交通流量數(shù)學(xué)模型

1、交通量優(yōu)化配置摘要城市交通擁擠現(xiàn)象是城市交通規(guī)劃最為明顯的失策現(xiàn)象之一。從某種程度上說，城市交通擁擠現(xiàn)象是汽車社會(huì)的產(chǎn)物，特別是在人們上下班的高峰期交通擁擠現(xiàn)象尤為明顯?！皳?jù)統(tǒng)計(jì)，市由于交通擁擠，各種機(jī)動(dòng)車輛時(shí)速普遍下降，50 年代初為 25km 現(xiàn)在卻降為15kin 左右。一些交通繁忙路段，高峰時(shí)車輛的平均時(shí)速只有 3 4km。交通阻塞導(dǎo)致時(shí)間和能源的嚴(yán)重浪費(fèi)，影響城市經(jīng)濟(jì)的效率。 ” 城市交通擁擠現(xiàn)象是現(xiàn)代我國大中城市存在的普遍問題由于公交車、 小汽車流量較多，加上餐飲業(yè)商貿(mào)功能聚集，使本來就不寬的道路變得擁擠不堪，給進(jìn)行物資運(yùn)輸， 急救搶險(xiǎn)， 緊急疏散等狀況帶來不便。其中，城市各路段交通

2、流量的合理分配可以有效緩解道路發(fā)生擁擠。接下來，我們將模擬一個(gè)交通網(wǎng)絡(luò)，用節(jié)點(diǎn)流量方程、環(huán)路定理、網(wǎng)絡(luò)圖論模型去合理分配該交通網(wǎng)絡(luò)的交通流量已達(dá)到交通量優(yōu)化配置。關(guān)鍵字：交通流量、節(jié)點(diǎn)、環(huán)路、網(wǎng)絡(luò)圖論Word 文檔一、問題重述我們模擬某區(qū)域道路網(wǎng)絡(luò)如圖1 所示，每條道路等級(jí)（車道數(shù)）完全相同，某時(shí)間段，有N 輛車要從節(jié)點(diǎn)1 出發(fā)，目的地是節(jié)點(diǎn) 0（假設(shè)該時(shí)間段，路網(wǎng)中沒有其它車輛）。在該時(shí)間段，道路截面經(jīng)過的車輛數(shù)越多，車輛在該路段行駛的速度就越慢。我們?cè)诖艘鉀Q的問題是確定有效的行駛路徑及其算法，合理分配每條道路的交通流量，使 N 輛車從節(jié)點(diǎn) 1 到節(jié)點(diǎn) 0 的總行駛時(shí)間最小。Word 文檔

3、二、模型假設(shè)1）各路段單向通車2）道路截面經(jīng)過的車輛數(shù)與車輛在該路段行駛的速度成反比例函數(shù)關(guān)系3）車流密度均勻不變4）假設(shè) N 輛車在極短時(shí)間全部開出（即把車當(dāng)做質(zhì)點(diǎn)）5）各環(huán)路兩條支路對(duì)時(shí)間負(fù)載均衡三、變量說明Ii m 節(jié)點(diǎn)到 n 節(jié)點(diǎn)支路的車流數(shù)量ti 車輛從 m 節(jié)點(diǎn)到 n 節(jié)點(diǎn)經(jīng)過所花費(fèi)的時(shí)間Q流量v車速L縱向路長2L橫向路長K反比例系數(shù)*t車流密度隨時(shí)間的函數(shù)Word 文檔四、問題分析若直接對(duì)該交通網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行優(yōu)化配置則存在很多阻礙，對(duì)此我們對(duì)此模型進(jìn)行了一些理想化的處理。首先我們假設(shè)道路截面經(jīng)過的車輛數(shù)與車輛在該路段行駛的速度嚴(yán)格成反比函數(shù)的關(guān)系，由此排除了雙向通車的可能性。例如位于5

