直線及圓的參數(shù)方程

1、直線及圓的參數(shù)方程 教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn):直線參數(shù)方程及圓的參數(shù)方程的基本形式，對直線標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程中參數(shù)t的理解，非標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程如何化為標(biāo)準(zhǔn)方程并求出傾角，并應(yīng)用直線參數(shù)方程解決有關(guān)問題。 例題分析:例1下列各式中，哪一個(gè)是直線的三角式方程，試述理由，若是點(diǎn)角式參數(shù)方程時(shí)，寫出始點(diǎn)和傾角，若不是，化為點(diǎn)角式參數(shù)方程。 （1）（t為參數(shù)）；（2）（t為參數(shù)）；（3）（t為參數(shù)） 解:（1）始點(diǎn)（-2，3），傾角為是點(diǎn)角式參數(shù)方程。（2）不是點(diǎn)角式參數(shù)方程，不滿足為點(diǎn)角式參數(shù)方程的必要條件，即a2+b2=1。但是形如（t為參數(shù)）的可化為參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)式即（t為參數(shù)） （3）（t為參數(shù)）不是點(diǎn)角式參數(shù)方程

2、，令t'=-t，得， 直線始點(diǎn)為（-2，2），傾角為。 例2寫出過點(diǎn)A（1，-2），傾角為45°的直線l1的點(diǎn)角式參數(shù)方程，若l1與l2:x+2y-4=0相交于B。（1）求|AB|； （2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)。 解:設(shè)l1的參數(shù)方程為:（I）（t為參數(shù)）把（I）代入l2方程，1+t+2(-2+t)-4=0 解出t=（II）， |AB|=|t-0|= 把（II）代入（I）得:B(, )。 小結(jié):從此例可看出應(yīng)用三角式參數(shù)方程求距離很簡捷。 例3求橢圓=1中斜率為2的平行弦中點(diǎn)的軌跡。 解：（1）用普通方程解決，設(shè)弦中點(diǎn)P(x0, y0)，弦的兩端點(diǎn)A(x1, y1), B(x2, y

3、2) 由已知得: (1)-(2)： =0， .(6) 將(5)代入(6)， 2=, x0+3y0=0,軌跡為含在橢圓內(nèi)的一條線段。 法（2）參數(shù)方程解題設(shè)弦中點(diǎn)P(x0,y0)，弦的傾角為a， 平行弦的直線參數(shù)方程為:（t為參數(shù)）(1)將（1）代入2x2+3y2-6=0中，整理后得:(2cos2+3sin2)t2+2(2x0cos+3ysin)t+2x02+3y02-6=0, t1+t2= P為弦中點(diǎn)，t1+t2=0，即2x0cos+3y0sin=0，又tg=2, 2x0+6y0=0, P點(diǎn)軌跡是方程為x+3y=0在橢圓=1內(nèi)的一條線段。 小結(jié):此例用普通方程及參數(shù)方程對比解決，體會(huì)參數(shù)t的幾

4、何意義，其中t1+t2=0對點(diǎn)角式方程而言具有普遍的意義，常用于解決弦中點(diǎn)問題。 例4設(shè)M，N是拋物線y2=2px(p>0)的對稱軸上兩點(diǎn)，且它們關(guān)于頂點(diǎn)O對稱，過M，N作兩條平行線，分別交拋物線于P1，P2，Q1，Q2，求證:|MP1|·|MP2|=|NQ1|·|NQ2|。證明:由已知可設(shè)M(a,0), N(-a, 0)(a>0) 則直線MP1，NQ1的參數(shù)方程為: （1）和（2）其中t是參數(shù)，是傾斜角。 把（1）（2）分別代入y2=2px中，由韋達(dá)定理可得:|MP1|·|MP2|=，|NQ1|·|NQ2|=，|MP1|·|MP2

5、|=|NQ1|·|NQ2| 評述:此例中應(yīng)用了點(diǎn)角式參數(shù)方程中t的幾何意義，即|t1|,|t2|為相應(yīng)點(diǎn)到定點(diǎn)M的距離，據(jù)此證明了關(guān)于線段的等式問題。 例5橢圓長軸|A1A2|=6，焦距|F1F2|=4，過橢圓焦點(diǎn)F1引直線交橢圓于M，N兩點(diǎn)，設(shè)F2F1M=，0,），若|MN|等于短軸時(shí)，求。 解:a=3, c=2,b=1, F1(-2,0)，橢圓方程+y2=1。 法（1）設(shè)MN所在直線參數(shù)方程為.(1)（t為參數(shù)） 將(1)代入+y2=1得:(1+8sin2)t2-4tcos-1=0 t1+t2=, t1·t2=,2b=2。|t1-t2|2=, =22, sin2=,0,

