九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽共圓點(diǎn)問(wèn)題

1、第十五講 共圓點(diǎn)問(wèn)題 同在一個(gè)圓上的許多點(diǎn)稱為共圓點(diǎn)，或者說(shuō)這些點(diǎn)共圓證明這些點(diǎn)共圓常常利用以下一些方法思考：(1)要證明若干點(diǎn)共圓，先設(shè)法發(fā)現(xiàn)其中以某兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段恰為一直徑，然后證明其他點(diǎn)對(duì)這條線段的視角均為直角(2)要證明四點(diǎn)共圓，可證明以這點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，或證某兩點(diǎn)視另兩點(diǎn)所連線段的視角相等(3)如果兩線段AB，CD相交于E點(diǎn)，且AEEB=CEED，則A，B，C，D四點(diǎn)共圓(4)若相交直線PA，PB上各有一點(diǎn)C，D，且PAPC=PBPD，則A，B，C，D四點(diǎn)共圓(5)若四邊形一個(gè)外角等于其內(nèi)對(duì)角，則四邊形的四頂點(diǎn)共圓(6)要證明若干點(diǎn)共圓，先證其中四點(diǎn)共圓，然后再證其余點(diǎn)

2、都在此圓上共圓點(diǎn)問(wèn)題不但是幾何中的重要問(wèn)題，而且也是直線形和圓之間度量關(guān)系或位置關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的媒介例1 設(shè)O1，O2，O3兩兩外切，Y是O1，O2的切點(diǎn)，R，S分別是O1，O2與O3的切點(diǎn)，連心線O1O2交O1于P，交O2于Q求證：P，Q，R，S四點(diǎn)共圓分析 如圖354，連YR，則PRY=90，所以PRS為鈍角，設(shè)法證明Q與PRS互補(bǔ)，則P，R，S，Q共圓證 連RY，PR，RS，SQ，并作切線RX，則在四邊形PRSQ中，所以所以P，Q，R，S四點(diǎn)共圓例2 設(shè)ADE內(nèi)接于圓O，弦BC分別交AD，AE邊于F，G，分析 欲證F，D，E，G四點(diǎn)共圓，由于已知條件中交弦較多，因此，用圓冪定理的逆定理，若

3、能證出AFAD=AGAE成立，則F，D，E，G必共圓徑，所以 FDN=FMN=90，所以F，D，N，M四點(diǎn)共圓，所以ADAF=ANAM同理，AGAE=ANAM，所以ADAF=AGAE，所以F，D，E，G四點(diǎn)共圓 例3 在銳角ABC中，BD，CE是它的兩條高線，分別過(guò)B，C引直線DE的垂線，BFDE于F，CGDE于G，求證：EF=DG(圖356)分析 由已知，四邊形BCGF為直角梯形，F(xiàn)G為一腰，要證EF=DG，易想，若OH為梯形中位線，則OHFG于H，如果證得EH=HD，則FE=DG便是顯然的了證 過(guò)BC中點(diǎn)O，作OHDE于H因?yàn)锽DAC于D，CEAB于E，所以BEC=BDC=90，所以B，E

4、，D，C四點(diǎn)共圓，所以線段ED為圓O的一條弦由垂徑定理可知，EH=HD，所以FE=DG說(shuō)明 在此，B，E，D，C四點(diǎn)共圓顯然成為從EH=HD到FE=DG的轉(zhuǎn)化條件例4 在梯形ABCD中，ABCD，ABCD，K，M分別是腰AD，CB上的點(diǎn)，DAM=CBK(圖357)求證：DMA=CKB證 連KM，令DAM=1，CBK=2，AMB=3，AKB=4，ABF=5，DKC=6，CMD=7由于1=2，所以A，B，M，K四點(diǎn)共圓，所以5=AKM又因?yàn)锳BCD，所以5=DCM，AKM=DCM，所以K，M，C，D四點(diǎn)共圓，所以6=7又因?yàn)?=4，CKB=180-4-6，DMA=180-3-7，所以CKB=DMA

