子主題一斜三角形的邊長問題（案例）

1、一、 學(xué)習(xí)目標(biāo) 能根據(jù)問題的需要合理作出垂線段，構(gòu)造直角三角形；會解由兩個特殊直角三角形構(gòu)成的組合圖形的問題 通過探究活動，掌握一般探究活動的基本步驟；通過小組同學(xué)評論、動手操作等方法，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化和分類討論的數(shù)學(xué)思維方式 經(jīng)歷觀察、計算、分析、歸納等過程，體驗解決實際問題的基本方法，獲得成功和克服困難的體驗；通過一題多變，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；通過小組之間的分工與合作，培養(yǎng)現(xiàn)代社會學(xué)習(xí)和生活中應(yīng)具有的交流合作意識二、 重難點分析 能根據(jù)問題的需要合理作出垂線段, 構(gòu)造兩個特殊直角三角形，將斜三角形的問題轉(zhuǎn)化為特殊的直角三角形 （1）在“變式”圖形中如何添加輔

2、助線, 構(gòu)造特殊的直角三角形；（2）在已知什么條件時應(yīng)考慮分類討論三、活動建議方案斜三角形的邊長問題活動建議方案一、活動流程框圖求斜三角形的邊長分組學(xué)習(xí)和討論題動手操作探尋規(guī)律活動一活動二添加輔助線轉(zhuǎn)化圖形利用直角三角形紙片拼接圖研究斜三角形可解的條件歸納基本圖形二、活動過程活動一：計算頂角為120°的等腰三角形一邊的長活動任務(wù)通過計算解決一個特殊的等腰三角形問題，讓學(xué)生體會解三角形問題的基本思路化斜三角形為直角三角形，并復(fù)習(xí)解三角形有關(guān)的知識活動內(nèi)容活動1：特殊角的斜三角形邊長問題第一步：提出探究任務(wù)教師通過多媒體出示問題（見媒體資源），作為學(xué)生的探究任務(wù)已知如圖ABC中，A=30

3、°，AB= ,若ACB=120°,求BC的長第二步：自主合作探究請學(xué)生以小組為單位對解決上述問題，根據(jù)需要可以提出如下建議：第一，關(guān)于求三角形一邊的長，我們都有哪些知識可以利用？這些知識能夠為解決這個題目帶來哪些思路？第二，題目的條件具有特殊性30°，120°，看到這些特殊的條件，能夠聯(lián)系起哪些知識？這些知識能夠為本題帶來哪些思路？第三，將題目中的問題和條件結(jié)合起來，尋找解決問題的思路第四，小組同學(xué)首先獨立思考，有了想法后再進(jìn)行交流第三步：集體交流請各小組展示不同的思路和解題方法，根據(jù)需要老師可以補(bǔ)充一些解題方法（見媒體資源），然后引導(dǎo)全班總結(jié)建議從如下

4、幾個方面總結(jié)：第一，解決一個一般的三角形的問題通常要轉(zhuǎn)化為直角三角形中的問題解決，根據(jù)題目特點構(gòu)造特殊的直角三角形是關(guān)鍵；第二，看到30°角這一條件，通?？梢岳谩爸苯侨切沃?0度角所對的邊等于斜邊的一半”這一性質(zhì)，通過構(gòu)造一個直角三角形得到邊的關(guān)系，類似的條件還有含45°角的直角三角形是等腰直角三角形；活動組織方式以學(xué)生獨立思考為基礎(chǔ)的小組交流，并在教師的引導(dǎo)下進(jìn)行總結(jié)提升活動評價方式從兩個方面對探究活動進(jìn)行評價，分別是過程性評價和效果性評價，采用教師評價、學(xué)生互評、學(xué)生自評的方式所需學(xué)習(xí)資源九章算術(shù)（1）.jpg九章算術(shù)（2）.jpg周髀算經(jīng).jpg趙爽.swf勾股圓

5、方圖.jpg劉徽.jpg劉徽.swf商高與勾股定理.swf所需學(xué)習(xí)時間15分鐘活動二：已知兩角一邊的斜三角形，怎樣求其他邊的長？活動任務(wù)通過與活動一方法的比較，進(jìn)一步鞏固已知兩角的條件，如何添加輔助線將斜三角型轉(zhuǎn)化為直角三角形的方法 活動內(nèi)容第一步：提出探究任務(wù) 教師通過多媒體出示問題（見媒體資源），作為學(xué)生的探究任務(wù)已知如圖ABC中，A=30°，AB=,若B=15°,求BC的長 第二步：自主合作探究請學(xué)生以小組為單位對解決上述問題，根據(jù)需要可以提出如下建議：第一，在活動一基礎(chǔ)上，比較我們已總結(jié)的輔助線添加的方法，思考對于此題哪些方法還適用，哪些方法不能用，為什么？ 第二，

