全等三角形習(xí)題選(含答案)

1、經(jīng)典三角形證明題選講（含答案）三角形輔助線做法線段垂直平分線，常向兩端把線連。 要證線段倍與半，延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn) 1.已知：AB=4，AC=2，D是BC中點(diǎn)，AD是整數(shù)，求ADADBC1. 證明：延長(zhǎng)AD到E,使DE=AD, 則ADCEBD BE=AC=2 在ABE中,AB-BE<AE<AB+BE ，10-2<2AD<10+2 4<AD<6又AD是整數(shù),則AD=5思路點(diǎn)撥：三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。2.已知：BC=DE，B=E，C=D，F(xiàn)是CD中點(diǎn)，求證：1=2ABCDEF212.證明：連接BF和EF. BC=ED,CF=DF,BCF=EDF BCFED

2、F(邊角邊). BF=EF,CBF=DEF. 連接BE.在BEF中,BF=EF，EBF=BEF又 ABC=AED， ABE=AEB. AB=AE在ABF和AEF中，AB=AE,BF=EF,ABF=ABE+EBF=AEB+BEF=AEF. ABFAEF1=2.思路點(diǎn)撥：解答本題的關(guān)鍵是能夠想到證明AB=AE,而AB、AE在同一個(gè)ABE中，可利用ABE=AEB來(lái)證明.同一三角形中線段等，可用等角對(duì)等邊BACDF21E3.已知：1=2，CD=DE，EF/AB，求證：EF=AC證明：過(guò)E點(diǎn)，作EG/AC，交AD延長(zhǎng)線于G則DEG=DCA，DGE=2又CD=DEADCGDE（AAS）EG=ACEFABD

3、FE=11=2DFE=DGEEF=EGEF=AC思路點(diǎn)撥：角平分線平行線，等腰三角形來(lái)添。4.已知：AD平分BAC，AC=AB+BD，求證：B=2C證明： 延長(zhǎng)AC到E使CE=CD，連接 ED，則CDE=E AB=AC+CD AB=AC+CE=AE又BAD=EAD，AD=AD BADEAD B=EACB=E+CDE，ACB=2B 方法二在AC上截取AE=AB，連接EDAD平分BACEAD=BAD又AE=AB，AD=ADAEDABD（SAS）AED=B，DE=DBAC=AB+BD ，AC=AE+CE CE=DEC=EDCAED=C+EDC=2C B=2C思路點(diǎn)撥：線段等于線段和，理應(yīng)截長(zhǎng)或補(bǔ)短5

4、.已知：AC平分BAD，CEAB，B+D=180°，求證：AE=AD+BE證明：過(guò)C作CFAD交AD的延長(zhǎng)線于F.在CFA和CEA中 CFACEA90°又CAFCAE， AC=ACCFACEA ， AEAFADDF， CE=CFBADC180°，F(xiàn)DCADC180° BFDCE在CEB和CFD中 ，CE=CF,CEBCFD90°, BFDCECEBCFDBEDF AEADBE思路點(diǎn)撥：圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。 也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)6. 如圖，四邊形ABCD中，ABDC，BE、CE分別平分ABC、BCD，且點(diǎn)E在AD上。求證：B

5、C=AB+DC。證明:在BC上截取BF=BA,連接EF. ABE=FBE,BE=BE, ABEFBE(SAS),EFB=A;ABCD, A+D=180°又EFB+EFC=180°, EFC=D;又FCE=DCE,CE=CE, FCEDCE(AAS),FC=CD.BC=BF+FC=AB+CD. 思路點(diǎn)撥：線段等于線段和，理應(yīng)截長(zhǎng)或補(bǔ)短法二：延長(zhǎng)BE交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，易證BC=FC=FD+DC又BCE=FCEBE=FE; 易證ABEDFE AB=FD BC=AB+DC法三：易證BEC=90°,取BC中點(diǎn)F，連接EF,則；FEB=FBE=ABEABEF同理DCEF又

6、F為BC中點(diǎn) E為BC中點(diǎn) BC=AB+DC思路點(diǎn)撥：三角形兩邊有中點(diǎn)，連接可得中位線。梯形一腰有中點(diǎn)，亦可嘗試中位線法四：過(guò)E作EF/AB交BC于點(diǎn)F,則FEB=ABE=FBE EF=BF,同理EF=CF, BF=CF, EF=又EF/AB/DC AE=ED BC=AB+DC思路點(diǎn)撥：角平分線平行線，等腰三角形來(lái)添。7. 已知：AB/ED，EAB=BDE，AF=CD，EF=BC，求證：F=CDCBAFE證明：連接BEABED, ABE=DEB又EAB=BDE ,BE=EBABEDEB，AE=DB又AF=CD,EF=BCAFEDCB，C=F8如圖，在ABC中，BD=DC，1=2，求證：ADBC

