l1的斜率為，c=b知，直線AB的方程為 y=-2(x-b) 將代入并化簡，得 15x2-32bx+84b2=0設(shè)AB與雙曲線的兩交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1)，(x2,y2)，則 x1+x2=，x1·x2= AB被雙曲線所截得的線段長 l= 將代入，并化簡得l=，而由已知l=4，故b=3，a=6所以雙曲線的方程為22、解：（I）當(dāng)0<x<1時(shí)f(x)=1-lnx-1=-lnx>0所以函數(shù)f(x)在區(qū)間（0,1）是增函數(shù)，（II）當(dāng)0<x<

12、1時(shí)，f(x)=x-xlnx>x又由（I）有f(x)在x=1處連續(xù)知，當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)<f(1)=1因此，當(dāng)0<x<1時(shí)，0<x<f(x)<1 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： 0<an<an+1<1 (i)由0<a1<1, a2=f(a1)，應(yīng)用式得0<a1<a2<1，即當(dāng)n=1時(shí)，不等式成立(ii)假設(shè)n=k時(shí)，不等式成立，即0<ak<ak+1<1則由可得0<ak+1<f(ak+1)<1，即0<ak+1<ak+2<1故當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立綜合(i)(ii)證得：an<an+1<1(III)由（II）知，an逐項(xiàng)遞增，故若存在正整數(shù)mk,