5、例5 設(shè)O為圓的弦MN的中點(diǎn)，過(guò)O作弦AB，CD，連AD，BC交MN于F，E求證：EO=OF(圖358) 分析欲證OE=OF，最一般的方法是以O(shè)E，OF為對(duì)應(yīng)邊構(gòu)造兩個(gè)三角形，然后證明這兩個(gè)三角形全等為此，過(guò)A作AGMN交圓于G，連OG，EG，CG，以下證明OEGOFA即可證 因?yàn)锳GMN，所以1=2=EOG又BCG+2=180，所以BCG+EOG=180，所以E，C，G，O四點(diǎn)共圓，所以3=C=4由于EOG=FOA，OG=OA，所以O(shè)EGOFA，所以 OE=OF說(shuō)明 本例是著名的“蝴蝶定理”，下例是這個(gè)定理的一個(gè)推廣例6 在過(guò)圓心的直線上取P，Q兩點(diǎn)，使PO=OQ，過(guò)P作割線交圓于C，D，過(guò)

6、Q作割線交圓于A，B，連AD，BC，分別交PQ于F，E，則FO=OE(圖359)證 作AGPQ交O于G，連OA，OG，PG，CG，EG因?yàn)镺A=OG，所以1=2因?yàn)锳GPQ，所以5=1=2=6又PO=OQ，所以POGQOA，PG=AQ，3=4=GAB又GCB=GAB=3，所以P，G，E，C四點(diǎn)共圓，所以PEG=PCG=GAD=AFQ這樣，AQFGPE，所以PE=FQ已知PO=OQ，所以O(shè)E=OF四點(diǎn)共圓在幾何證題中也往往成為證明諸圓共點(diǎn)(即幾個(gè)圓通過(guò)同一點(diǎn))的有力工具，下面再舉兩個(gè)例子例7 設(shè)四條直線相交于A，B，C，D，E，F(xiàn)六點(diǎn)，求證：BCE，DCF，ADE，ABF的外接圓共點(diǎn)(圖360)

7、證 因?yàn)閳ABEC和圓CDF已有一個(gè)交點(diǎn)C，必有另一交點(diǎn)O，且O與C不重合(否則圓EBC和圓CDF相切于C(O)，則AEAF，與假設(shè)矛盾)連OC，OD，OE，OF，則有A+DOE=A+EOC+COD=A+ABF+AFB=180，所以A，D，O，E四點(diǎn)共圓，圓AED過(guò)O點(diǎn)同理，圓ABF也過(guò)O點(diǎn)所以BCE，DCF，ADE，ABF的外接圓共點(diǎn)說(shuō)明 證明諸圓共點(diǎn)，可先證其中兩圓相交(或相切)于某一點(diǎn)，再證此點(diǎn)在其他圓上也可證諸圓通過(guò)某一特殊點(diǎn)例8 設(shè)I為ABC之內(nèi)心，過(guò)B作圓切CI于I，過(guò)C作圓切BI于I求證：此二圓與圓ABC共點(diǎn)(圖361)證 因?yàn)樗髦A已有一個(gè)交點(diǎn)I，必有另一交點(diǎn)O，并且O與I不重合(否則BI，CI是過(guò)I之兩圓公切線，則B，I，C必共線，此與I為ABC內(nèi)心相矛盾)連BO，OC，OI，則CIO=IBO，BIO=ICO，=180所以A，B，O，C四點(diǎn)共圓，所以所證之三圓共點(diǎn)練習(xí)十五 1設(shè)梯形ABCD中，ABCD，E，F(xiàn)分別在腰AD和BC上，若A，B，F(xiàn)，E四點(diǎn)共圓，則C，D，E，F(xiàn)也必四點(diǎn)共圓2四邊形EFGH的頂點(diǎn)順次在四邊形ABCD的各邊上，并且AE=AH，BE=BF，CF=CG，DG=DH求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共圓3如圖362在平行四邊形ABCD中，取一點(diǎn)P，使1=2，求證：3=4(提示：過(guò)D引