7、證明：延長(zhǎng)AD至H交BC于H;BD=DC， DBC=DCB1=2， DBC+1=DCB+2;即ABC=ACB， AB=ACABDACD， BAD=CADADBC思路點(diǎn)撥：中線、垂線、角平分線，三線合一試試看。9如圖，OM平分POQ，MAOP,MBOQ，A、B為垂足，AB交OM于點(diǎn)N求證：OAB=OBA證明：OM平分POQ ，MAOP,MBOQMA=MBMAB=MBAOAM=OBM=90度OAB=90-MAB ，OBA=90-MBAOAB=OBA思路點(diǎn)撥：同一三角形中角相等，可用等邊對(duì)等角10已知：BC=DE，B=E，C=D，F(xiàn)是CD中點(diǎn)，求證：AFCD ABCDEF證明：同2先證出AB=AE,

8、然后連接AC、AD,再證明ABCAED，從而AC=AD, 又F是CD的中點(diǎn)，AFCD11.如圖，在ABC中，已知AB=AC，1=2，求證：BD=DC證明：AB=AC ABC=ACB 又 1=2 DBC=DCB BD=DC12（改編）如圖，在ABC中，已知AB=AC，ADB=ADC，求證：BD=DC提示：將ADB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)BAC得AEC，連接DE,可證出CDE=CED從而CD=CE=BD思路點(diǎn)撥：當(dāng)題中出現(xiàn)等腰三角形時(shí)，可以考慮用旋轉(zhuǎn)的方法打開(kāi)思路，添加輔助線。特別是題中有正方形、等邊三角形、等腰直角三角形時(shí) ，更是如此13如圖，E、F分別為線段AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且DEAC于E，BFAC于

9、F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于點(diǎn)M（1）求證：MB=MD，ME=MF（2）當(dāng)E、F兩點(diǎn)移動(dòng)到如圖的位置時(shí)，其余條件不變，上述結(jié)論能否成立？若成立請(qǐng)給予證明；若不成立請(qǐng)說(shuō)明理由（1）證明：連接BE，DFDEAC于E，BFAC于F，DEC=BFA=90°，DEBF，在RtDEC和RtBFA中，AF=CE，AB=CD，RtDECRtBFA，DE=BF四邊形BEDF是平行四邊形MB=MD，ME=MF；（2）解：上述結(jié)論仍然成立證明如下：連接BE，DFDEAC于E，BFAC于F，DEC=BFA=90°，DEBF，在RtDEC和RtBFA中，AF=CE，AB=CD，RtDE

10、CRtBFA，DE=BF四邊形BEDF是平行四邊形MB=MD，ME=MF 本題也可以用證明兩次三角形全等的方法14已知：如圖，DCAB，且DC=AE，E為AB的中點(diǎn)，（1）求證：AEDEBC（2）觀看圖前，在不添輔助線的情況下，除EBC外，請(qǐng)?jiān)賹懗鰞蓚€(gè)與AED的面積相等的三角形（直接寫出結(jié)果，不要求證明）：(1) 證明：DCAE，且DC=AE，四邊形AECD是平行四邊形。于是知AD=EC，且EAD=BEC。由AE=BE， AEDEBC。（2）解：AEC、ACD、ECD都與AED面積相等。15如圖，ABC中，BAC=90度，AB=AC，BD是ABC的平分線，BD的延長(zhǎng)線垂直于過(guò)C點(diǎn)的直線于E，直

11、線CE交BA的延長(zhǎng)線于F求證：BD=2CE證明： BECE BEF=BEC=90° 在BEF和BEC中 FBE=CBE, BE=BE, BEF=BEC BEFBEC(ASA) EF=EC CF=2CE ABD+F=90°,ACF+F=90° ABD=ACF 在ABD和ACF中 ABD=ACF, AB=AC, BAD=CAF=90° ABDACF(ASA) BD=CF BD=2CE思路點(diǎn)撥：如何發(fā)現(xiàn)哪兩個(gè)三角形全等？可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)來(lái)發(fā)現(xiàn)16、如圖：AE、BC交于點(diǎn)M，F(xiàn)點(diǎn)在AM上，BECF，BE=CF。求證：AM是ABC的中線。證明：BECFE=CFM，EB

12、M=FCMBE=CFBEMCFMBM=CMAM是ABC的中線. 17、AB=AC，DB=DC，F(xiàn)是AD的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)。求證：BF=CF證明：在ABD與ACD中AB=AC ，BD=CD， AD=ADABDACDBAD=CADBDF=FDC在ABF與ACF中AB=AC,BAD=CAD,AF=AFABFACF,BF=CF本題也可利用線段的垂直平分線定理來(lái)證，該證法更簡(jiǎn)潔18、如圖：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求證：AF=DE。證明：AB=DC AE=DF CE=FB CE+EF=EF+FBABECDF DCB=ABFAB=DC BF=CEABFCDEAF=DE本題亦可用平行四邊形的知識(shí)來(lái)證