6、要求學(xué)生不滿足一種方法，而要與活動一的每種方法對比，最終總結(jié)添加輔助線的一般原則第三，可以在各小組中，再分兩人一小組討論 第三步：集體交流可分兩個步驟：1請各小組展示自己的見解，在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：第一，添加輔助線的一般原則應(yīng)是：盡量不破壞特殊角，盡量不破壞已知長度的邊；第二，已知兩角一邊的三角形一定是可解的三角形2教師展示各種已知兩角一邊的斜三角形，（見媒體資源），請學(xué)生適當(dāng)添加輔助線，將其轉(zhuǎn)化為可解得三角形 活動組織方式以學(xué)生獨立思考為基礎(chǔ)的小組交流，并在教師的引導(dǎo)下進(jìn)行總結(jié)提升活動評價方式從兩個方面對探究活動進(jìn)行評價，分別是過程性評價和效果性評價，采用教師評價、學(xué)生互評、學(xué)生自

7、評的方式所需學(xué)習(xí)資源畢達(dá)哥拉斯與勾股定理.swf畢達(dá)哥拉斯.jpg歐幾里德.jpg歐幾里德.swf幾何原本.jpg伽菲爾德總統(tǒng).jpg伽菲爾德總統(tǒng)與勾股定理.swf所需學(xué)習(xí)時間15分鐘活動三：哪些三角形可解？活動任務(wù)根據(jù)已知條件，判斷三角形的形狀是否唯一確定讓學(xué)生體會三角形唯一性的條件活動內(nèi)容第一步：提出探究任務(wù)教師通過多媒體出示問題（見媒體資源），作為學(xué)生的探究任務(wù)（1） 已知ABC中，A=30°，AB= ,若AC=10,求BC的長.（2）已知ABC中，A=30°，AB= ,若BC=10,求AC的長. 第二步：自主合作探究請學(xué)生以小組為單位對解決上述問題，根據(jù)需要可以提出

8、如下建議：第一， 比較兩種問題的異同，根據(jù)題意作出圖形；第二， 思考這兩個問題，實際上是已知三角形的哪些邊角條件？第三， 每位同學(xué)在獨立思考的基礎(chǔ)上，作出圖形，再與本組同學(xué)交流，看看所畫圖形的異同，互相討論加以補(bǔ)充 第三步：集體交流請各小組長展示所畫的圖形，教師在學(xué)生展示的基礎(chǔ)上加以總結(jié)，補(bǔ)充，并進(jìn)一步提升，可引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)如下結(jié)論：第一，在斜三角形中已知一些邊角條件，求三角形的邊長時，答案可以是唯一解、兩解、無解第二，當(dāng)已知兩角一邊時，答案是唯一解；當(dāng)已知如（SAS、ASA、AAS、SSS）條件時，答案是唯一解第三，當(dāng)已知三角形的兩邊及其中一邊的對角（SSA）時，答案可以是無解、唯一解、兩解活

9、動組織方式以學(xué)生獨立思考為基礎(chǔ)的小組交流，并在教師的引導(dǎo)下進(jìn)行總結(jié)提升活動評價方式從兩個方面對探究活動進(jìn)行評價，分別是過程性評價和效果性評價，采用教師評價、學(xué)生互評、學(xué)生自評的方式所需學(xué)習(xí)資源九章算術(shù)（1）.jpg九章算術(shù)（2）.jpg周髀算經(jīng).jpg趙爽.swf勾股圓方圖.jpg劉徽.jpg劉徽.swf商高與勾股定理.swf畢達(dá)哥拉斯與勾股定理.swf畢達(dá)哥拉斯.jpg歐幾里德.jpg歐幾里德.swf幾何原本.jpg伽菲爾德總統(tǒng).jpg伽菲爾德總統(tǒng)與勾股定理.swf所需學(xué)習(xí)時間15分鐘四、 學(xué)習(xí)評價（說明：勾選幾條即評定為幾星）學(xué)習(xí)效果測試 姓名_等級_一、填空題： （1）已知：ABC中，A

