活動案例二：立方根

1、活動案例二：立方根背景介紹李老師任教于一所民辦中學(xué)的初一年級。該民辦中學(xué)因為實行電腦派位的招生方式，學(xué)生來源于全市40余所小學(xué)，數(shù)學(xué)水平在全市屬于中等水平。學(xué)生入學(xué)后實行小班化教學(xué)，李老師所教的初一（8）班共有41名學(xué)生，男生22人，女生19人。李老師在平時教學(xué)中注意滲透新課程理念，注重改進(jìn)自己的教學(xué)方式，運用新方法，在課堂教學(xué)中注意營造“自主探索，合作交流”的學(xué)習(xí)氛圍，學(xué)生與他的關(guān)系融洽，課堂氣氛活躍，經(jīng)過初中一個學(xué)期學(xué)習(xí)后，班級已經(jīng)初步形成了合作交流、敢于發(fā)現(xiàn)、積極探索的學(xué)風(fēng)。情境描述為了上好立方根這節(jié)課，李老師創(chuàng)設(shè)了這樣一個問題情境：（出示電熱水器圖片）同學(xué)們在家里或者商場里都見過電熱水

2、器，像一般家庭常用的是容積50L的。學(xué)生分組討論：如果要生產(chǎn)這種容積為50L的圓柱形熱水器，使它的高等于底面直徑的2倍，這種容器的底面直徑應(yīng)取多少？師生共同探討后給出解決方法：設(shè)容積的底面直徑為xdm，則? ?2x50，可得，x33184。問題是什么數(shù)的立方會等于3184呢？學(xué)生百思不得其解，李老師在此處設(shè)置了一個臺階，再設(shè)問：要制作一種容積為27m3的正方體形狀的包裝箱，這種包裝箱的邊長應(yīng)該是多少？學(xué)生容易給出解決問題的過程：設(shè)這種包裝箱的邊長為xm，則x327，這就是求一個數(shù)，使它的立方等于27。因為3327，所以x3，即這種包裝箱的邊長應(yīng)為3m。因為剛剛學(xué)過平方根的概念，所以李老師在教學(xué)

3、設(shè)計時就準(zhǔn)備請學(xué)生模仿前面一節(jié)的平方根的概念試著給取個名字?！澳敲?，我們來給它取個名字吧?！崩罾蠋煹脑捯魟偮洌瑢W(xué)生A就迫不及待地舉手了：“把它叫算術(shù)立方根吧，”這下有點讓李老師出乎意外了，怎么會來一個算術(shù)立方根呢？“為什么呢？”李老師問。學(xué)生A不慌不忙地解釋：“我們不是學(xué)過，如果一個正數(shù)x的平方等于a，那么這個正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根。類似地，如果一個正數(shù)x的立方等于a，那么這個正數(shù)x叫做a的算術(shù)立方根。”這一聽，還真有點道理，不少同學(xué)點起了頭。正當(dāng)李老師動腦筋如何引導(dǎo)學(xué)生給出確切的定義時，愛動腦筋的學(xué)生B發(fā)言了：“老師，那么如果一個負(fù)數(shù)x的立方等于a，那么這個負(fù)數(shù)x叫做a的什么呢？”學(xué)生B這

4、么一說，剛剛還點頭表示同意的同學(xué)又議論開了，是啊，那可怎么解決呢？“還有零呢？”有同學(xué)在下面嘀咕了一句。稍頃，學(xué)生C發(fā)言了：“我認(rèn)為應(yīng)該是這樣的，我們模仿平方根的定義，不管這個數(shù)是正數(shù)、負(fù)數(shù)還是零，如果一個數(shù)的立方等于a，那么這個數(shù)叫做a的立方根或三次方根?！崩罾蠋熓媪艘豢跉猓€算好，總算有同學(xué)給出了正確說法，“其他同學(xué)有什么補充嗎？”李老師問。最后，大家一起歸納出了立方根的概念。隨后師生一起順利地學(xué)習(xí)了利用立方與開立方的互逆關(guān)系求立方根。李老師讓學(xué)生嘗試用符號給出數(shù)a的立方根的表示方法。學(xué)生C搶著說：“±”。這樣一個結(jié)論出來，是李老師在課前設(shè)計中所沒有預(yù)料到的。他開始想，要么索性直

