傳染病傳播的數(shù)學(xué)模型

1、 傳染病傳播的數(shù)學(xué)模型很多醫(yī)學(xué)工作者試圖從醫(yī)學(xué)的不同角度來解釋傳染病傳播時(shí)的一種現(xiàn)象，這種現(xiàn)象就是在某一民族或地區(qū)，某種傳染病傳播時(shí)，每次所涉及的人數(shù)大體上是一常數(shù)。結(jié)果都不能令人滿意，后來由于數(shù)學(xué)工作者的參與，用建立數(shù)學(xué)模型來對(duì)這一現(xiàn)象進(jìn)行模擬和論證，得到了較滿意的解答。一種疾病的傳播過程是一種非常復(fù)雜的過程，它受很多社會(huì)因素的制約和影響，如傳染病人的多少，易受傳染者的多少，傳染率的大小，排除率的大小，人口的出生和死亡，還有人員的遷入和遷出，潛伏期的長短，預(yù)防疾病的宣傳以及人的個(gè)體差異等。如何建立一個(gè)與實(shí)際比較吻合的數(shù)學(xué)模型，開始顯然不能將所有因素都考慮進(jìn)去。為此，必須從諸多因素中，抓住主要

2、因素，去掉次要因素。先把問題簡化，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。將所得結(jié)果與實(shí)際比較，找出問題，修改原有假設(shè)，再建立一個(gè)與實(shí)際比較吻合的模型。從而使模型逐步完善。下面是一個(gè)由簡單到復(fù)雜的建模過程，很有代表性，讀者應(yīng)從中體會(huì)這一建模過程的方法和思路。一.最簡單的模型假設(shè)：(1) 每個(gè)病人在單位時(shí)間內(nèi)傳染的人數(shù)是常數(shù)k；(2) 一個(gè)人得病后經(jīng)久不愈，并在傳染期內(nèi)不會(huì)死亡。以i(t)表示t時(shí)刻的病人數(shù)，表示每個(gè)病人單位時(shí)間內(nèi)傳染的人數(shù)，i(0)= 表示最初時(shí)有個(gè)傳染病人，則在時(shí)間內(nèi)增加的病人數(shù)為 兩邊除以，并令0得微分方程 （2.1）其解為 這表明傳染病的轉(zhuǎn)播是按指數(shù)函數(shù)增加的。這結(jié)果與傳染病傳播初期比較吻合

3、，傳染病傳播初期，傳播很快，被傳染人數(shù)按指數(shù)函數(shù)增長。但由(2.1)的解可知，當(dāng)t時(shí)，i(t)，這顯然不符合實(shí)際情況。最多所有的人都傳染上就是了。那么問題在那里呢？問題是就出在于兩條假設(shè)對(duì)時(shí)間較長時(shí)不合理。特別是假設(shè)(1)，每個(gè)病人單位時(shí)間內(nèi)傳染的人數(shù)是常數(shù)與實(shí)際情況不符。因?yàn)殡S著時(shí)間的推移，病人越來越多，而未被傳染的人數(shù)卻越來越少，因而不同時(shí)期的傳播情況是不同的。為了與實(shí)際情況較吻合，我們?cè)谠械幕A(chǔ)上修改假設(shè)建立新的模型。二. 模型的修改將人群分成兩類：一類為傳染病人，另一類為未被傳染的人，分別用i(t)和s(t)表示t時(shí)刻這兩類人的人數(shù)。i (0)= 。假設(shè)：(1) 每個(gè)病人單位時(shí)間內(nèi)傳

