第3章 平穩(wěn)線性ARMA模型(2)--AR模型

1、本節(jié)結(jié)構(gòu) 方法性工具 線性過程的因果性和可逆性 AR模型 13.1 方法性工具 差分運算 滯后算子 線性差分方程在正式討論線性過程之前，我們首先給出相應(yīng)的準備工具，介紹延遲算子和求解線性差分方程，這些工具會使得時間序列模型表達和分析更為簡潔和方便2差分運算 一階差分 階差分 步差分pk1tttxxx111tptptpxxxkttkxx3滯后算子 延遲算子類似于一個時間指針，當(dāng)前序列值乘以一個延遲算子，就相當(dāng)于把當(dāng)前序列值的時間向過去撥了一個時刻 記B為延遲算子，有 1,pxBxtppt4延遲算子的性質(zhì) ，其中 10B為任意常數(shù)cxcxBcxcBttt,)()(111)(ttttyxyxBntt

2、nxxBiniinnnBCB0) 1()1 ()!( !ininCin5用延遲算子表示差分運算 階差分 步差分pkitpiipptptpxCxBx0) 1()1 (tkkttkxBxx)1 ( 6線性差分方程 線性差分方程 齊次線性差分方程)(2211thzazazazptpttt02211ptptttzazazaz7齊次線性差分方程的解 特征方程 特征方程的根稱為特征根，記作 齊次線性差分方程的通解 不相等實數(shù)根場合 有相等實根場合 復(fù)根場合02211ppppaaap,21tpptttcccz2211tpptddtddtcctctccz111121)(tpptititttccececrz33

3、21)(8非齊次線性差分方程的解 非齊次線性差分方程的特解 使得非齊次線性差分方程成立的任意一個解 非齊次線性差分方程的通解 齊次線性差分方程的通解和非齊次線性差分方程的特解之和tttzzz tz )(2211thzazazazptpttt tz910線性平穩(wěn)時間序列分析 在時間序列的統(tǒng)計分析中，平穩(wěn)序列是一類重要的隨機序列。在這方面已經(jīng)有了比較成熟的理論知識，最常用的是ARMA（Autoregressive Moving Average）序列。用ARMA模型去近似地描述動態(tài)數(shù)據(jù)在實際應(yīng)用中有許多優(yōu)點，例如它是線性模型，只要給出少量參數(shù)就可完全確定模型形式；另外，便于分析數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)和內(nèi)在性質(zhì)，

4、也便于在最小方差意義下進行最佳預(yù)測和控制。本章將討論ARMA模型的基本性質(zhì)和特征，這是時間序列統(tǒng)計分析中的重要理論基礎(chǔ)。 1112 定理定理3.1 定義（3.1）中的線性過程是平穩(wěn)序列，且 是均方收斂的。jtjjG 133.1.2 線性過程的因果性和可逆性 在應(yīng)用時間序列分析去解決實際問題時，所使用的線性過程是因果性因果性的，即： 14 設(shè) 為一步延遲算子，則 ， ，(3.4)可表為： 其中， ，今后將把 看作對 進行運算的算子，又可作為 的函數(shù)來討論。 BjttjXXB0j0)(jjjBGBG)(BGtB15 在理論研究和實際問題的處理時，通常還需要用t時刻及t時刻以前的 來表示白噪聲 ，即

5、 ), 1 , 0(jXjtt16173.2 ARMA模型的性質(zhì) AR模型（Auto Regression Model） MA模型（Moving Average Model） ARMA模型（Auto Regression Moving Average model）18193.2.1一階自回歸過程AR(1) 通常地，由于經(jīng)濟系統(tǒng)慣性的作用，經(jīng)濟時間序列往往存在著前后依存關(guān)系。最簡單的一種情形就是變量當(dāng)前的取值主要與其前一時期的取值狀況有關(guān)，用數(shù)學(xué)模型來描述這種關(guān)系就是下面介紹的一階自回歸模型。2021 在一階自回歸AR(1)模型中，保持其平穩(wěn)性的條件是對應(yīng)的特征方程 的根的絕對值必須小于1，即滿

