初中數(shù)學(xué)競賽專題復(fù)習(xí)第一篇代數(shù)第4章方程組試題2人教版0001

1、1 / 13I 82v22,I 1622v16, 4.2 應(yīng)用題4. 2 . 1 小倩和小玲每人都有若干面值為整數(shù)元的人民幣，小倩對小玲說：“你若給我 2 元，我的錢數(shù)將是你的 n 倍，”小玲對小倩說：“你若給我 n 元，我的錢數(shù)將是你的 2 倍”其中 n 為正整數(shù).求 n 的 可能值的個(gè)數(shù).解析設(shè)小倩、小玲分別所擁有的錢數(shù)為x 元、y元，x、y為非負(fù)整數(shù)于是由題設(shè)可得x 2 n y 2 ,y n 2 x n ,消去 x 得 2y 7 n y 4,所以 2y 71 , 3, 5, 15,得 y 4 , 5, 6, 11,從而 n 分別為 8、3、2、1, x 分別為 14、7、6、7.4. 2

2、 . 2甲、乙兩人從相距 120 千米的兩地同時(shí)相對而行，6 小時(shí)后相遇如果甲、乙每人各多行2千米，那么相遇地點(diǎn)距前一次相遇的地點(diǎn)3 千米，求原來甲、乙的速度.解析設(shè)原來甲、乙的速度分別為 v1千米/時(shí)，v2千米/時(shí)，則有v1v220.6如果甲、乙每人各多行 2 千米，則有120V2 V22所以，甲、乙原來的速度分別是 13 （千米/時(shí)）、7 （千米/時(shí)）；或者 7 （千米/時(shí)）、13 （千米/時(shí)） 4. 2 . 3長 90 米的列車速度是每小時(shí) 54 千米，它追上并超過長 50 米的列車用了 14 秒，如果這兩列 火車相向而行，從相遇到完全離開要用多少時(shí)間？解析 兩列火車的追及問題中，（車速

3、1車速 2） 追及時(shí)間 兩列火車的長度之和.丙列火車的相向 相遇問題中，（車速1車速 2） 相遇時(shí)間 兩列火車的長度之和.、54000設(shè)長 90 米的列車速度為 V1 -15（米/秒），長 50 米的列車速度為 V2（米/秒）3600對于追及，則有90_5014，解得 V25 （米/秒）.v1v所以，兩列火車相向而行從相遇至完全離開時(shí)所用時(shí)間為90 501407 （秒）v1v215 5評注對于火車行程問題，首先將火車的運(yùn)動情況分析清楚，再運(yùn)用一些常用的數(shù)量關(guān)系式來求解即可.4. 2 . 4火車通過長 82 米的鐵橋用了 22 秒，如果它的速度加快 1 倍，通過 162 米長的鐵橋就只用了 16

4、 秒，求這列火車原來的速度和它的長度.解析設(shè)這列火車原來的速度為v 米/秒，它的長度為I米.則依題意有2n2y 715152y 73 6v ,解得13,或V1V?7v27,13.2 / 13v 8解得 .即這列火車原來的速度為8 米/秒，它的長度為 94 米.I 94.4. 2 . 5某人騎自行車從A地到B地，途中都是上坡或下坡路，他以每小時(shí)12 千米的速度下坡，以1每小時(shí) 4 千米的速度上坡從A地到B地用了 50 分鐘，從B地返回A地用了 1 丄小時(shí)求A、B兩地2相距多少千米？解析設(shè)從A地到B地，上坡路有 x 千米，下坡路有y千米，則xy5041260,xy 31242.解得x1.5,1.5