13、明19. .公園里有一條“Z”字形道路ABCD，如圖所示，其中ABCD，在AB，CD，BC三段路旁各有一只小石凳E，F(xiàn)，M，且BECF，M在BC的中點(diǎn)，試說(shuō)明三只石凳E，F(xiàn)，M恰好在一條直線上.證明：AB平行CD（已知）B=C（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）M在BC的中點(diǎn)（已知）BM=CM（中點(diǎn)定義）在BME和CMF中 BE=CF（已知） B=C（已證） BM=CM（已證）BMECMF（SAS）EMB=FMC（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）EMF=EMB+BMF=FMC+BMF=BMC=180°（等式的性質(zhì)）E，M，F(xiàn)在同一直線上思路點(diǎn)撥：要證明E、M、F三點(diǎn)在同一條直線上，只需證明EMF=18

14、0°20已知：點(diǎn)A、F、E、C 在同一條直線上， AFCE，BEDF，BEDF求證：ABECDF證明：AF=CEAF+EF=CE+EFAE=CFBE/DFBEA=DFC又BE=DF ABECDF（SAS）21已知：如圖，AB=AC，BDAC，CEAB，垂足分別為D、E，BD、CE相交于點(diǎn)F，ACBDEF求證：BE=CD證明：連接BC AB=AC， EBC=DCB BDAC，CEAB BEC=CDB BC=CB (公共邊) EBCDCB BECD也可證CEABDA，從而AE=AD,又AB=AC，AB-AE=AC- AD， BECD22 . 已知：如圖, ACBC于C , DEAC于E

15、, ADAB于A , BC =AE若AB = 5 ,DCBAE求AD 的長(zhǎng)？解：C=E=90度B=EAD=90度-BACBC=AEABCDAEAD=AB=523如圖：AB=AC，MEAB，MFAC，垂足分別為E、F，ME=MF。求證：MB=MC證明AB=AC ,B=CMEAB，MFAC MEB=MFC=90°又ME=MF，BEMCFMMB=MC24在ABC中，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且于，于.(1)當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證： ；(2)當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，說(shuō)明理由.（1）ADC=ACB=BEC=90°，CAD+AC

16、D=90°，BCE+CBE=90°，ACD+BCE=90°CAD=BCEAC=BC，ADCCEBADCCEB，CE=AD，CD=BEDE=CE+CD=AD+BE（2）ADC=CEB=ACB=90°，ACD=CBE又AC=BC，ACDCBECE=AD，CD=BEDE=CECD=ADBE25如圖所示，已知AEAB，AFAC，AE=AB，AF=AC。求證：（1）EC=BF；（2）ECBFAEBMCF（1）AEAB，AFAC，BAE=CAF=90°，BAE+BAC=CAF+BAC，即EAC=BAF，在ABF和AEC中，AE=AB，EAC=BAF，AF=

17、AC，ABFAEC（SAS），EC=BF；（2）如圖，根據(jù)（1），ABFAEC，AEC=ABF，AEAB，BAE=90°，AEC+ADE=90°，ADE=BDM（對(duì)頂角相等），ABF+BDM=90°，在BDM中，BMD=180°-ABF-BDM=180°-90°=90°，ECBF 26如圖：BEAC，CFAB，BM=AC，CN=AB。求證：（1）AM=AN；（2）AMAN。證明：（1）BEAC，CFABABM+BAC=90°，ACN+BAC=90°ABM=ACNBM=AC，CN=AB ABMNCAAM=A

18、N（2）ABMNAC，BAM=NN+BAN=90° BAM+BAN=90°即MAN=90° AMAN也可先證明BFMCFA得BF=CF,FM=FA 又CN=AB AB- BF= CN- CFFA= FN,FM=FA= FN, 又AFM=AFN=90°AM=AN,3=4=45°AMAN27如圖,已知A=D,AB=DE,AF=CD,BC=EF. 求證:BCEF證明：在ABF和CDE中, AB=DE，A=D， AF=CDABFCDE（邊角邊），F(xiàn)B=CE在四邊形BCEF中，F(xiàn)B=CE ，BC=EF四邊形BCEF是平行四邊形， BCEF29、 如圖,已

19、知: AD是BC上的中線 ,且DF=DE求證:BECF證明：AD是ABC的中線 BD=CDDF=DE（已知），BDE=FDC BDEFDC EBD=FCD BECF（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行） 28、已知：如圖，ABCD，DEAC，BFAC，E，F(xiàn)是垂足，ADECBF求證：證明：DEAC，BFAC，DEC=BFA=90°，在RtDEC和RtBFA中，DE=BF，AB=CD，RtDECRtBFA，C=A，ABCDACEDB29、 如圖，已知ACAB，DBAB，ACBE，AEBD，試猜想線段CE與DE的大小與位置關(guān)系，并證明30、 如圖，已知ABDC，ACDB，BECE，求證：AEDE.A