10、=30°, B=45°,AB=,+1求AC、BC的長. （2）已知：在ABC中，B=30°，C=45°，BC=8cm，則面積為_. （3）某校有一個三角形形狀的花園ABC，現(xiàn)可直接測量到A=30°，AC=40m，BC=25m，請你求出這個花園的面積. 二、解答題：（1）如圖，ABC中，ADBC于D, B=45°,CD=1, SABC=6,求AC的長.（2）已知ABC中，C=90°A=15°，BC=1, ,求SABC(當(dāng)A=22.5°其它條件不變時求SABC) （3）如圖，在RtABC中，C=90

11、°,D是BC邊的中點，DEAB于E,tanB=,AE=7，求DE.（4）如圖，ABC中，BAC=45°,ADBC于D,AD=6,BD=3,求DC的長. 五、 實踐活動標(biāo)題活動：計算頂角為120°的等腰三角形一邊的長時間2010年6月20日地點北京八中參加人員九年級（2）班指導(dǎo)老師：林志紅活動內(nèi)容通過多種方法解決一個特殊條件下的斜三角形的問題，體會利用三角函數(shù)解決幾何問題的基本思路，總結(jié)構(gòu)造直角三角形解決斜三角形問題的基本方法標(biāo)題活動：已知兩角一邊的斜三角形，求其他邊的長時間2010年6月20日地點北京八中參加人員九年級（2）班指導(dǎo)老師：林志紅活動內(nèi)容把活

12、動1中的問題一般化，利用活動1中總結(jié)的方法解決更一般的問題，總結(jié)構(gòu)造直角三角形解決這類問題的基本方法標(biāo)題活動：哪些三角形可解時間2010年6月20日地點北京八中參加人員九年級（2）班指導(dǎo)老師：林志紅活動內(nèi)容從已知條件的情況出發(fā)對可解的三角形做系統(tǒng)分析，并通過具體問題的解決，總結(jié)解斜三角形的一般方法，建立與全等三角形知識的聯(lián)系 團(tuán)隊：第1活動小組 年級：九年級指導(dǎo)者：林老師團(tuán)隊：第2活動小組年級：九年級指導(dǎo)者：林老師團(tuán)隊：第3活動小組年級：九年級指導(dǎo)者：林老師團(tuán)隊：第4活動小組年級：九年級指導(dǎo)者：林老師團(tuán)隊：第5活動小組年級：九年級指導(dǎo)者：林老師對主題探究學(xué)習(xí)實施的總體評價優(yōu)點該探究活動的開展，

13、采用了以解決問題為核心、學(xué)生獨立思考為基礎(chǔ)的小組合作探究的組織形式，學(xué)生的參與積極程度較高，通過探究，于解斜三角形的各種情況做了系統(tǒng)梳理，并建立了與全等三角形知識的聯(lián)系，促進(jìn)了學(xué)生的深刻理解不足不足之處原因改進(jìn)意見本主題活動取材于課內(nèi)學(xué)習(xí)的需要，知識邏輯性強(qiáng)，由于擔(dān)心學(xué)生的所得不扎實，所以開放性不夠擔(dān)心學(xué)生不能通過探究梳理出清晰的線索 解放思想，相信學(xué)生的潛能，敢于開放對一些問題的反思學(xué)生的學(xué)習(xí)效果如何？教學(xué)目標(biāo)是否達(dá)成？達(dá)到了哪些目標(biāo)？哪些目標(biāo)沒有達(dá)到？為什么？本課的教學(xué)目標(biāo)是在教學(xué)活動中讓學(xué)生學(xué)會將斜三角形的問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題，總結(jié)常用方法，建立解三角形問題與全等三角形知識的聯(lián)系，從學(xué)生上課的反映和課后的抽查來看，這些目標(biāo)已經(jīng)達(dá)到了但是在學(xué)生面對新問題主動建立與知識的聯(lián)系方面的目標(biāo)有欠缺，緣于教師設(shè)計的活動開放性不夠 探究實施過程和設(shè)計思路相匹配嗎？如果沒有，考慮變化的原因探究實施過程和設(shè)計思路基本匹配 關(guān)鍵環(huán)節(jié)的提煉 “斜三角形的邊長問題”探究活動分為兩個部分：一式一個特殊的斜三角形中的變長問題研究，而是系統(tǒng)研究斜三角形變成問題，第一個活動為第二個活動做了方法的鋪墊，第二個活動增進(jìn)了學(xué)生的系統(tǒng)認(rèn)識學(xué)生感言精選學(xué)生一：斜三角形通過添加輔助線轉(zhuǎn)化成直角三角形