5、 5.57（千米）y5.5,所以,A、B兩地相距7 千米.4. 2 . 6甲、乙二人騎車在 400 米環(huán)形跑道上進(jìn)行萬米比賽.同時(shí)出發(fā)后，乙速大于甲速，在第15分鐘時(shí)甲加快速度，在第 18 分鐘時(shí)甲追上乙并開始超過乙，在第23 分鐘時(shí)，甲再次追上乙，而在第23 分 50 秒時(shí)，甲到達(dá)終點(diǎn)，那么乙到達(dá)終點(diǎn)時(shí)所用的時(shí)間是多少分鐘？解析設(shè)出發(fā)時(shí)甲的速度為 a 米/分，乙的速度為b米/分，第 15 分鐘甲加速后的速度為 c 米/分，依 題意得18b 15a1815 c,2318 cb400,15a235615 c 1000,解得a384,b400,c 480所以，乙到達(dá)終點(diǎn)的時(shí)間為10000 400

6、25（分）.4. 2 . 7甲、乙兩人在圓形跑道上從同一地點(diǎn)A出發(fā)，按相反方向跑步甲速每秒6 米，乙速每秒7 米，直到它們第一次又在A處相遇之前，在途中共相遇多少次？解析假設(shè)跑道長為 s，甲、乙第一次又在A處相遇時(shí)所用時(shí)間為 t，甲、乙相遇一次，則跑過的路程為 一圈即 s .設(shè)甲、乙第一次又在A點(diǎn)相遇時(shí)共跑了 n 圈，則甲、乙兩人第一次又在A點(diǎn)相遇所跑過的路程為 ns , 即67 t ns .甲、乙第一次又在A處相遇時(shí)，乙比甲多跑了一圈，76 t s,解得n 13，則途中相遇次數(shù)為n 112（次）.即他們第一次又在A點(diǎn)相遇之前，在途中共相遇 12 次.評注因?yàn)槊咳ο嘤鲆淮?，最后一圈相遇A點(diǎn)，故

7、為n 1次（起始點(diǎn)不算在內(nèi)）4. 2 . 8某船往返于甲、乙兩港之間，順?biāo)滦栌? 小時(shí)，逆水而上需要 12 小時(shí)，由于暴雨后水速增加，該船順?biāo)惺悄嫠兴〞r(shí)間的1,那么逆水而行需幾小時(shí)？223 / 13本題要求的是甲的速度是乙的多少倍，所以，我們只需求出殂為某一常數(shù)即可.于是，方程可化為X2XiX2XX2解得解析 設(shè)甲、乙兩港之間距離為 s，該船在靜水中的速度為 a 千米/時(shí)，水速為b千米/時(shí)，水速增加 后為 c 千米/時(shí).依題意得s8,a bs12,a bss 1a ca c 2解得5s s5sab, c4848144所以水速增加后，該船逆水而行所需時(shí)間為ssa c 5s 5s48

8、144評注 解流水問題只要抓住基本公式：順?biāo)俣却?水速，逆水速度船速 水速，則很多該類型題目都可以通過列方程組迎刃而解，上下坡問題跟流水問題也有類似之處.4. 2 . 9*甲、乙兩人同時(shí)從圓形跑道上同一點(diǎn)出發(fā)，沿順時(shí)針方向跑步，甲的速度比乙快，過了 一段時(shí)間，甲第一次從背后追上乙，這時(shí)甲立即背轉(zhuǎn)身子，以原來的速度沿逆時(shí)針方向跑去，當(dāng)兩人 再次相遇時(shí)，乙恰好跪了4 圈，試問甲的速度是乙的幾倍？解析 本題是甲、乙兩人跑圓圈，先同向，后反向就問題的實(shí)質(zhì)來說，跑圓圈和跑直線的思考方法相同.如果設(shè)甲的速度為xi，乙的速度為 X2，跑道一圈的長為y則有，乙跑 4 圈的速度是 X2，距離為4y 再設(shè)乙跑