20、BECD證明：AB=DC,AC=DB，BC=BCABCDCB，ABC=DCB又BE=CE，AB=DC ABEDCEAE=DEABCDEF圖9*31如圖9所示，ABC是等腰直角三角形，ACB90°，AD是BC邊上的中線，過(guò)C作AD的垂線，交AB于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，求證：ADCBDE證明：作CG平分ACB交AD于GACB=90°ACG= DCG=45°ACB=90° AC=BCB=BAC=45°B=DCG=ACGCFADACF+DCF=90° ACF+CAF=90°CAF=DCF AC=CB ACG=BACGCBECG=BE

21、DCG=B CD=BDCDG BDEADC=BDE32、已知：D是AB中點(diǎn)，ACB=90°，求證：DABC延長(zhǎng)CD與P，使D為CP中點(diǎn)。連接AP,BPDP=DC,DA=DBACBP為平行四邊形又ACB=90平行四邊形ACBP為矩形AB=CP=1/2AB33.已知：AB=CD，A=D，求證：B=CABCD證明：設(shè)線段AB,CD所在的直線交于E，（當(dāng)AD<BC時(shí)，E點(diǎn)是射線BA,CD的交點(diǎn)，當(dāng)AD>BC時(shí)，E點(diǎn)是射線AB,DC的交點(diǎn)）。則：AED是等腰三角形。AE=DE而AB=CDBE=CE (等量加等量，或等量減等量）BEC是等腰三角形B=C.34.P是BAC平分線AD上一

22、點(diǎn)，AC>AB，求證：PC-PB<AC-ABPDACB在AC上取點(diǎn)E，使AEAB。AEAB APAP EAPBAE，EAPBAPPEPB。PCECPEPC（ACAE）PBPCPBACAB。35.已知ABC=3C，1=2，BEAE，求證：AC-AB=2BE證明：在AC上取一點(diǎn)D，使得角DBC=角CABC=3CABD=ABC-DBC=3C-C=2C；ADB=C+DBC=2C;AB=ADAC AB =AC-AD=CD=BD在等腰三角形ABD中，AE是角BAD的角平分線，AE垂直BDBEAE點(diǎn)E一定在直線BD上，在等腰三角形ABD中，AB=AD，AE垂直BD點(diǎn)E也是BD的中點(diǎn)BD=2BEB

23、D=CD=AC-ABAC-AB=2BE36.已知，E是AB中點(diǎn)，AF=BD，BD=5，AC=7，求DCFAEDCB作AGBD交DE延長(zhǎng)線于GAGE全等BDE AG=BD=5AGFCDF AF=AG=5DC=CF=2 37.（7分）如圖，ABC中，BAC=90度，AB=AC，BD是ABC的平分線，BD的延長(zhǎng)線垂直于過(guò)C點(diǎn)的直線于E，直線CE交BA的延長(zhǎng)線于F求證：BD=2CE證明：CEB=CAB=90°ABCE四點(diǎn)共元AB E=CB EAE=CEECA=EAC 取線段BD的中點(diǎn)G，連接AG，則：AG=BG=DGGAB=ABG而：ECA=GBA (同弧上的圓周角相等）ECA=EAC=GB

24、A=GAB而：AC=ABAECAGBEC=BG=DGBE=2CE38、如圖：DF=CE，AD=BC，D=C。求證：AEDBFC。證明：DF=CE，DF-EF=CE-EF，即DE=CF，在AED和BFC中， AD=BC， D=C ，DE=CF AEDBFC（SAS） 39、（10分）如圖：AE、BC交于點(diǎn)M，F(xiàn)點(diǎn)在AM上，BECF，BE=CF。求證：AM是ABC的中線。證明：BECFE=CFM，EBM=FCMBE=CFBEMCFMBM=CMAM是ABC的中線. 40.已知：如圖所示，ABAD，BCDC，E、F分別是DC、BC的中點(diǎn)，求證： AEAF。 DBCcAFE連接BD；AB=AD BC=DADB=ABD CDB=ABD;兩角相加，ADC=ABC；BC=DC EF是中點(diǎn)DE=BF；AB=AD DE=BFADC=ABCAE=AF。41如圖，在四邊形ABCD中，E是AC上的一點(diǎn)，1=2，3=4，求證: 5=6 證明：在ADC，ABC中AC=AC，BAC=DAC，BCA=DCAADCABC（兩角加一邊）AB=AD，BC=CD在DEC與BEC中BCA=DCA，CE=CE，BC=CDDECBEC（兩邊