6、）， sin=, =或。 （法二）設(shè)MN方程:y=k(x+2) x1+x2=.(1),x1·x2=.(2) <i> |MN|=|x1-x2|.<I>又|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2.(3) 將(1),(2)代入(3)，將(3)代入(I)解得:k2=(下略) 另；<ii> e=, M(x1,y1), N(x2,y2)由第二定義:|MF2|=ex2+a, |MF1|=ex1+a |MN|=e(x1+x2)+2a=(x1+x2)+6, 2=·+6, k2=(下略)。 評述:利用直線參數(shù)方程，常常解決弦長的問題，對比普通方程的弦長

7、公式可知，形式上要簡捷，運(yùn)算上也將更加簡化，減少運(yùn)算的出錯(cuò)可能。 例6過M(-1,0)的直線l交雙曲線x2-y2=10于A，B兩點(diǎn)，且|MA|=3|MB|，求直線l的方程。 分析:|MA|=3|MB|，若設(shè)普通方程，則兩線段間的上述關(guān)系表述很繁瑣，條件不利于應(yīng)用。設(shè)直線參數(shù)方程點(diǎn)角式，直接利用參數(shù)t的幾何意義表達(dá)|MA|=3|MB|，可以很方便的代入式子中去應(yīng)用。 解:設(shè)直線MA的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）(-1+tcos)2-t2sin2-10=0(cos2-sin2)t2-2tcos-9=0，有 t1+t2=, t1·t2= 又 |MA|=3|MB|， t1=±3t2。 &

8、lt;i>當(dāng)t1=±3t2時(shí)，4t2=, 3=, t2=, 3=, 解得:cos2=，sin2=, tg=±， l: y=±(x+1)。<ii> 當(dāng)t1=3t2時(shí)，同理可求l:y=(x+1)。 本周小結(jié):直線參數(shù)方程點(diǎn)角式問題，應(yīng)注重從下面幾點(diǎn)講解。<1>會(huì)判斷方程是否為點(diǎn)角式參數(shù)方程；<2>若參數(shù)方程為會(huì)化為點(diǎn)角式，并會(huì)求出傾角，一定要注意傾角的范圍。<3>會(huì)應(yīng)用它解決弦長問題，弦的中點(diǎn)線分弦成定比問題，點(diǎn)在直線上位置等常見問題。 參考練習(xí):1直線:（t為參數(shù)）的傾斜角是（ ） A、20°B、70&

9、#176;C、110°D、160° 2直線（t是參數(shù)）與圓（為參數(shù)）相交所得弦長為（） A、(3-) B、C、D、(3+) 3圓x2+y2=8內(nèi)有一點(diǎn)P0(-1,2)，AB為過P0且傾角為的弦。 （1）當(dāng)=，求|AB|；（2）當(dāng)弦A'B'被點(diǎn)P0平分時(shí)，寫出直線A'B'的方程。 參考答案: 1.C2.B 3.解:設(shè)直線AB方程為:(1)（t為參數(shù)）把(1)代入x2+y2=8,整理得: t2-2(cos-2sin)t-3=0.(2) 直線與圓相交，(2)有實(shí)根，則由韋達(dá)定理:t1+t2=2(cos-sin), t1·t2=-3, (1

10、)當(dāng)=時(shí)，|AB|2=|t1-t2|2=(t1+t2)2-4t1t2=2(cos-sin)2-4×(-3)=30 |AB|=。 （2）弦A'B'被點(diǎn)P0平分 cos-2sin)=0tg=，即k=, A'B'方程為:y-2=(x+1)，即x-2y+5=0。在線測試窗體頂端選擇題1直線（t為參數(shù)）的傾斜角是（） A、20°B、70°C、110°D、160° 窗體底端窗體頂端2曲線的參數(shù)方程為（0t5），則曲線是（） A、線段B、雙曲線的一支C、圓弧D、射線 窗體底端窗體頂端3橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是（） A、(-3,5)

11、, (-3,-3)B、(3,3),(3,-5)C、(1,1),(-7,1)D、(7,-1),(-1,-1) 窗體底端窗體頂端4下列參數(shù)方程(t為參數(shù))與普通方程x2-y=0表示同一曲線的方程是（） A、B、C、D、 窗體底端窗體頂端5曲線的參數(shù)方程是(t是參數(shù)，t0)，它的普通方程是（） A、(x-1)2(y-1)=1 B、y= C、y=-1 D、y=+1窗體底端答案與解析 答案：1、C 2、A 3、B 4、D 5、B解析：1本題考查三角變換及直線的參數(shù)方程。解：由直線方程知此直線過定點(diǎn)(3，0)，那么它的斜率k=-ctg20°=tg(90°+20°)=tg110