9、 4 圈所用的時(shí)間為 t2，于是 t2X24y .所以，問題轉(zhuǎn)化為如何根據(jù)已知條件列出關(guān)于為、x2、y的表示時(shí)間的關(guān)系式就可以了.設(shè)甲的速度為 人，乙的速度為 X2，跑道一圈的長為y，那么有X24y .由于 y 0 ,所以原方程可化為X2X2,4 ,XiX2XiX2即 X|X22xf 2x；.了（小時(shí)）4 / 13所以，甲的速度是乙的1一17倍.4評注本題中y是多設(shè)的未知數(shù)，它對于列方程來說起到了橋梁作用，使列方程變得思路簡單，易于理 解，在方程列出后，直接相約（或相消） ，又立即去掉了多設(shè)的未知數(shù)這種方法稱為設(shè)輔助元法.4. 2 10小王沿街勻速行走，發(fā)現(xiàn)每隔6 分鐘從背后駛過一輛 18 路

10、公交車，每隔 3 分鐘迎面駛來一輛 18 路公交車.假設(shè)每輛 18 路公交車行駛速度相同， 而且 18 路公交車總站每隔固定時(shí)間發(fā)一輛車， 問：發(fā)車間隔的時(shí)間是多少分鐘？解析 設(shè) 18 路公交車的速度是 x 米/分，小王行走的速度是y米/分，同向行駛的相鄰兩車的間距為s 米.每隔 6 分鐘從背后開過一輛 18 路公交車，則6x 6y s .每隔 3 分鐘從迎面駛來一輛 18 路公交車，則3x 3y s .由，可得s 4x,所以-4 .x即 18 路公交車息站發(fā)車間隔的時(shí)間是4 分鐘.4. 2 .AB兩地相距 120 千米，已知人的步行速度是每小時(shí) 5 千米，摩托車的行駛速度是每小時(shí)50 千米，

11、摩托車后座可帶一人.問有三人并配備一輛摩托車從A地到B地最少需要多少小時(shí)？（保留1 位小數(shù)）解析 記此三人為甲、乙和丙，甲開摩托車后座帶乙人，三人同時(shí)出發(fā)，甲和乙到C地所用時(shí)間設(shè)為 x小時(shí)，并且放下乙，乙繼續(xù)步行，到達(dá)B地所用時(shí)間設(shè)為y小時(shí)，而甲馬上折返，在E地遇到丙后，攜帶丙乘摩托車駛向B地，為了與乙同時(shí)到達(dá)B地，x 和y應(yīng)當(dāng)滿足如下方程：1甲和乙到達(dá)C地時(shí)，丙到達(dá)D地（見下圖）步行的路程是5x千米；2DC之間的距離是 120 5 x y 千米;3甲折返與丙在E地相遇所用時(shí)間是120 5 x y小時(shí)；554丙步行到E地，所用時(shí)間是 x120 5 x y小時(shí)；從E地乘摩托車到B所用時(shí)間是551

12、20 5 x yy小時(shí)；而乙乘摩托車到C地，所用時(shí)間是 x 小時(shí)；從C地步行到達(dá)B地所用時(shí)55間是y小時(shí).從上述分析，可以列出二元一次方程組50 x 5y 120,120 5 x y120 5 x y5 x50 y120,5555Xi1.17 或 Xix24 x2（舍去） .5 / 13所以，有三人并配備一輛摩托車從A地到B地最少需要 547小時(shí).654. 2 . 12一工人在定期內(nèi)要制造出一定數(shù)量的同樣零件，若他每天多做10 個(gè)，則提前4丄天完成，2若他每天少做 5 個(gè)，則要誤期 3 天問他要做多少個(gè)零件？比定期是多少天？解析 設(shè)這個(gè)工人要做 x 個(gè)零件，定期為y天，則他每天做個(gè)零件.根據(jù)題

13、目條件，若他每天多做10yx1710 y 42，同理，可列另一個(gè)方程即可得方程組x110 y 4 x, y2x5 y 3 x. y解得x 1350,y 27.所以，工人要做 1350 個(gè)零件，此定期為 27 天.天完成，需付 150000 元；由甲、丙兩隊(duì)承包，26天完成，需付 160000 元.現(xiàn)在工程由一個(gè)隊(duì)單獨(dú)承7包，在保證一周完成的前提下，哪個(gè)隊(duì)承包費(fèi)用最少？解析設(shè) 甲、乙、丙單獨(dú)承包各需x、y、z 天完成，則115xy12,114yz15,117zx亦.解得x4,y6,z10.再設(shè)甲、 乙、丙單獨(dú)工作一天，各需付u、v、w 元，貝 y12u v180000,515vw150000,4

