江蘇省專轉(zhuǎn)本高數(shù)全部知識點第一講：極限、洛比塔法則第十講_定積分的應(yīng)用

1、第十講第十講 定積分的應(yīng)用定積分的應(yīng)用平面圖形的面積平面圖形的面積旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積平面曲線的弧長平面曲線的弧長變力沿直線所做的功變力沿直線所做的功xyo)(xfy abxyo)(1xfy )(2xfy ab曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 badxxfA)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 badxxfxfA)()(121、平面圖形的面積、平面圖形的面積xxxx x 例例 1 1 計計算算由由兩兩條條拋拋物物線線xy 2和和2xy 所所圍圍成成的的圖圖形形的的面面積積.解解兩曲線的交點兩曲線的交點)1 , 1()0 , 0(面積元素面積元素dxxxdA)(2 選選 為積分變量為積分變量x1 ,

2、 0 xdxxxA)(210 10333223 xx.31 2xy 2yx 例例 2 2 計計算算由由曲曲線線xxy63 和和2xy 所所圍圍成成的的圖圖形形的的面面積積.解解兩曲線的交點兩曲線的交點).9 , 3(),4 , 2(),0 , 0( 236xyxxy選選 為積分變量為積分變量x3, 2 x,0, 2)1( xdxxxxdA)6(231 ,3 , 0)2( xdxxxxdA)6(322 2xy xxy63 于是所求面積于是所求面積21AAA dxxxxA)6(2023 dxxxx)6(3230 .12253 說明：注意各積分區(qū)間上被積函數(shù)的形式說明：注意各積分區(qū)間上被積函數(shù)的形式

3、問題：問題：積分變量只能選積分變量只能選 嗎？嗎？x例例 3 3 計計算算由由曲曲線線xy22 和和直直線線4 xy所所圍圍成成的的圖圖形形的的面面積積.解解兩曲線的交點兩曲線的交點).4 , 8(),2, 2( 422xyxy選選 為積分變量為積分變量y4, 2 ydyyydA 242.1842 dAAxy22 4 xy如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程 )()(tytx 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積.)()(21 ttdtttA （其其中中1t和和2t對對應(yīng)應(yīng)曲曲線線起起點點與與終終點點的的參參數(shù)數(shù)值值）在在1t,2t（或或2t,1t）上上)(tx 具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)

4、導(dǎo)數(shù)數(shù)，)(ty 連連續(xù)續(xù). 設(shè)由曲線設(shè)由曲線)( r及射線及射線 、 圍成一曲邊扇圍成一曲邊扇形，求其面積這里，形，求其面積這里，)( 在在, 上連續(xù)，且上連續(xù)，且0)( xo d d 面積元素面積元素 ddA2)(21 曲邊扇形的面積曲邊扇形的面積.)(212 dA 極坐標系情形極坐標系情形)( r例例 5 5 求求雙雙紐紐線線 2cos22a 所所圍圍平平面面圖圖形形的的面面積積.解解由對稱性知總面積由對稱性知總面積=4倍第倍第一象限部分面積一象限部分面積14AA daA2cos214402 .2a xy 2cos22a 1A例例 6 6 求求心心形形線線)cos1( ar所所圍圍平平面

5、面圖圖形形的的面面積積)0( a.解解 dadA22)cos1(21 利用對稱性知利用對稱性知.232a d d2)cos1( 02212aA d)coscos21(2 02a 2sin41sin2232a 0求在直角坐標系下、參數(shù)方程形式求在直角坐標系下、參數(shù)方程形式下、極坐標系下平面圖形的面積下、極坐標系下平面圖形的面積.（注意恰當(dāng)?shù)模ㄗ⒁馇‘?dāng)?shù)倪x擇積分變量選擇積分變量有助于簡化有助于簡化積分運算）積分運算）三、小結(jié)三、小結(jié) 旋轉(zhuǎn)體旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形饒這平面內(nèi)就是由一個平面圖形饒這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)軸圓柱圓柱圓錐圓

6、錐圓臺圓臺2、旋轉(zhuǎn)體的體積、旋轉(zhuǎn)體的體積一一般般地地，如如果果旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體是是由由連連續(xù)續(xù)曲曲線線)(xfy 、直直線線ax 、bx 及及x軸軸所所圍圍成成的的曲曲邊邊梯梯形形繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周而而成成的的立立體體，體體積積為為多多少少？取取積積分分變變量量為為x，,bax 在在,ba上任取小區(qū)上任取小區(qū)間間,dxxx ，取取以以dx為為底底的的窄窄邊邊梯梯形形繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)而而成成的的薄薄片片的的體體積積為為體體積積元元素素，dxxfdV2)( xdxx xyo旋轉(zhuǎn)體的體積為旋轉(zhuǎn)體的體積為dxxfVba2)( )(xfy y例例 1 1 連接坐標原點連接坐標原點O及點及點),(r

7、hP的直線、直線的直線、直線hx 及及x軸圍成一個直角三角形將它繞軸圍成一個直角三角形將它繞x軸旋軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個底半徑為轉(zhuǎn)構(gòu)成一個底半徑為r、高為、高為h的圓錐體，計算的圓錐體，計算圓錐體的體積圓錐體的體積r解解hPxhry 取取積積分分變變量量為為x，, 0hx 在在, 0h上任取小區(qū)間上任取小區(qū)間,dxxx ，xo直線直線 方程為方程為OP以以dx為底的窄邊梯形繞為底的窄邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的薄片的軸旋轉(zhuǎn)而成的薄片的體積為體積為dxxhrdV2 圓錐體的體積圓錐體的體積dxxhrVh20 hxhr03223 .32hr yrhPxoa aoyx例例 2 2 求求星星形形線線323232ay

8、x )0( a繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)構(gòu)構(gòu)成成旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積.解解,323232xay 332322 xay,aax 旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積dxxaVaa33232 .105323a 類似地，如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線類似地，如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線)(yx 、直線、直線cy 、dy 及及y軸所圍軸所圍成的曲邊梯形繞成的曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，體積為體積為xyo)(yx cddyy2)( dcV例例 3 3 求擺線求擺線)sin(ttax ，)cos1(tay 的一拱與的一拱與0 y所圍成的圖形分別繞所圍成的圖形分別繞x軸、軸、y軸軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)構(gòu)成

9、旋轉(zhuǎn)體的體積.解解繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體體體積積dxxyVax)(220 2022)cos1()cos1(dttata 20323)coscos3cos31(dtttta.532a a 2a )(xy繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體體體積積可可看看作作平平面面圖圖OABC與與OBC分分別別繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)構(gòu)構(gòu)成成旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積之之差差.dtyxVay)(2202 dtyxa)(2201 oyxa 2ABCa2)(2yxx )(1yxx 222sin)sin(tdtatta 022sin)sin(tdtatta 2023sin)sin(tdttta.633a 補充補充 如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線)(xfy 、直線直線ax 、bx 及及x軸所圍成的曲邊梯形繞軸所圍成的曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，體積為軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，體積為dxxfxVbay| )(|2 利用這個公式，可知上例中利用這個公式，可知上例中dxxfxVay| )(|220 20)s