4、6 支路上不可能既有5 開向 6 的車也有6 駛向 5 的車，因?yàn)橛杉僭O(shè)可知車越多行使速度越慢，因此為了使速度最大化我們不能將空間給予車流走“回頭路”。接著由于該圖的“樹枝”較多，我們把車流當(dāng)作流量模型（即對(duì)每條支路的車流量對(duì)時(shí)間進(jìn)行積分然后再找最優(yōu)配置方案）顯然是不切實(shí)際的，所以在此我們假設(shè)車流密度不隨時(shí)間發(fā)生變化，也就是說我們把車看作質(zhì)點(diǎn)進(jìn)行分析。最后我們來解釋一下我們模型的重點(diǎn)，也就是假設(shè)5）。就一般而言我們可以任意選取一環(huán)路（帶進(jìn)出口的環(huán)路）如圖所示：我們假設(shè)，那么必有或，不管是哪種可能我們必然Word 文檔可以通過上調(diào)時(shí)間花費(fèi)短的路徑負(fù)載I 使得該路徑的行車速度v 下降、 行使時(shí)間

5、t 上升，以及下調(diào)時(shí)間長的路徑負(fù)載I 使得該路徑的行車速度 v 上升、行使時(shí)間 t 下降，那么在這個(gè)動(dòng)態(tài)變化中總有一個(gè)“時(shí)刻”使得以此達(dá)到對(duì)時(shí)間的負(fù)載均衡。又因?yàn)?，所以這個(gè)靜態(tài)點(diǎn)的配置優(yōu)于原配置。換而言之，在一個(gè)環(huán)當(dāng)兩條支路對(duì)于時(shí)間負(fù)載不均衡時(shí)，我們總可以通過調(diào)整支路的車流負(fù)載以此找到一個(gè)靜態(tài)點(diǎn)使得該點(diǎn)對(duì)時(shí)間負(fù)載均衡， 使得該點(diǎn)的時(shí)間值小于原狀態(tài)的時(shí)間值。而不管多復(fù)雜的電路網(wǎng)絡(luò)我們總可以把其分解成為一個(gè)又一個(gè)環(huán)路的，所以我們認(rèn)為交通網(wǎng)絡(luò)中的所有環(huán)路在對(duì)時(shí)間負(fù)載均衡時(shí)達(dá)到最優(yōu)化配置。在接下來的模型建立中，我們將以我們的分析假設(shè)作為基礎(chǔ)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模， 最終用 matlab 編程完成對(duì)該交通優(yōu)化配置

6、的求解。Word 文檔五、模型建立對(duì)于該網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)化配置，首先我們定義一下幾點(diǎn)：樹枝：（1）串聯(lián)的節(jié)點(diǎn)我們視它為一條樹枝；（2）進(jìn)入該樹枝的車流量等于出去的車流量2、節(jié)點(diǎn)：（1）樹枝與樹枝的連接點(diǎn)；（2）兩條以上的樹枝的連接點(diǎn)；3、環(huán)路：（1）閉合的樹枝；（2）閉合節(jié)點(diǎn)的集合。1）每條路徑上的車流量與行車速度之間的函數(shù)關(guān)系現(xiàn)實(shí)生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們這兩者成反比關(guān)系，那么在這里我們理想的認(rèn)為兩者成嚴(yán)格的反比例函數(shù)關(guān)系2）車流密度函數(shù)生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們車流密度與某時(shí)刻的車間距，車長等關(guān)系相關(guān)，在這里我們近似認(rèn)為與車流密度是時(shí)間，但為了模型的簡化我們不Word 文檔得不認(rèn)為那么 constant3）流量流量大

7、了就必然要控制車速，我們用量綱分析結(jié)合這個(gè)常識(shí)可以得到流量與車速成正比關(guān)系4）每條路徑上的行車時(shí)間（道路是否優(yōu)化的標(biāo)準(zhǔn)）行車時(shí)間即為道路的車流數(shù)量與車流量的比值5）時(shí)間，流量，路徑之間的函數(shù)關(guān)系通過上述公式的等效變換我們最終可以得到即現(xiàn)在我們對(duì)最優(yōu)解下的交通網(wǎng)絡(luò)列線性方程組， 然后求解該線性方程組即可以得到最優(yōu)解下個(gè)路段的交通負(fù)載。該線性方程組的組成分為 2 部分（注：由于假設(shè)5）中所述對(duì)于一個(gè)開放的環(huán)路兩條樹枝對(duì)于時(shí)間負(fù)載均衡，所以沿著該環(huán)對(duì)時(shí)間進(jìn)行線積分其結(jié)果必然是0，那么對(duì)于環(huán)路就可以用環(huán)路定理列出方程組）由網(wǎng)絡(luò)圖論知識(shí)可列有效的節(jié)點(diǎn)方程9-1=8 個(gè)，有效的環(huán)路方程5Word 文檔個(gè)，