14、20wu160000.7解得個(gè)，則可減少 4】天工期.所以 x24. 2. 13某項(xiàng)工程，如果由甲、乙兩隊(duì)承包,2-天完成，需付 180000 元；由乙、丙兩隊(duì)承包，3-546 / 13u 45500,v 29500, w 10500.于是， 由甲隊(duì)單獨(dú)承包，費(fèi)用 是45500 4 182000(元).由乙隊(duì)單獨(dú)承包，費(fèi)用是29500 6 177000(元).而丙隊(duì)不能在一周內(nèi)完成所以由乙隊(duì)承包費(fèi)用最少.4. 2 . 14已知甲、乙、丙三人，甲單獨(dú)做這件工作所用時(shí)間是乙、丙兩人合作做這件工作所用時(shí)間的 a 倍，乙單獨(dú)做這件工作所用時(shí)間是甲、丙兩人合作做這件工作所用時(shí)間的b倍，求丙單獨(dú)工作所用時(shí)

15、間是甲、乙兩人合作做這件工作所用時(shí)間的幾倍.解析甲、乙、丙獨(dú)立完成這一工作分別需x、y、z 天，再設(shè)整個(gè)工程是 1于是，乙單獨(dú)做一天完成的工作量是1,丙是1,這樣乙、丙合做一天完成的工作量是丄-，那么乙、丙合作這項(xiàng)工作y zy z故丙獨(dú)立完成這一工作需要的時(shí)間是甲、乙兩人合作完成同一工作所需的時(shí)間的(ab 1).4. 2. 15某商店經(jīng)銷一種商品，由于進(jìn)貨價(jià)降低了 這種商品的利潤率是多少？解析本題雖然題干很短，但牽涉到的商業(yè)方面的概念及公式還是很豐富的這里，寫出幾個(gè)與利潤有 關(guān)的“盈虧”公式：(1)利潤售出價(jià)進(jìn)貨價(jià)；利潤所用的時(shí)間應(yīng)是1 天，依題意有解得所以1a -1 1y z1b1b 1ab

16、 1a 1ab 1,ab 1a b 2ab 1占ab 1利潤率進(jìn)貨價(jià)100%;進(jìn)貨價(jià) 1 售潤價(jià)率-6.4%，使得利潤率提高了8%，那么原來經(jīng)銷7 / 13本題涉及兩種情況，可設(shè)原進(jìn)價(jià)為x 元，銷售價(jià)為y元，并表示出按原價(jià)銷售的利潤率和按新價(jià)銷售的利潤率，再根據(jù)兩者之間的關(guān)系，得出x 與y的數(shù)量關(guān)系，最后代入求值.設(shè)原進(jìn)貨價(jià)為 x 元，銷售價(jià)為y元，由公式（2）有按原價(jià)銷售的利潤率為：100% ；x按新價(jià)銷售的利潤率為：y 93.6% X 100% .93.6% x依題意列方程1100% 8%y 93.6%x100% x93.6% x解方程得 y 1.17x.因此，原來經(jīng)銷這種商品的利潤率1.

