第二章球面和共軸球面系統(tǒng)

1、第二章 球面和共軸球面系統(tǒng)v2.1 光經(jīng)過單個折射球面的折射v2.2 單個折射球面的成像倍率、拉赫不變量v2.3 共軸球面系統(tǒng)v2.4 球面反射鏡2.1 光線經(jīng)過單個折射球面的折射v2.1.1 （）v2.1.2 實際光線經(jīng)過單個折射球面的光路計算公式v2.1.3 近軸光的光路計算公式 一個物體經(jīng)過特定光學系統(tǒng)的成像過程，實際是光線經(jīng)過光學系統(tǒng)各個折射面折射后的綜合效果。要知道具體的成像關(guān)系，需要逐個面進行光路計算。因此本章我們首先討論單個折射球面的折射成像關(guān)系的計算，然后再過渡到整個系統(tǒng)的計算。 本章主要討論的光路計算。2.1.1 符號規(guī)則v圖中OE為n和n的分界面（球面）；C為球心；OC為球

2、面曲率曲率半徑半徑，大小為r；通過球心的直線是光軸，和球面的交點為頂點O。vOA大小為L，稱為；角EAO，大小為U，稱為；vOA大小為L，稱為；角EAO，大小為U，稱為。圖2-1 單個折射球面的有關(guān)參量注意：注意：起點？起點？終點？終點？頂點？頂點？2.1.1 符號規(guī)則v 實際計算中，僅僅了解這些參量的大小是不夠的，我們需要知道物（像）點在折射面的左右，折射面的凹凸，光線在光軸的上下。等等信息，所以必須再人為給出一些符號法則來完善這些信息。一般規(guī)定 (基準）1、對：以光軸為準，在光軸之上為“”，光軸之下為“”； 2、對：以折射面頂點以折射面頂點O為原點為原點，頂點到光線與光軸交點的方向，與光的

3、傳播方向相同則為“”，反之則為“”； 3、（物方孔徑角為U，像方孔徑角為U）：由光軸轉(zhuǎn)向光線，以銳角方向進行度量，順時針為“”，逆時針為“”；v4、（?）：由光軸以銳角轉(zhuǎn)向法線，順時針為“”，逆時針為“”； v5、（入射角I、反射角I、折射角I）：由光線以銳角轉(zhuǎn)向法線， 順時針為“”，逆時針為“”； v6、（d）：由前一折射面的頂點到后一折射面的頂點方向與光線的傳播方向一致為“”，反之為“”。2.1.1 符號規(guī)則v1、符號規(guī)則是人為規(guī)定的，不同的書上可能有所不同，但是在使用時只能使用其中一種，不能混淆。v2、在同一次光路計算當中，正方向的規(guī)定也最好是唯一的，不建議更換方向（注意：不要隨著光線傳

4、播方向的變化而不停變化）。2.1.2 實際光線經(jīng)過單個折射球面的光路計算公式sinsin () sinsin sinsin, sinsinsin sinIUA E CrLrLrIUrnIIInUIUIUUIIIUAE CLrrILrrU三 角 形中 應 用 正 弦 定 律 有 ：由 此 推 出 入 射 角 I 公 式 ：再 由 折 射 定 律 可 以 求 得 折 射 角的 公 式 ：由 圖 可 知 ：所 以 有 ：在 三 角 形使 用 正 弦 定 律 得 ： 則 像 方 截 距 為 ：書書P19 公式公式2.12.4已知：已知：r，L，U未知：未知：L=? U=?2.1.2 實際光線經(jīng)過單個折

5、射球面的光路計算公式當物在無限遠時， L = ，設(shè)一條光線平行于光軸入射，入射高度為h，則有： sinsin sinsin 1sinhIrnIInUUIIILrU已知：已知：r，h，U=0未知：未知：L=? U=?2.1.2 實際光線經(jīng)過單個折射球面的光路計算公式v由上面提供的公式，我們可以由已知的r，L和U求出L和U。v由以上公式可知，當當r，L一定的時候，一定的時候，L是是U的函數(shù)的函數(shù)，所以A點發(fā)出的同心光束，以不同的U角射到折射面再出射時，已經(jīng)不再是同心光束了，同光軸有多個不同交點，說明成像已經(jīng)不完善了，這就是所謂“球差球差”。v可見，球差是折射球面的原理性誤差球差是折射球面的原理性誤

6、差。2.1.3 近軸光的光路計算公式v我們假設(shè)A點發(fā)出的光線與光軸夾角U很小，則相應的角度I、I和U都很小，那么這些角度的了，用小寫字母i、i、u和u來表示。v我們定義可以做這樣近似的區(qū)域為“”或“”。lriurn lrnuiinrlrrnlrn lruuuuuiirnrilrru 此時的光路計算公式變?yōu)椋?.1.3 近軸光的光路計算公式v根據(jù)近軸光路的計算公式有：lu=lu=h11111 2 -3 -= (nnQrlrlnnn unuhrnnnnllr同時我們有三個重要的推論公式：、單折射球面的高斯公式）2.1.3 近軸光的光路計算公式11111 nnQrlrl、2 -nnn unuhr、該

7、公式表示為不變量的形式，Q稱為，對于一個折射球面，物空間和像空間的Q值是相同的。不同的共軛關(guān)系點會對應不同的Q值，在日后的像差理論學習中有重要意義。該公式表示近軸光折射前后的孔徑角u和u之間的關(guān)系。3 -= (nnnnllr、高斯公式）該公式表示折射球面的物像位置物像位置l和和l之間的關(guān)系之間的關(guān)系，是求高高斯像面位置斯像面位置的公式。記記2.2 單個折射球面的成像倍率、拉赫不變量v2.2.1 垂軸倍率v2.2.2 軸向倍率v2.2.3 角倍率 v2.2.4 三個倍率之間的關(guān)系v2.2.5 拉格朗日-赫姆霍茲不變量2.2.1 垂軸倍率v定義：。v其數(shù)學表示形式為：=y /y從圖中可見，根據(jù)三角

