構(gòu)造全等三角形常見輔助線法

1、ABDEFMN如圖如圖,AB=AD,BC=DC,AB=AD,BC=DC,求證求證:B=D.:B=D.ACBD連接連接ACAC構(gòu)造全等三角形構(gòu)造全等三角形連線連線 構(gòu)造全等構(gòu)造全等連線連線 構(gòu)造全等構(gòu)造全等如圖如圖,AB,AB與與CDCD交于交于O, O, 且且AB=CDAB=CD，AD=BCAD=BC，OB=5cmOB=5cm，求，求ODOD的長的長. .連接連接BDBD構(gòu)造全等三角形構(gòu)造全等三角形ACBDO如何利用三角形的中線來構(gòu)造全等三角形？如何利用三角形的中線來構(gòu)造全等三角形？ 可以利用可以利用倍長中線法倍長中線法，即把中線，即把中線延長一倍，來構(gòu)造全等三角形。延長一倍，來構(gòu)造全等三角形

2、。 如圖，若如圖，若AD為為ABC的中線，的中線， 必有結(jié)論必有結(jié)論：ABCDE12 延長延長AD到到E，使，使DE=AD，連結(jié)連結(jié)BE（也可連結(jié)（也可連結(jié)CE）。）。ABD ECD，1=E，B=2，EC=AB，CEAB。已知，如圖已知，如圖ADAD是是ABCABC的中線，的中線，ABCDE)(21ACABAD求證：延長延長ADAD到點到點E E，使，使DE=ADE=AD D，連結(jié)連結(jié)CE.CE.思考：若思考：若AB=3,AC=5AB=3,AC=5求求ADAD的取值范圍？的取值范圍？倍長中線m = 42.35m = 42.23已知在已知在ABC中，中，C=2B, 1=2求證求證:AB=AC+C

3、DADBCE12在在AB上取點上取點E使得使得AE=AC，連接，連接DE截長截長F在在AC的延長線上取點的延長線上取點F使得使得CF=CD，連接，連接DF補短補短A1BCD234如圖所示，已知如圖所示，已知ADBC，1=2，3=4，直線，直線DC經(jīng)過點經(jīng)過點E交交AD于點于點D，交交BC于點于點C。求證：。求證：AD+BC=ABEF在在AB上取點上取點F使得使得AF=AD,連接連接EF截長補短證明證明：例例1 1已知：如圖，在四邊形已知：如圖，在四邊形ABCDABCD中，中，BDBD是是ABCABC的的角平分線，角平分線，AD=CDAD=CD，求證：，求證：A+C=180A+C=180DABC

4、E在在BC上截取上截取BE，使，使BE=AB，連結(jié)，連結(jié)DE。 BD是是ABC的角平分線（已知）的角平分線（已知）1=2（角平分線定義）（角平分線定義）在在ABD和和EBD中中 AB=EB（已知）（已知） 1=2（已證）（已證） BD=BD（公共邊）（公共邊）ABD EBD（S.A.S）1243 3+ 4180（平角定義），（平角定義），A3（已證）（已證）A+ C180 （等量代換）（等量代換）3 32 21 1* * A3（全等三角形的對應(yīng)角相等）（全等三角形的對應(yīng)角相等） AD=CD（已知），（已知），AD=DE（已證）（已證）DE=DC（等量代換）（等量代換）4=C（等邊對等角）（等邊

5、對等角）AD=DE（全等三角形的對應(yīng)邊相等）（全等三角形的對應(yīng)邊相等）證明證明: :例例1 1已知：如圖，在四邊形已知：如圖，在四邊形ABCDABCD中，中，BDBD是是ABCABC的的角平分線，角平分線，AD=CDAD=CD，求證：，求證：A+C=180A+C=180DABCF延長延長BA到到F，使，使BF=BC，連結(jié)，連結(jié)DF。 BD是是ABC的角平分線（已知）的角平分線（已知）1=2（角平分線定義）（角平分線定義）在在BFD和和BCD中中 BF=BC（已知）（已知） 1=2（已證）（已證） BD=BD（公共邊）（公共邊）BFD BCD（S.A.S）1243 FC（已證）（已證）4=C（等

