線性方程組解的結(jié)構(gòu)

1、-1- -2-其通解的結(jié)構(gòu)如何其通解的結(jié)構(gòu)如何?如何寫出其向量形式的通解如何寫出其向量形式的通解?齊次線性方程組齊次線性方程組0 Ax解的結(jié)構(gòu)解的結(jié)構(gòu)本章以向量為工具討論線性方程組解的結(jié)構(gòu)本章以向量為工具討論線性方程組解的結(jié)構(gòu)主要內(nèi)容主要內(nèi)容:非齊次線性方程組非齊次線性方程組 Ax解的結(jié)構(gòu)解的結(jié)構(gòu)0 Ax如果當齊次線性方程組如果當齊次線性方程組有無窮多解時有無窮多解時,問題問題:1. Ax2.如果當非齊次線性方程組如果當非齊次線性方程組有無窮多解時有無窮多解時,其通解的結(jié)構(gòu)如何其通解的結(jié)構(gòu)如何?如何寫出其向量形式的通解如何寫出其向量形式的通解?-3-對于對于方程組方程組)0( bbxAnm )

2、()()()()1(ArArArAr 無解無解有解有解nArAr )()()2(有惟一解有惟一解nArAr )()()3(有無限多解有無限多解對于對于方程組方程組0 xAnmnAr )(只有零解只有零解)(nAr 有非零解即有無限多解有非零解即有無限多解-4- -5-記記 Ax = 0 的解集為的解集為:0|)( xARxANnmn(1) 1.解向量解向量:, 0 A滿足滿足若若0 AX是方程組是方程組則稱則稱 的一個解向量的一個解向量.2.解向量的性質(zhì)解向量的性質(zhì):0, 0,2121 AA滿足滿足如果如果0)(2121 AAA則則(2) , 0 A滿足滿足若若0)(, kAkARk有有則對于

3、則對于不妨不妨設(shè)設(shè)t ,21是是 N(A) 的最大無關(guān)組的最大無關(guān)組(稱為基礎(chǔ)解系稱為基礎(chǔ)解系)則則:由由(1),(2)可知可知ttkkkx 2211( 取任意實數(shù)取任意實數(shù))ik的通解。的通解。是方程組是方程組0 AX-6- 0252 062 420832 03 2 543215421543215421xxxxxxxxxxxxxxxxxx通過下面的例子通過下面的例子, 來解決以上問題來解決以上問題例例1問題問題:對于給定的方程組如何求其基礎(chǔ)解系對于給定的方程組如何求其基礎(chǔ)解系?BAr 0000000000541003102125121620428312131021解解: 5435421543

4、2xxxxxxx-7- 3524323123211 54 32kxkxkkxkxkkkx 54354215432xxxxxxx332211105-030140100012 kkkx321, 是解嗎是解嗎?321, 線性無關(guān)嗎線性無關(guān)嗎?任一解都任一解都 可由可由 表示嗎表示嗎?321, 基礎(chǔ)解系所含向量的個數(shù)基礎(chǔ)解系所含向量的個數(shù) = ?321, 是基礎(chǔ)解系嗎是基礎(chǔ)解系嗎?352412,kxkxkx 令自由變量為任意實數(shù)令自由變量為任意實數(shù) 說明說明: :1.1.基礎(chǔ)解系不惟一基礎(chǔ)解系不惟一2.2.但所含向量的但所含向量的個數(shù)唯一且等于個數(shù)唯一且等于n-R(A)n-R(A)-8-齊次方程組解的