17、17x x100%17% x評注 隨著市場經(jīng)濟(jì)體制的建立，有關(guān)營銷類應(yīng)用問題已屢見不鮮，對這類問題，學(xué)生首先要了解一些 日常的基本常識和有關(guān)名詞，如進(jìn)貨、售出價(jià)、禾U潤、禾U潤率、盈利、虧本等，同時(shí)要掌握好基本關(guān) 系公式，巧妙地建立關(guān)系式.4. 2. 16現(xiàn)有一塊黃銅和一塊青銅的混合物，其中含有74%的銅，16%的鋅和10%的錫.已知青銅含80%的銅，4%的鋅和16%的錫，而黃銅是銅和鋅的合金.求黃銅含有銅和鋅之比.解析設(shè)黃銅中含銅X%，則含鋅（100 x）% .黃銅和青銅的混合物中含黃銅a，青銅b.則ax 80b16b 7410a 100 x 4b 16b 1610由, 得 x192b，5a

18、由, 得 100 x108b，5a由、 ，得x16100 x 9所以， 黃銅含有銅和 鋅之比是4. 2. 17李明、張斌、王鋼三人去文具店買練習(xí)本、圓珠筆和橡皮，李明買了4 本練習(xí)本、一支圓珠筆和 10 塊橡皮，共付了 11 元，張斌買了 3 本練習(xí)本、一支圓珠筆和 7 塊橡皮，共付了 8.9 元, 王鋼買了一本練習(xí)本、一支圓珠筆和一塊橡皮共付了多少錢？解析 設(shè) x、y、z 分別表示 1 本練習(xí)本、1 支圓珠筆和 1 塊橡皮的價(jià)錢（以角為單位），得方程組4x y 10z 110,3x y 7z 89,這是一個(gè)三個(gè)未知數(shù)二個(gè)方程的不定方裎，想從中求出 x、y、z 是很難的，但問題是要我們求x y

19、 z的值，故32得x y z 47.因此，王鋼買 1 本練習(xí)本，1 支圓珠筆和 1 塊橡皮共付了 4.7 元.4. 2 . 18學(xué)校用一筆錢買獎(jiǎng)品，若以一支鋼筆和2 本日記本為一份獎(jiǎng)品，則可買 60 份獎(jiǎng)品；若以1 支鋼筆和 3 本日記本為一份獎(jiǎng)品， 則可買 50 份獎(jiǎng)品，問這筆錢全部用來買鋼筆或日記本， 可買多少？ 解析 由于這筆錢是未知的，若直接依題目要求去設(shè)未知數(shù)，則不易列方程.故像這類題目必需間接設(shè)8 / 13元.設(shè)鋼筆 x 元/支，日記本y元/本，則這筆錢可表示為：60 x 2y 或 50 x 3y所以 60 x 2y 50 x 3y .得 x 3y .于是，這筆錢全用于買鋼筆，可買

20、60上100（支）；x這筆錢全用于買日記本，可買60 x 2y300 （本）.y4. 2. 19甲、乙、丙三人共解出100 道數(shù)學(xué)題，每人都解出了其中的60 道題，將其中只有 1 人解出的題叫做難題，3 人都解出的題叫做容易題，試問：難題多還是容易題多？（多的比少的）多幾道題？解析設(shè)有 x 道難題，y道容易題，中等的（兩人解出的）題為z 道，則由題意可得方程組：x y z 100,x 3y 2z 60 32，得x y 200 18020 .所以，難題多，難題比容易題多20 道.4. 2 . 20現(xiàn)有甲、乙、丙三種貨物，若購買甲3 件，乙 7 件，丙 1 件共需 315 元；若購買甲 4 件，乙

21、 10 件，丙 1 件共需 420 元，問要購買甲、乙、丙各一件共需多少元？解析 設(shè)甲、乙、丙三種貨物每件分別為x 元、y元、z 元.依題意，得3x 7y z 315,4x 10y z 42032，得x y z = 315 3 420 2 105 .所以，購買甲、乙、丙各一件共需105 元.4. 2 . 21甲、乙、丙、丁四人，每三個(gè)人的平均年齡加上余下一人的年齡分別為29、23、21 和 17,這四人中最大年齡與最小年齡的差是多少？解析 設(shè)四個(gè)人的年齡分別為 a、b、c、d,根據(jù)題意有1abcd29,313abca23,1abcb21,31abcc173由上述四式可知9 / 13比較、知，d