8、那么 13 條樹枝的最優(yōu)負(fù)載即可通過以下這13 個(gè)方程進(jìn)行確定Word 文檔六、模型求解我們選擇用矩陣運(yùn)算來求解這個(gè)線性方程組， 以此得到各個(gè)路段之間的車流量 ,計(jì)算結(jié)果如下（算法程序見附錄）（行駛速度即為）其中 8,9 兩條流量為負(fù)數(shù)表示車流方向與預(yù)定方向相反，那么有效的行駛路徑就可以是一下 8 種a) 1-2-3-4-7-0b) 1-2-3-6-7-0c) 1-2-5-6-7-0d) 1-2-5-6-10-0e) 1-2-3-6-10-0f) 1-8-9-10-0g) 1-8-9-5-6-7-0Word 文檔h) 1-8-9-5-6-10-0若按上述交通流量分配，即可得到最優(yōu)化的交通，此時(shí)

9、這 N 輛車從1 走到 0 所需的時(shí)間最短但在實(shí)際的求解的過程中我們會(huì)發(fā)現(xiàn)結(jié)果未必是整數(shù)，而車輛不可能是小數(shù)，所以這個(gè)模型的求解過程中還存在一個(gè)整數(shù)規(guī)劃的問題，我們?cè)谶@邊提供了一個(gè)簡單的解決方案：我們將針對(duì)幾個(gè)特殊樹杈（ 1,2,3,6,9）的每一端乘以一個(gè)與前樹杈相對(duì)應(yīng)的比例系數(shù)使得樹杈的輸入端為整數(shù)，這樣子我們對(duì)輸出端進(jìn)行簡單的四舍五入處理時(shí)可以保證車輛數(shù)量是合理的（不多車，不丟車）接下來我們用這段算法程序 （算法程序見附錄） 嘗試運(yùn)算當(dāng) N=10000 時(shí)的各路段交通負(fù)載分配Word 文檔可見我們這種整數(shù)規(guī)劃模型的解與理論值相比較，誤差接近萬分之一，所以可以說我們這個(gè)模型的求解是精確的。

10、Word 文檔七、模型評(píng)價(jià)交通規(guī)劃在城市規(guī)劃中必不可少，解決交通配置在運(yùn)輸，急救，搶險(xiǎn)，疏散方面都是不可或缺的。而本模型就能分析相關(guān)問題較為精準(zhǔn)用 matlab 最終解決相關(guān)的交通網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)化配置，并且具有普遍性。但是這個(gè)模型存在一下三點(diǎn)缺陷的：1）我們將流量模型近似的看作質(zhì)點(diǎn)模型2）N 值越大模型的準(zhǔn)確性越高，反之，當(dāng) N 值小時(shí)由于小數(shù)位的取舍會(huì)造成不小的誤差3）我們忽略了所有的外界因素Word 文檔八、參考文獻(xiàn)(一)我國城市交通規(guī)劃發(fā)展的思考郎詩濤(二)離散數(shù)學(xué)科學(xué)技術(shù)(三)工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)同濟(jì)大學(xué)Word 文檔附錄對(duì)于能夠自行輸入具體的N（即 1 點(diǎn)的車輛數(shù)），并對(duì)其進(jìn)行計(jì)算得到各路段精

11、確理論車輛數(shù)的編程程序如下：N=input(' 輸入 N 值 ');000-1110000000;000001110-1000;0000-100100100;01000000100-10;000000000101-1;0000000000101;2-4023000001-2-2;001-2-300010-122;00-1201-2000000;0000000201-102;00003-10200000;b=0 0 0 0 0 0 0 N 0 0 0 0 0'x=Ab;for (i=1:13)x(i)=abs (x(i);end;xLilunFZ( x(1),x(2),x(3),x(4),x(5),x(6),x(7),x(8),x(9),x(10),x(11),x(12),x(13)%此句為調(diào)用同文件中的下述程序Word 文檔進(jìn)行整數(shù)規(guī)劃的過程編程程序如下：function LilunFZ( I1,I2,I3,I4,I5,I6,I7,I8,I9,I10,I11,I12,I13,N)N=input(' 輸入 ');i1=round(N*I1 /N);i2=N-i1;i4=round(i1