6、量代換）（等量代換）3 32 21 1* * FC（全等三角形的對應(yīng)角相等）（全等三角形的對應(yīng)角相等） AD=CD（已知），（已知），DF=DC（已證）（已證）DF=AD（等量代換）（等量代換）4=F（等邊對等角）（等邊對等角） 3+ 4180 （平角定義）（平角定義）A+ C180 （等量代換）（等量代換）DF=DC（全等三角形的對應(yīng)邊相等）（全等三角形的對應(yīng)邊相等）練習練習1 1如圖，已知如圖，已知ABCABC中，中，ADAD是是BACBAC的角平分線，的角平分線，AB=AC+CDAB=AC+CD，求證：，求證：C=2BC=2BABCDE122 21 1證明證明: :在在AB上截取上截取A

7、E，使，使AE=AC，連結(jié)，連結(jié)DE。 AD是是BAC的角平分線（已知）的角平分線（已知）1=2（角平分線定義）（角平分線定義）在在AED和和ACD中中 AE=AC（已知）（已知） 1=2（已證）（已證） AD=AD（公共邊）（公共邊）AED ACD（S.A.S）3B=4（等邊對等角）（等邊對等角）4* * C3（全等三角形的對應(yīng)角相等（全等三角形的對應(yīng)角相等)又又 AB=AC+CD=AE+EB（已知）（已知）EB=DC=ED（等量代換）（等量代換） 3= B+4= 2B（三角形的一個外角等于（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角和）和它不相鄰的兩個內(nèi)角和）C=2B（等量代換）（等量代換）

8、ED=CD（全等三角形的對應(yīng)邊相等）（全等三角形的對應(yīng)邊相等）練習練習1 1如圖，已知如圖，已知ABCABC中，中，ADAD是是BACBAC的角平分線，的角平分線，AB=AC+CDAB=AC+CD，求證：，求證：C=2BC=2BABCDF12證明證明: :延長延長AC到到F，使，使CF=CD，連結(jié)，連結(jié)DF。 AD是是BAC的角平分線（已知）的角平分線（已知）1=2（角平分線定義）（角平分線定義） AB=AC+CD，CF=CD（已知）（已知） AB=AC+CF=AF（等量代換）（等量代換） ACB= 2F（三角形（三角形的一個外角等于和它不相的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角和）鄰的兩個內(nèi)角和

9、）ACB=2B（等量代換）（等量代換）32 21 1* *在在ABD和和AFD中中 AB=AF（已證）（已證） 1=2（已證）（已證） AD=AD（公共邊）（公共邊）ABD AFD（S.A.S） FB（全等三角形的對應(yīng)角相等）（全等三角形的對應(yīng)角相等） CF=CD（已知）（已知）B=3（等邊對等角）（等邊對等角）如圖，已知直線如圖，已知直線MNPQMNPQ，且，且AEAE平分平分BANBAN、BEBE平分平分QBAQBA，DCDC是過是過E E的任意線段，交的任意線段，交MNMN于點于點D D，交，交PQPQ于于點點C C。求證：。求證：AD+AB=BCAD+AB=BC。證明證明: :延長延長

10、AEAE，交直線，交直線PQPQ于點于點F F。* *3 30 0* * *22222121ABCDEMNPQ1234F51. 1.如圖如圖, ,ABCABC中中,C=90,C=90o o,AC=BC,AD,AC=BC,AD平分平分ACB,ACB, DEAB. DEAB.若若AB=6cm,AB=6cm,則則DBEDBE的周長是多少的周長是多少? ?.“.“周長問題周長問題”的轉(zhuǎn)化的轉(zhuǎn)化 借助借助“角平分線性質(zhì)角平分線性質(zhì)”BACDEBE+BD+DEBE+BD+CDBE+BCBE+ACBE+AEAB2. 2.如圖如圖, ,ABCABC中中, D, D在在ABAB的垂直平分線上的垂直平分線上, ,