22、最大，e 最小，得-de 12 .3所以d e 18，即這四個(gè)人中最大年齡與最小年齡的差為18.4. 2. 22*現(xiàn)在父母年齡的和是子女年齡和的6 倍；2 年前，父母年齡和是子女年齡和的年后，父母年齡的和是子女年齡和的3 倍，問共有多少子女？解析 設(shè)現(xiàn)在父母年齡之和為 x 歲，子女年齡之和為y歲，子女共有 z 人，由題意得x 6y,x 2 2 10 y 2z ,xy 6z .代入、，得y 5z1,y 6z4,兩式相減，得z 3，所以，子女共有 3 人.4. 2. 23一次數(shù)學(xué)競賽出了A、B、C三道題目，25 個(gè)學(xué)生每人至少能解出一道題目. 些不能解A的學(xué)生中，能解B的人數(shù)等于能解C的二倍；在能

23、解A的學(xué)生中，至少還能解別的 人數(shù)比不能解別的題目的人數(shù)少一個(gè)如果正好能解一道題目的學(xué)生中，有一半不能解A.學(xué)生正好能解出B這道題目？解析 由題意可知，本題涉及的量很多，如果采用直接成間接設(shè)元都很難列出方程，因此我們可以采用 設(shè)輔助未知數(shù)，以此作為橋梁建立等量關(guān)系，列出方程最后，消去輔助未知數(shù)，從而獲得所要的答 案.ABC AB BC AC ABC 25,B BC 2 C BC ,A 1 AB AC ABC ,ABC 2 B C ,其中A,B.C, AB , AC , BC , ABC 都是非負(fù)數(shù).由和，得2A B C BC 125,而可寫成BC B 2C,而可寫成ABC1 abed3-d32

24、9,2 -a323,2b21,32 -e17.10 倍；6在這-題的問有多少設(shè)A, AB ,ABC 分別表示正好能解A,A與B,A與B與C的學(xué)生人數(shù)，則依題意可得e de de d310 / 13由、得4B C 26,即11 / 13C 26 4B.代入，得 BC 9B 52.因?yàn)镃0,BC 0,所以由和分別得但是B是整數(shù)，所以B 6.所以，有 6 個(gè)學(xué)生正好能解出B這道題目. 4.3 含絕對值的方程組4. 3. 1 方程組yx yA. 1B. 212的解的個(gè)數(shù)為（6C. 3).D. 4x y 12,解析右x0，則于是 y yx |y 6,6，這不可能.若x 0，則12,6,于是所以，原方程組

25、的解為（x ,y）y 18，解得 y 9，進(jìn)而求得x（3, 9）,只有 1 個(gè)解故選 A.4. 3. 2如果 x 和y是非零實(shí)數(shù)，使得x y 3 和 x y x30，那么x y等于（).A. 3B.13C.1 132解析 將 y 3 x 代入 x yx30，得 x32x(1)當(dāng)x 0時(shí)，x3x23x0 ,方程，2x x當(dāng)x 0時(shí)，x3x23x0 ,得方程，2x x工曰113713于是 y 3 x 322故 xy 4.13 .因此,結(jié)論（D）是正確的.4. 2. .3解方程組xy x y 2,xy x2解析 由得x yx y 2.因?yàn)?x y 0 ,所以 x y0 ,所以 xy xy把代入，得x y x 2,D. 4133x 0 .3 0 無實(shí)根；30,解得 x113,正根舍去，從而 x1132 212 / 1313 / 13即 y 2 把 y 2 代入，得即 x 2 x，于是x0 由x 2 x時(shí)，得x 14. 3 4解方程組x 2y 1,x y 2解析 由得 x 2y 1 或 x 2y1即卩 x 2y 1 或 x 2y 1 .x 1解方程組（）得x |,或y 1,綜上所述，原方程組的解為a b a b 60 ,則a b 0或a b 6 0由此可得由第一個(gè)方程組解得可得方程組（）x 2yxy1,或（）