8、形ABC與ABC相似有：2.2.1 垂軸倍率v又根據(jù)阿貝不變量有：2.2.1 垂軸倍率v由之前的公式，可以計算出的具體數(shù)值， 的大小和符號有著十分重要的意義，我們用其來判斷成像的狀況！1) 0 0 llll是有符號數(shù)：系統(tǒng)成正像，即 和同號，此時物和像位于折射球面的同一側(cè)；物和像的虛實相反：實物成虛像，虛物成實像。系統(tǒng)成倒像，即 和異號，此時物和像位于折射球面的的兩側(cè)；物和像的虛實相同：實物成實像，虛物成虛像。1 2) 1 1 成 放 大 的 像 ， 像 比 物 大成 縮 小 的 像 ， 像 比 物 小物 和 像 的 大 小 一 致3) 注意：的數(shù)值是物體位于某一具體位置時的特定值當物體位置改

9、變，的數(shù)值也隨之改變了。2.2.2 軸向倍率：表示。 v它又分為二種情形來加以討論：一為物體作微小移動；一為物體移動有限距離。 ： 根據(jù)軸向放大率的定義，利用高斯公式有： 上式就是沿軸向放大倍率的表示形式，顯然其形式與垂軸放大率很相似，從而我們可以將此式再進行一下變換，得到 , 之間的關(guān)系： 20從上式可見，所以有，意味著像與物的移動方向相同；同時又有：，即軸向放大率與垂軸放大率不相等，二者放大效果不同。2.2.2 軸向倍率2121 llll此時軸向倍率可以表示為：高斯公式高斯公式1為第一位置處的垂軸放大率；2為第二位置處的垂軸放大率。 2.2.3 角倍率 ：近軸區(qū)內(nèi)，一對的， 即： 2.2.

10、4 三個倍率之間的關(guān)系即即軸向放大率與角放大率之積等于垂軸放大率軸向放大率與角放大率之積等于垂軸放大率。 2.2.5 拉格朗日-赫姆霍茲不變量vJ稱為，說明在一對共軛空間內(nèi)，y、u和n的乘積為常數(shù)。vJ用于描述物高、像高（反映的是視場的大小）；物方孔徑角、像方孔徑角（反映進入系統(tǒng)的能量多少）之間關(guān)系的物理量。 v（課后習題第一題）平凸透鏡r1=100mm，r2=，d=300mm，n=1.5，當物體在-時候v1）求高斯像面的位置；v2）在平面上刻十字，問其共軛像在什么位置；v3）當入射高度為h=10mm，問光線的像方截距是多少？和高斯像面相比相差多少？說明什么問題？2.3 共軸球面系統(tǒng)v2.3.

11、1 共軸球面系統(tǒng)的轉(zhuǎn)面（或過渡）公式v2.3.2 共軸球面系統(tǒng)的拉赫不變量v2.3.3 共軸球面系統(tǒng)的倍率計算 單個折射球面不能作為一個基本成像元件（反射鏡例外，可以單面成像），基本成像元件是至少兩個球面或非球面所構(gòu)成的透鏡。大部分透鏡都由球面構(gòu)成，加工方便，成本降低。2.3.1 共軸球面系統(tǒng)的轉(zhuǎn)面（或過渡）公式v復雜的系統(tǒng)由多個折射面構(gòu)成，必須解決折射面與折射面之間的過渡問題。 假設(shè)系統(tǒng)由多個折射面k構(gòu)成，各折射面的參量如下所示，分別為： 分別為各折射面的曲率半徑；折射面之間的間隔；介質(zhì)折射率。 2.3.1 共軸球面系統(tǒng)的轉(zhuǎn)面（或過渡）公式那么對于近軸光來說，有： 2.3.1 共軸球面系統(tǒng)的

12、轉(zhuǎn)面（或過渡）公式v對于實際光線，公式同上，只不過，符號大寫： 設(shè)h為光線在折面上入射高度，則在近軸區(qū)近似有： 故有：2.3.2 共軸球面系統(tǒng)的拉赫不變量v前面說了單個折射面的J，實際不僅對單個折射面J是個定值，對于整個系統(tǒng)而言，它也是個不變的量。 系統(tǒng)的J：2.3.3 共軸球面系統(tǒng)的倍率計算v對于共軸球面系統(tǒng)，利用轉(zhuǎn)面公式很容易證明三種倍率等于各個折射面相應倍率的乘積。三者的關(guān)系：v一個玻璃棒（n=1.5）長500mm，兩端為半球面，半徑分別是50mm和-100mm，物體高1mm，垂直于左端球面頂點之前200mm處的軸線上，試求：v1）物體經(jīng)過整個玻璃棒后成像的位置；v2）整個玻璃棒的垂軸放大率是多少？2.4 球面反射鏡v前面指出，反射定律可認為是折射定律在n=-n時的特例，因此，將之前的折射球面的計算公式代以n=-n，可以得到相應的反射球面計算公式。2.4.1 球面反射鏡的物像位置公式2.4.2 球面反射鏡的成像倍率2.4.3 球面反射鏡的拉赫不變量2.4.1 球面反射鏡的物像位置公式v球面反射鏡有二種：一為凸面鏡；一為凹面鏡。 1、物像位置關(guān)系式： 我們已知道折射面的物像位置關(guān)系式：由于反射是折射