5、接給出表示方法算了，省得學(xué)生兜圈子。但轉(zhuǎn)而一想，還是讓學(xué)生自己體驗得到結(jié)論吧。于是，李老師讓學(xué)生獨立完成課本第169頁的探究題。對于238，進(jìn)一步追問學(xué)生，除了2以外是否有其他的數(shù)，它的立方也等于8呢？對于下面幾個問題請學(xué)生在小組間類似設(shè)問。經(jīng)過討論，大家一致認(rèn)為一個正數(shù)有一個立方根；一個負(fù)數(shù)有一個立方根；零的立方根是零。此時，李老師因勢利導(dǎo)，“剛剛得到的立方根表示方法確切嗎？”，學(xué)生經(jīng)過認(rèn)真思考，一起歸納出了立方根的表示方法：。到此，李老師讓學(xué)生一起給出了平方根與立方根的異同。分析與討論立方根（1）的內(nèi)容，是在學(xué)習(xí)了算術(shù)平方根、平方根的有關(guān)概念的基礎(chǔ)上提出來的。本節(jié)從內(nèi)容上看與上一節(jié)平方根的

6、內(nèi)容基本平行，主要研究立方根的概念和求法；從知識的展開順序上看也基本相同，本節(jié)也是先從具體的計算出發(fā)歸納給出立方根的概念，然后討論立方與開立方的互逆關(guān)系，研究立方根的特征，最后介紹使用計算器求立方根的方法。在導(dǎo)入新課時，創(chuàng)設(shè)了一個學(xué)生生活實際中常見的問題情境，“什么數(shù)的立方會等于3184？”這個問題時，又設(shè)置了一個學(xué)生容易解決問題，將學(xué)生的注意力朝著開立方運算轉(zhuǎn)化為立方運算的思路引導(dǎo)，為進(jìn)一步探究新知做好準(zhǔn)備。假如教師直接傳授，則立方根的概念、立方根的表示方法，學(xué)生馬上可以學(xué)會。但根據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)中要求“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動應(yīng)該是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程。”考慮到“平方根”與“立方根”在內(nèi)

7、容安排上也有很多類似的地方，因此教師在教學(xué)中利用類比方法，讓學(xué)生自己通過類比舊知識學(xué)習(xí)新知識。教師在教學(xué)中不是一味地傳授，而是注重教學(xué)中如何讓學(xué)生更加透徹地理解問題，突出立方根與平方根的對比，分析它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，這樣新舊知識聯(lián)系起來，既有利于復(fù)習(xí)鞏固平方根，又有利于立方根的理解和掌握。通過獨立思考，小組討論，合作交流，學(xué)生在“自主探索，合作交流”中充分發(fā)揮了他們的主觀能動性，學(xué)生獲取知識的方式由“被動地接受”變?yōu)椤爸鲃拥靥剿鳌?，在教學(xué)中，教師通過學(xué)生給立方根下定義，嘗試給出立方根的表示方法等貼近學(xué)生的活動，讓學(xué)生在思維碰撞中積極主動地學(xué)習(xí)，并從中體驗到了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程充滿了探索和創(chuàng)造的樂

8、趣。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人?！薄皵?shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的，這些內(nèi)容要有利于學(xué)生主動地進(jìn)行觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動?！薄皠邮謱嵺`、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式?！痹摻虒W(xué)案例中充分體現(xiàn)了新課標(biāo)理念，從學(xué)生身邊熟悉的物體著手，注重所學(xué)知識與生活實際的聯(lián)系，使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)來源于生活，讓數(shù)學(xué)貼近生活。點評著名的學(xué)習(xí)理論家奧蘇貝爾指出：要進(jìn)行有意義的學(xué)習(xí)必須知道學(xué)生已經(jīng)知道了什么？而在本案例中，平方根的概念、表示方法等都是學(xué)生原有的知識。為了建立立方根的概念， 教師充分“借用”平方根的有關(guān)概念和產(chǎn)生過程，進(jìn)行類比。這樣的設(shè)計在本課中是成功的。本節(jié)課的教學(xué)過程符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。首先，教師從學(xué)生身邊熟悉的物體著手，選取了一個實際問題，使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)來源于生活。組織教學(xué)時，教師是學(xué)習(xí)的組織者和引導(dǎo)者的角色。在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生的思維過程得到了充分地暴露，當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)錯誤時，教師并不急于改正，而是通過讓學(xué)生交流，讓學(xué)生說服學(xué)生，在主動參與、探索交流中不知不覺地學(xué)到新的知識，建構(gòu)了知識體系。這些都體現(xiàn)了新課程的教育教學(xué)理念。探究的過程似乎有些不足。問題“什么數(shù)的立方會等于3184？”，對學(xué)生來說是一個挑戰(zhàn)，也是一個學(xué)生只有“跳一跳”才能解決的問題，相信有些學(xué)生也會有些想法，老師馬上在此處鋪設(shè)了一個臺階，設(shè)置了一個學(xué)生容易