4、染的人數(shù)與這時(shí)未被傳染的人數(shù)成正比。即；(2) 一人得病后，經(jīng)久不愈，并在傳染期內(nèi)不會(huì)死亡。由以上假設(shè)可得微分方程 (2.2)這是變量分離方程，用分離變量法可求得其解為 (2.3)其圖形如下圖2-1所示模型 (2.2) 可以用來預(yù)報(bào)傳染較快的疾病前期傳染病高峰到來的時(shí)詢。醫(yī)學(xué)上稱為傳染病曲線，它表示傳染病人的增加率與時(shí)間的關(guān)系，如圖2-2所示。由 (2.3)式可得 （2.4)再求二階導(dǎo)數(shù)，并令，可解得極大點(diǎn)為 (2.5)從 (2.5) 式可以看出，當(dāng)傳染病強(qiáng)度k或人口總數(shù)n增加時(shí)，都將變小，即傳染病高峰來得快。這與實(shí)際情況吻合。同時(shí)，如果知道了傳染率k(k由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)得到)，即可預(yù)報(bào)傳染病高峰到

5、來的時(shí)間，這對(duì)于預(yù)防傳染病是有益處的。模型 (2.2) 的缺點(diǎn)是：當(dāng)t時(shí)，由(2.3)式可知i(t)n，即最后人人都要得病。這顯然與實(shí)襪情況不符。造成這個(gè)結(jié)果的原因是假設(shè) (2) 中假設(shè)一人得病后經(jīng)久不愈，也不會(huì)死亡。為了得到與實(shí)際情況更吻合的模型，必須修改假設(shè) (2) 。實(shí)際上不是每個(gè)人得病后都會(huì)傳染別人，因?yàn)槠渲幸徊糠輹?huì)被隔離，還有由于醫(yī)治和人的身抵抗力會(huì)痊愈，有的人會(huì)死亡從而也就不再會(huì)傳染給別人了。因此必須對(duì)模型作進(jìn)一步的修改，建立新的模型。三. 模型的進(jìn)一步完善從上面的分析我們看到模型 (2.2) 的假設(shè) (2) 是不合理的。即不可能一人得病后會(huì)經(jīng)久不愈，必有一部份人因醫(yī)治或自身的免疫

6、力，或是被隔離，或是死去而成為不會(huì)再繼續(xù)傳染給別人的第三類人。因此我們把人群分成三類：第一類由能夠把疾病傳染給別人的那些傳染者組成的。用 I(t) 表示 t 時(shí)刻第一類人數(shù)。第二類是由并非傳染者但能夠得病而成為傳染者的那些人組成的，用 S(t) 表示 t 時(shí)刻第二類人數(shù)。第三類包括患病后死去的人，病愈后具有長期免疫力的人，以及在得病后被隔離起來的人。用R(t) 表示 t 時(shí)刻第三類人數(shù)。假設(shè)疾病傳染服從下列法則：(1) 在所考慮的時(shí)期內(nèi)人口總數(shù)保持在固定水平N，即不考慮出生及其他原因引起的死亡，以及人口的遷入遷出的情況。(2) 易受傳染者人數(shù)S(t)的變化率正比于第一類的人數(shù)I(t)與第二類人

7、粉S(t)的乘積。(3) 由第一類向第三類轉(zhuǎn)變的速度與第一類的人數(shù)成正比。在這三條假設(shè)情況下可得如下微分方程： (2.6)其中r、為比例常數(shù)，r為傳染率，為排除率。由方程(2.6)的三個(gè)方程相加得 則 故 因此只要求出 S(t)、I(t) 即可求出 R(t) 。方程組 (2.6) 的第一個(gè)和第二個(gè)方程與 R(t) 無關(guān)。因此，由 (2.7)得 (2.8)積分得 由初始條件：當(dāng) 并記 代入上式可確定常數(shù) 最后得 (2.9)下面我們討論積分曲線 (2.9) 的性質(zhì)，由(2.8)知 所以當(dāng)S時(shí)，I(S) 是S的增函數(shù)，S時(shí)，I(S) 是S的減函數(shù)。又有I(0)=， 由連續(xù)函數(shù)的中間值定理及單調(diào)性知，

