三線合一性質(zhì)的逆定理

1、一、 等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)的逆定理“三線合一”性質(zhì)：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。逆定理： 如果三角形中任一角的角平分線和它所對邊的中線重合，那么這個三角形是等腰三角形。 如果三角形中任一角的角平分線和它所對邊的高重合，那么這個三角形是等腰三角形。 如果三角形中任一邊的中線和這條邊上的高重合，那么這個三角形是等腰三角形。簡言之： 三角形中任意兩線合一，必能推導出它是一個等腰三角形。證明：已知: ABC中，AD是BAC的角平分線， AD是BC邊上的中線，求證：ABC是等腰三角形。分析：要證等腰三角形就是要證AB=AC，直接通過證明這兩條線所在的三角形全等不行，

2、那就換種思路，在有中點的幾何證明題中常用的添輔助線的方法是“延長加倍”，即延長AD到E點，使AD=ED，由此問題就解決了。證明：延長AD到E點，使AD=ED，連接CE 在ABD和ECD中 AD=DE ADB=EDC BD=CD ABDECD AB=CE, BAD=CED AD是BAC的角平分線 BAD=CAD CED=CAD AC=CE AB=AC ABC是等腰三角形。三個逆定理中以逆定理在幾何證明的應用中尤為突出。證明：已知: ABC中，AD是BAC的角平分線，AD是BC邊上的高，求證：ABC是等腰三角形。分析：通過（ASA）的方法來證明ABD和ACD的全等，由此推出AB=AC得出ABC是等

3、腰三角形證明：已知: ABC中，AD是BC邊上的中線，又是BC邊上的高，求證：ABC是等腰三角形。分析：AD就是BC邊上的垂直平分線，用（SAS）的方法來 證明ABD和ACD的全等，由此推出AB=AC得出 ABC是等腰三角形。（即垂直平分線的定理）二、“三線合一”的逆定理在輔助線教學中的應用（1）逆定理的簡單應用例題1已知：如圖，在ABC中，AD平分BAC，CDAD,D為垂足，AB>AC。求證：2=1+B分析：由“AD平分BAC，CDAD”推出AD所在的三角形是等腰三角形，所以延長CD交AB于點E，由逆定理得出AEC是等腰三角形由此就可得出2=AEC，又AEC=1+B，所以結(jié)論得證。（2

4、）逆定理與中位線綜合應用例題1已知： 如圖，在ABC中，AD平分BAC，交BC于點D，過點C作AD的垂線，交AD的延長線于點E，F(xiàn)為BC的中點，連結(jié)EF。求證： EFAB，EF=(AC-AB) 分析： 由已知可知，線段AE既是BAC的角平分線又是EC邊上的高，就想到把AE所在的等腰三角形構(gòu)造出來，因而就可添輔助線“分別延長CE、AB交于點G”。簡單證明：由逆定理得出AGC是等腰三角形，點E是GC的中點EF是BGC的中位線得證。例題2如圖，已知：在ABC中，BD、CE分別平分ABC, ACB,AGBD于G，AFCE于F，AB=14cm,AC=9cm,BC=18cm.求： FG的長。分析：通過已知

5、條件可以知道線段CF和BG滿足逆定理的條件，因此就想到了分別延長AG、AF來構(gòu)造等腰三角形。簡單證明：分別延長AG、AF交BC于點K、H由逆定理得出ABK是等腰三角形點G是AK的中點 同理可得點F是AH的中點FG是AHK的中位線 由此就可解出FG的長。（3）逆定理與直角三角形的綜合應用例題1已知，如圖，AD為RtABC斜邊BC上的高，ABD的平分線交AD于M，交AC于P, CAD的平分線交BP于Q。求證：QAD是等腰三角形。 分析：由直角三角形的性質(zhì)可知道AQM=90°， 由此線段BQ滿足了逆定理2的條件，所以想到延長AQ交BC于點N。簡單證明：由添輔助線得出ABN是等腰三角形Q點是

6、AN的中點在RtAND中，Q是中點QA=DQ,得證。例題2如圖，在等腰ABC中，C=90°，如果點B到A的平分線AD的距離為5cm,求AD的長。分析：已知條件滿足了逆定理2，所以延長BE和AC，交于點F。簡單證明：由所添輔助線可知ABF是等腰三角形E點是BF的中點BF=2BE=10再由ADC和BFC的全等得出AD=BF結(jié)論求出。對已知條件的合理剖析，找出關(guān)鍵語句，滿足定理條件，添加適當?shù)妮o助線來構(gòu)造等腰三角形，以達到解決問題的目的。（4）逆定理的簡單應用（即垂直平分線的應用）例題1 （2006年寶山區(qū)中考模擬題）如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx的圖像開口向下，與x軸的一個交點為B，

7、頂點A在直線y=x上，O為坐標原點。 證明: AOB是等腰直角三角形分析：由拋物線的對稱性可添輔助線-過點A作ADx軸，垂足為D及直線y=x的性質(zhì)，可以知道AOB是等腰直角三角形。例題2如圖，以ABC的邊AB，AC為邊分別向形外作正方形ABDE和ACFG，求證：若DFBC,則AB=AC分析：從已知條件出發(fā)想到了正方形的性質(zhì)：邊，角以及對角線：邊的相等，角的相等并都等于90度，現(xiàn)要證明等腰三角形，能與其最密切的想到是否也能構(gòu)造直角呢？于是就想到了添輔線AH簡單證明：分別過點A、D、F作AHBC，DIBC,FJBC,分別交BC于點H，CB的延長線于I，BC的延長線于J由DFBC，DI=FJ又 AH

8、CCJF（AAS），ABHBDI(AAS)HC=FJ,BH=DIBH=HC,得證。抓住已知條件和結(jié)論的聯(lián)系，（例題1中拋物線的對稱性和等腰三角形的垂直平分線之間的內(nèi)在聯(lián)系，例題2中正方形中直角的信息獲得與等腰三角形的垂線間的間接聯(lián)系，）通過獲取的信息以及對等腰三角形“三線合一”性質(zhì)的逆定理的熟練把握，再進行對題目的重新整合，就能快速做出解題的策略，添加相應的輔助線，對于解題有很大的幫助。（5）逆定理在作圖中的應用已知：線段m，及，求作ABC，使ABC=，ACB=，且AB+BC+CA=m分析：對于作圖題，一般先在草稿紙上畫出要求作圖形的草圖，再把相應的已知條件在圖上標出，通過對草圖的解剖與分析再把圖用尺規(guī)規(guī)范的做出。通過草圖的分析，直接得到所求三角形不行，由已知三邊的和為m以及外角的性質(zhì)我們可以找到一頂點A，再由垂直平分線與邊的交 點找到另兩個頂點B和C。作法：1、畫射線OP，在OP上截取線段OQ=m,2、畫射線OM，使MOP=1/23、畫射線QN，使NQO=1/2,交射線OM于點A4、分別作AO、AQ的垂直平分線，交OQ于B，C兩點，ABC就是所求三角形。等腰三角形“三線合一”性質(zhì)的逆命題在輔