11、E E在在ACAC的垂直平分線上的垂直平分線上. .若若BC=6cm,BC=6cm,求求ADEADE的周長的周長. .“.“周長問題周長問題”的轉(zhuǎn)化的轉(zhuǎn)化 借助借助“垂直平分線性質(zhì)垂直平分線性質(zhì)”BACDEAD+AE+DEBD+CE+DEBC5. 5.如圖如圖, , ABCABC中，中，BPBP、CPCP是是ABCABC的角平分線，的角平分線，MN/BC.MN/BC.若若BC=6cm, BC=6cm, AMNAMN周長為周長為13cm13cm，求，求ABCABC的周長的周長. .“.“周長問題周長問題”的轉(zhuǎn)化的轉(zhuǎn)化 借助借助“等腰三角形性質(zhì)等腰三角形性質(zhì)”BACPAB+AC+BCAM+ BM+

12、AN+NC+6NAM+ MP+AN+NP+613+6MAM+AN+MN+6 ABC中中,ABAC ，A的平分線與的平分線與BC的垂直平分線的垂直平分線DM相交于相交于D，過，過D作作DE AB于于E，作，作DFAC于于F。 求證：求證：BE=CFABCDEFM連接連接DB,DC垂直平分線上點向兩端連線段垂直平分線上點向兩端連線段 如圖，已知三角形如圖，已知三角形ABC中中,BC邊上的垂直邊上的垂直平分線平分線DE與角與角BAC的平分線交于點的平分線交于點E，EF垂直垂直AB交交AB的延長線于點的延長線于點F，EG垂直垂直AC交交AC于點于點G。求證：。求證：(1)BF=CG (2)判定判定AB

13、+AC與與AF的關(guān)系的關(guān)系如圖如圖, ,ABCABC中中, C =90, C =90o o,BC=10,BD=6,BC=10,BD=6, AD AD平分平分BAC,BAC,求點求點D D到到ABAB的距離的距離. .過點過點D D作作DEABDEAB于點于點E EACDBE角平分線上的點向角兩邊做垂線段角平分線上的點向角兩邊做垂線段證明證明: :例例1 1已知：如圖，在四邊形已知：如圖，在四邊形ABCDABCD中，中，BDBD是是ABCABC的的角平分線，角平分線，AD=CDAD=CD，求證：，求證：A+C=180A+C=180DABCM作作DMBC于于M，DNBA交交BA的延長線于的延長線于

14、N。 BD是是ABC的角平分線（已知）的角平分線（已知）1=2（角平分線定義）（角平分線定義） DNBA，DMBC（已知）（已知）N=DMB=90（垂直的定義）（垂直的定義）在在NBD和和MBD中中 N=DMB （已證）（已證） 1=2（已證）（已證） BD=BD（公共邊）（公共邊）NBD MBD（A.A.S）12 4=C（全等三角形的對應(yīng)角相等）（全等三角形的對應(yīng)角相等） N433 32 21 1* * ND=MD（全等三角形的對應(yīng)邊相等）（全等三角形的對應(yīng)邊相等） DNBA，DMBC（已知）（已知）NAD和和MCD是是Rt在在RtNAD和和RtMCD中中 ND=MD （已證）（已證） AD=CD（已知）（已知）RtNAD RtMCD（H.L） 3+ 4180（平角定義），（平角定義）， A3（已證）（已證）A+ C180（等量代換）（等量代換）PD=PE.PD=PE.如圖如圖,OC ,OC 平分平分AOB,AOB,角平分線上點向兩邊作垂線段過點過點P P作作PFOA,PG OBPFOA,PG OB垂足為點垂足為點F, F,點點G GFGACDBEPODOE +DPE =180DOE +DPE