6、足 。 對于平穩(wěn)的AR(1)模型，經(jīng)過簡單的計算易得 0122233.2.2 二階自回歸過程AR(2) 當(dāng)變量當(dāng)前的取值主要與其前兩時期的取值狀況有關(guān)，用數(shù)學(xué)模型來描述這種關(guān)系就是如下的二階自回歸模型AR(2)： 引入延遲算子 的表達形式為：B2425 下面利用特征方程的根與模型參數(shù) 的關(guān)系，給出AR(2) 模型平穩(wěn)的 的取值條件（或值域）。 12, 12, 12(1)(1)026 (3.16)和(3.17)式是保證AR(2)模型平穩(wěn)，回歸參數(shù) 所應(yīng)具有的條件。反之，若(3.16)和(3.17)式成立，則特征方程 特征方程的根必落在單位圓內(nèi)。 12,2120 27 滿足條件(3.16)和(3.

7、17)式給出的區(qū)域 稱為平穩(wěn)域。對于AR(2)模型平穩(wěn)域是一個三角形區(qū)域，見下圖陰影部分。 12212,1,1 282930 例例3.2 設(shè)AR(2)模型： 試判別 的平穩(wěn)性。 解：解：根據(jù)上述關(guān)于平穩(wěn)條件的討論，可以通過兩種徑進行討論： 120.70.1ttttXXXtX3132 下面我們討論序列的統(tǒng)計特性，關(guān)于平穩(wěn)的二階自回歸模型AR(2)模型： AR模型的定義 具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為 階自回歸模型，簡記為 特別當(dāng) 時，稱為中心化 模型tsExtsEVarExxxxtsstttptptpttt, 0, 0)(,)(0)(0222110，p)(pAR00)(pAR33 AR(P)序列中心化變

8、換 稱 為 的中心化序列 ，令p101ttxytytx34自回歸系數(shù)多項式 引進延遲算子，中心化 模型又可以簡記為 自回歸系數(shù)多項式)(pARttxB)(ppBBBB2211)(35AR模型平穩(wěn)性判別 判別原因 AR模型是常用的平穩(wěn)序列的擬合模型之一，但并非所有的AR模型都是平穩(wěn)的 判別方法 單位根判別法 平穩(wěn)域判別法36例3.1:考察如下四個模型的平穩(wěn)性1(1)0.8tttxx1(2)1.1tttxx 12(3)0.5ttttxxxttttxxx115 . 0)4(37例3.1平穩(wěn)序列時序圖1(1)0.8tttxx12(3)0.5ttttxxx38例3.1非平穩(wěn)序列時序圖1(2)1.1ttt

9、xx ttttxxx115 . 0)4(39AR模型平穩(wěn)性判別方法 特征根判別 AR(p)模型平穩(wěn)的充要條件是它的p個特征根都在單位圓內(nèi) 根據(jù)特征根和自回歸系數(shù)多項式的根成倒數(shù)的性質(zhì)，等價判別條件是該模型的自回歸系數(shù)多項式的根都在單位圓外 平穩(wěn)域判別 平穩(wěn)域,21單位根都在單位圓內(nèi)p40AR(1)模型平穩(wěn)條件 特征根 平穩(wěn)域141AR(2)模型平穩(wěn)條件 特征根 平穩(wěn)域2424221122211111,12221，且42例3.1平穩(wěn)性判別8 . 010.81 . 111.1 211i212i221210.5,0.5,1.5 23112312221210.5,1.5,0.5 模型特征根判別平穩(wěn)域判