5、結(jié)構(gòu)定理齊次方程組解的結(jié)構(gòu)定理齊次方程組齊次方程組 的基礎(chǔ)解系所含向量個數(shù)為的基礎(chǔ)解系所含向量個數(shù)為0 XAnm)(2211Rkkkkxirnrn )(ARrrn rn ,21設(shè)一個基礎(chǔ)解系為設(shè)一個基礎(chǔ)解系為:則通解為則通解為:例例設(shè)階矩陣的秩為，設(shè)階矩陣的秩為， 的每行元素之和的每行元素之和為零，寫出的通解為零，寫出的通解解：解：0 XAnn的基礎(chǔ)解系所含向量個數(shù)為的基礎(chǔ)解系所含向量個數(shù)為1)( ARnT)1 , 1 , 1( 而又而又00 的解向量且的解向量且是方程組是方程組AX則通解為：則通解為：RkkkT ,)1 , 1 , 1( -9-例例2設(shè)設(shè) , 是是 的的1)( nArnm21

6、, 0 Ax兩個不同的解向量兩個不同的解向量, k 取任意實數(shù)取任意實數(shù), 則則 Ax = 0 的通解是的通解是)(D)(C)(B)(A)212121 kkkk例例3設(shè)設(shè) ,證明證明OBAlnnm nBrAr )()(證證,21lB 記記則由則由), 1(0liAOABi 說明說明), 1(lii 都是都是0 Ax的解的解)()(,21ArnANrrl 因此因此nBrAr )()(移項移項-10-例例4.已知已知)(mnAmn 矩陣矩陣的列向量組是齊次線性的列向量組是齊次線性方程組方程組0 MX的基礎(chǔ)解系的基礎(chǔ)解系, B是是m階可逆矩陣階可逆矩陣,試試證證:AB的列向量組也是齊次線性方程組的列

7、向量組也是齊次線性方程組0 MX的基礎(chǔ)解系的基礎(chǔ)解系.證明證明:00 MABMA則則AB的列向量組是齊次線性方程組的列向量組是齊次線性方程組0 MX的解向的解向量量個向量個向量的基礎(chǔ)解系含的基礎(chǔ)解系含又又mMX0 個向量且有個向量且有的列向量組含的列向量組含而而mABmARABR )()(由條件可知由條件可知A的列向量組線性無關(guān)且含的列向量組線性無關(guān)且含m個向量個向量所以所以AB的列向量組線性無關(guān)的列向量組線性無關(guān), 即是方程組即是方程組0 MX的基礎(chǔ)解系的基礎(chǔ)解系.-11- -12-)1(. XAnm)2(.0 XAnm( ) 設(shè)設(shè) 都是都是(1)的解的解,則則21, 21 x是是(2)的解

8、的解.( ) 設(shè)設(shè) 是是(1)的解的解, 是是(2)的解的解,則則 仍是仍是(1)的解的解. x設(shè)設(shè) 是是(1)的一個解的一個解(固定固定), 則對則對(1)的任一解的任一解 x x是是 (2)的解的解,從而存在從而存在 使得使得ikrnrnkkkx 2211 rnrnkkkx2211由此得由此得:1.解向量解向量: 如果向量如果向量 nmA滿足滿足的一個解向量的一個解向量為方程組為方程組則稱則稱 XAnm2.性質(zhì)性質(zhì):）的基礎(chǔ)解系，）的基礎(chǔ)解系，為（為（其中其中2,21rn -13-非齊次方程組解的結(jié)構(gòu)定理非齊次方程組解的結(jié)構(gòu)定理 的一特解解的一特解解, 是是設(shè)設(shè) )(2211Rkkkkxi

9、rnrn XAnm非齊次方程組非齊次方程組則當非齊次線性方程組有無窮多解時其通解為則當非齊次線性方程組有無窮多解時其通解為:例例5. 3)(,46 ARaAij設(shè)設(shè) AX是非齊次方程組是非齊次方程組，已知已知321的三個解向量的三個解向量 T5 , 4 , 3 , 21 T4 , 3 , 2 , 132 的通解。的通解。求方程組求方程組 AX解解:043)( AXAR的基礎(chǔ)解系的基礎(chǔ)解系 含一個向量含一個向量03 ,25, 2 ,232321 T RkkXTT ,6 , 5 , 4 , 35 , 4 , 3 , 2通解為：通解為：-14- .2132, 13, 0432143214321xxx