8、存在唯一點(diǎn)，使得, 而當(dāng) 時(shí)，I(S)0 。由 (2.7) 知I=0時(shí)，所以為方程組 (2.7) 的平衡點(diǎn)。當(dāng) 時(shí)，方程(2.9)的的圖形如圖2-3。當(dāng)t由變到 時(shí)，點(diǎn)(S(t)，I(t)沿曲線 (2.9) 移動(dòng)，并沿S減少的方向移動(dòng)，因?yàn)?S(t) 隨時(shí)間的增加而單調(diào)減少。因此，如果小于，則 I(t) 單調(diào)減少到零，S(t) 單調(diào)減少到。所以，如果為數(shù)不多的一群傳染者分散在居民中，且，則這種病會(huì)很快被消滅。如果，則隨著 S(t) 減少到時(shí)，I(t) 增加，且當(dāng)S=時(shí)，I(t) 達(dá)到最大值。當(dāng)S(t) 時(shí) I(t) 才開始減少。由上分析可以得出如不結(jié)論：只有當(dāng)居民中的易受傳染者的人數(shù)超過閾值

9、時(shí)傳染病才會(huì)蔓延。用一般常識(shí)來檢驗(yàn)上面的結(jié)論也是符合的。當(dāng)人口擁擠，密度高，缺少應(yīng)有的科學(xué)文化知識(shí)，缺乏必要的醫(yī)療條件，隔離不良而排除率低時(shí)，傳染病會(huì)很快蔓延；反之，人口密度低，社會(huì)條件好，有良好的醫(yī)療條件和較好的管理而排除率高時(shí)，則傳染病在有限范圍內(nèi)出現(xiàn)會(huì)很快被消滅。傳染病學(xué)中的閾值定理 設(shè)，且假設(shè)同1相比是小量。并設(shè)最初傳染者人數(shù)很小，則最終患病人數(shù)為2r。即是易受傳染者的人數(shù)最初比閾值高多少，那么最終就會(huì)比閾值低多少。這就是有名的傳染病閾值定理。生物數(shù)學(xué)家Kermack和Mekendrick在1927年首先證明了這個(gè)定理(證明從略)根據(jù)閾值定理就可以由起初易受傳染者的人數(shù)來估計(jì)最終患病的

10、人數(shù)。這定理解釋了研究人員長期以來難以解釋的為什么對(duì)于某一民族或地區(qū)，某種傳染病傳播時(shí)，每次所涉及的人數(shù)大體上是一常數(shù)的現(xiàn)象。在傳染病發(fā)生的過程中，不可能準(zhǔn)確地調(diào)查每一天或每一星期的得病人數(shù)。因?yàn)橹挥心切﹣磲t(yī)院就醫(yī)者才能被人知道他們得了病，并把他們隔離起來防止傳染。因此，統(tǒng)計(jì)的記錄是每一天或星期新排除者的人數(shù)，而不是新得病的人數(shù)。所以，為了把數(shù)學(xué)模型所預(yù)示的結(jié)果同疾病的實(shí)際情況進(jìn)行比較，必須解出(2.6)中的第三個(gè)方程。 因?yàn)?所以 從而有 (2.10)方程 (2.10) 雖是可分離變量的方程，但是不能用顯式求解，如果傳染病不嚴(yán)重，則R/是小量，取泰勒級(jí)數(shù)前三項(xiàng)有 從而 其解 其中 因此 (2.11)方程 (2.11) 在 平面上定義了一條對(duì)稱鐘形曲線，稱為疾病傳染曲線。疾病傳染曲線很好地說明了實(shí)際發(fā)生的傳染病的情況：每天報(bào)告的新病案的數(shù)目逐漸上升到峰值，然后又減少下來。Kermak和Mekendrick把 (2.11) 得到的值， 同取自1905年下半年至1906年上半年在印度孟買發(fā)生的瘟疫資料進(jìn)行比較，他們假設(shè) 其中t按星期計(jì)，在圖2-4中的實(shí)際數(shù)字(圖中用“.”表示)同理論曲線非常一致。這就表明模型(2.6)是在