10、別結(jié)論(1)平穩(wěn)(2)非平穩(wěn)(3)平穩(wěn)(4)非平穩(wěn)43平穩(wěn)AR模型的統(tǒng)計性質(zhì) 均值 方差 協(xié)方差 自相關(guān)系數(shù) 偏自相關(guān)系數(shù)44均值 如果AR(p)模型滿足平穩(wěn)性條件，則有 根據(jù)平穩(wěn)序列均值為常數(shù)，且 為白噪聲序列，有 推導(dǎo)出p101)(110tptpttxxEExTtEExtt,0)(,t45方差 平穩(wěn)AR模型的傳遞形式 兩邊求方差得函數(shù)為GreenGGxVarjjjt,)(202jtjjtGx046例3.2:求平穩(wěn)AR(1)模型的方差 平穩(wěn)AR(1)模型的傳遞形式為 Green函數(shù)為 平穩(wěn)AR(1)模型的方差itiitiittBBx01011)(1, 1 , 0,1jGjj212202102

11、1)()(jjtjjtVarGxVar47協(xié)方差函數(shù) 在平穩(wěn)AR(p)模型兩邊同乘 ，再求期望 根據(jù) 得協(xié)方差函數(shù)的遞推公式)()()()(11kttktptpkttkttxExxExxExxEktx1,k0)(kttxE1,kpkpkkk221148例3.3:求平穩(wěn)AR(1)模型的協(xié)方差 遞推公式 平穩(wěn)AR(1)模型的方差為 協(xié)方差函數(shù)的遞推公式為0111kkk212011,12121kkk49例3.4:求平穩(wěn)AR(2)模型的協(xié)方差 平穩(wěn)AR(2)模型的協(xié)方差函數(shù)遞推公式為21)1)(1)(1 (12211201122121220kkkk，50自相關(guān)系數(shù) 自相關(guān)系數(shù)的定義 平穩(wěn)AR(P)模型

12、的自相關(guān)系數(shù)遞推公式0kk1122kkkpkp 51常用AR模型自相關(guān)系數(shù)遞推公式 AR(1)模型 AR(2)模型0,1kkk2110, 1221121kkkkkk52AR模型自相關(guān)系數(shù)的性質(zhì) 拖尾性 呈復(fù)指數(shù)衰減1( )pkiiikc不能恒等于零pccc,211( )pkiiikc053例3.5:考察如下AR模型的自相關(guān)圖ttttttttttttttxxxxxxxxxx2121115 . 0)4(5 . 0)3(8 . 0)2(8 . 0) 1 (54例3.5 自相關(guān)系數(shù)按復(fù)指數(shù)單調(diào)收斂到零1(1)0.8tttxx55例3.5:1(2)0.8tttxx 56 例3.5: 自相關(guān)系數(shù)呈現(xiàn)出“偽

13、周期”性12(3)0.5ttttxxx57例3.5: 自相關(guān)系數(shù)不規(guī)則衰減12(4)0.5ttttxxx 58偏自相關(guān)系數(shù) 定義對于平穩(wěn)AR(p)序列，所謂滯后k偏自相關(guān)系數(shù)就是指在給定中間k-1個隨機變量 的條件下，或者說，在剔除了中間k-1個隨機變量的干擾之后， 對 影響的相關(guān)度量。用數(shù)學(xué)語言描述就是121,ktttxxxktxtx2,)()(11ktktktktttxxxxxExExExxExEkttktt59偏自相關(guān)系數(shù)的計算 滯后k偏自相關(guān)系數(shù)實際上就等于k階自回歸模型第個k回歸系數(shù)的值。02211202112112011kkkkkkkkkkkkkkkkk)()(2ktktktktttkkxExExExxExE60偏自相關(guān)系數(shù)的截尾性 AR(p)模型偏自相關(guān)系數(shù)P階截尾pkkk,061例3.5續(xù):考察如下AR模型的偏自相關(guān)圖ttttttttttttttxxxxxxxxxx2121115 . 0)4(5 . 0)3(8 . 0)2(8 . 0) 1 (62例