10、xxxxxxxxx 2132111311101111A,00000212100211011 212 2143421xxxxx例例6故方程組有無窮多解故方程組有無窮多解可見可見, 42)()( ArAr解解 444322421212 21xxxxxxxxx 00120100112121214321kkxxxx).,(21Rkk -15-例例7)(21)A(212211 kk121211)()B( kk)(21)()C(2121211 kk)()D(2112211 kk21, 設(shè)設(shè) 是非齊次是非齊次 Ax = b 的兩個不同的解的兩個不同的解21, 其對應(yīng)的齊次方程組的基礎(chǔ)解系其對應(yīng)的齊次方程組的

11、基礎(chǔ)解系, 則則 Ax = b 的通解是的通解是(多選多選)-16-例例8.已知方程組已知方程組 033321321321321xaxxaxxxxxx問問:a為何值時為何值時,方程組有唯一解方程組有唯一解?無解無解?無窮多解無窮多解?有無窮多解時求出通解有無窮多解時求出通解.解解:,03132111時，方程組有唯一解時，方程組有唯一解當當 aa30 aa且且即即時，時，當當0 a 000012100301030130321111r所以有無窮多解所以有無窮多解, RkkXTT ,0 , 1 , 01 , 2 , 3其通解：其通解：-17-時，時，當當3 a 3000111011110331333

12、21111r因為系數(shù)矩陣的秩不等于增廣矩陣的秩因為系數(shù)矩陣的秩不等于增廣矩陣的秩,所以方程組無解所以方程組無解.例例9.bAX 組組是四元非齊次線性方程是四元非齊次線性方程設(shè)設(shè)321, 的三個的三個解向量解向量, TTAr3 , 2 , 1 , 0,4 , 3 , 2 , 1, 3)(321 且且的通解：的通解：則線性方程組則線性方程組bAXRc , TTcA1 , 1 , 1 , 14 , 3 , 2 , 1)( TTcB3 , 2 , 1 , 04 , 3 , 2 , 1)( TTcC5 , 4 , 3 , 24 , 3 , 2 , 1)( TTcD6 , 5 , 4 , 34 , 3 ,

13、 2 , 1)( C-18-例例10設(shè)線性方程組設(shè)線性方程組 0302022321321321xxxxxxxxx 的系數(shù)矩陣為的系數(shù)矩陣為A,存在存在 , 0033 ABbBij且且 求求解解:, 00 ABB且且則則B的列向量組為的列向量組為AX=0的解向量的解向量,0有非零解有非零解 AX10 A即即例例11的導出的導出是非齊次是非齊次矩陣，矩陣，是是設(shè)設(shè)bAXAXnmA 0齊次線性方程組齊次線性方程組,則下列結(jié)論正確的是則下列結(jié)論正確的是有唯一解有唯一解僅有零解，則僅有零解，則）（bAXAXA 0有無窮多解有無窮多解有非零解，則有非零解，則）（bAXAXB 0僅有零解僅有零解則則有無窮多

14、解有無窮多解）（0, AXbAXC有非零解有非零解則則有無窮多解有無窮多解）（0, AXbAXDD-19-例例2已知方程組已知方程組 033321321321321xaxxaxxxxxx問為何值時，方程組有唯一解，無解，無窮多個解？問為何值時，方程組有唯一解，無解，無窮多個解？在方程組有無窮多個解時求出通解在方程組有無窮多個解時求出通解（考試題）（考試題）解：解：時，時，當當03132111 aa方程組有唯一解方程組有唯一解即即30 aa且且當時當時當時當時-20-思考題思考題:1.求求: 204131210131431104122.設(shè)設(shè)A為為3階方陣階方陣,且且162, 4 AAA求求3.如果非齊次方程組的增廣矩陣經(jīng)過初等行變換化為如果非齊次方程組的增廣矩陣經(jīng)過初等