12、°。因此直線的傾斜角為110°。故應(yīng)選C。 2本小題考查化參數(shù)方程為普通方程的方法，及解不等式的知識。 解：消去參數(shù)t，得x-3y-5=0。因?yàn)?t5，所以2x77，-1y24。因此是一條線段，故選A。 3本小題考查參數(shù)方程和橢圓方程的知識，以及坐標(biāo)軸平移。解：原方程消參得=1，是中心為（3，-1），焦點(diǎn)在x=3這條直線上的橢圓，c=4，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(3，3)及(3，-5)，所以選B。 4本小題考查參數(shù)方程和三角函數(shù)式的恒等變形解：選項(xiàng)A中x0，與x2-y=0中x的取值范圍不符；B中，-1x1，與x2-y=0中的x范圍不符；C中，y=ctg2t=，不能化成x2-y=0；D中，

13、y=tg2t=x2，即x2-y=0，故選D。 5本題考查參數(shù)方程的知識。解：由參數(shù)方程得消去t，得=1-y， y=1-=。故選B參數(shù)方程、極坐標(biāo)知識小結(jié) 一、求軌跡的參數(shù)方程（1）對于曲線的參數(shù)方程應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：一是參數(shù)方程中參數(shù)的變化范圍是有限制的；二是給出一個(gè)t，解出唯一對應(yīng)的x, y的值，因而得出唯一的對應(yīng)點(diǎn)。 （2）可供選擇的參數(shù)較多，如角度、時(shí)間、點(diǎn)的坐標(biāo)、位移、直線斜率等。 二、普通方程與參數(shù)方程的互化1注意方程等價(jià)性在曲線的普通方程與參數(shù)方程的互化中應(yīng)注意方程的等價(jià)性通過參數(shù)的取值范圍推出x、y的取值范圍。 2消去參數(shù)，把參數(shù)方程化為普通方程化曲線的參數(shù)方程為普通方程可用代數(shù)消

14、元法和三角消元法，如果參數(shù)方程中不含三角函數(shù)式，或者參數(shù)方程中雖含三角函數(shù)式，但三角函數(shù)中不含參數(shù)，用代入等代數(shù)方法消去參數(shù)；如果三角函數(shù)式含參數(shù)，可用三角函數(shù)關(guān)系消去參數(shù)。當(dāng)然問題不是絕對的，有的題目既可以用代數(shù)方法又可用三角方法。 3普通方程化參數(shù)方程由普通方程化為參數(shù)方程，應(yīng)注意恰當(dāng)?shù)剡x擇參數(shù)，一般在與運(yùn)動(dòng)有關(guān)的問題中往往選時(shí)間為參數(shù)，與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的某些曲線中往往選角度為參數(shù)。參數(shù)選擇得不同，所得方程也不同。因此，同一條曲線的參數(shù)方程不是唯一的。注意 應(yīng)用參數(shù)方程及參數(shù)的幾何意義解題，有時(shí)可使解法簡便。 三、求軌跡的極坐標(biāo)方程1直接法建立極坐標(biāo)方程常?？梢栽谝粋€(gè)三角形中實(shí)現(xiàn)。也就是說，建立

15、起這個(gè)三角形中的邊角關(guān)系，就是建立了極坐標(biāo)方程。 2轉(zhuǎn)移法如果已知某直線的極坐標(biāo)方程，求受該直線制約的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程時(shí)，常使用轉(zhuǎn)移法，利用已知的極坐標(biāo)方程推出所求的極坐標(biāo)的方程。 3參數(shù)法在建立曲線的極坐標(biāo)方程時(shí)也可運(yùn)用參數(shù)法，先適當(dāng)?shù)剡x取參數(shù)t，建立動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)、與t的關(guān)系：(t為參數(shù))這就是動(dòng)點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程。再消去參數(shù)t，就得到極坐標(biāo)方程。 注意 在求曲線的極坐標(biāo)方程時(shí)，要特別注意點(diǎn)的極坐標(biāo)(, )取值范圍。因?yàn)樵跇O坐標(biāo)系中，平面上所有點(diǎn)的集合與極坐標(biāo)之間不是”一一對應(yīng)的；一般情況下，如果限制0，02，則除極點(diǎn)外，平面內(nèi)的點(diǎn)和它的極坐標(biāo)之間便可以一一對應(yīng)。但是這樣的限制對于研究曲線的極坐標(biāo)方程有時(shí)有妨礙。如限制02，那么螺線=a只表示動(dòng)點(diǎn)M的軌跡的一部分，這時(shí)螺線只剩下圈了，這顯然是不合適的。 四、極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化1極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化時(shí)要注意以下兩點(diǎn)： 在一般情況下取正值，取最小正角； 由tan=