高考數(shù)學(xué)大題經(jīng)典習(xí)題

1、1. 對于函數(shù)。（1）若在處取得極值，且的圖像上每一點的切線的斜率均不超過試求實數(shù)的取值范圍；（2）若為實數(shù)集R上的單調(diào)函數(shù)，設(shè)點P的坐標(biāo)為，試求出點P的軌跡所形成的圖形的面積S。1. （1）由，則因為處取得極值，所以的兩個根 因為的圖像上每一點的切線的斜率不超過所以恒成立，而，其最大值為1 故 （2）當(dāng)時，由在R上單調(diào)，知 當(dāng)時，由在R上單調(diào)恒成立，或者恒成立，可得 從而知滿足條件的點在直角坐標(biāo)平面上形成的軌跡所圍成的圖形的面積為 2. 函數(shù)（）的圖象關(guān)于原點對稱，、分別為函數(shù)的極大值點和極小值點，且|AB|2，.（）求的值；（）求函數(shù)的解析式；（）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.2. （） =

2、0（） 則 |AB|2 又 （） 時，求的最小值是-5 3. 已知是定義在R上的函數(shù)，其圖象交x軸于A，B，C三點，若點B的坐標(biāo)為（2，0），且在和4，5上有相同的單調(diào)性，在0，2和4，5上有相反的單調(diào)性 （1）求c的值； （2）在函數(shù)的圖象上是否存在一點M（x0，y0），使得在點M的切線斜率為3b？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；3. 在和上有相反單調(diào)性， x=0是的一個極值點，故，即有一個解為x=0，c=0 交x軸于點B（2，0） 令，則 在和上有相反的單調(diào)性 ， 假設(shè)存在點M（x0，y0），使得在點M的切線斜率為3b，則 即 = 又， 0 不存在點M（x0，y0），使得在點M

3、的切線斜率為4. 已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最大值；（2）當(dāng)時，求證；4. （1） 令得當(dāng)時， 當(dāng)時，又當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值0（2）由（1）知又5. 已知是定義在，上的奇函數(shù)，當(dāng)，時，（a為實數(shù)）（1）當(dāng)，時，求的解析式；（2）若，試判斷在0，1上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；（3）是否存在a，使得當(dāng)，時，有最大值5. （1）設(shè)，則，是奇函數(shù)，則，；（2），因為，即，所以在，上是單調(diào)遞增的（3）當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，（不含題意，舍去），當(dāng)，則，如下表，x，0-最大值所以存在使在，上有最大值6. 已知在R上單調(diào)遞增，記的三內(nèi)角的對應(yīng)邊分別為，若時，不等式恒成立（）求實數(shù)的取值范圍；（）求角的取值范圍；

4、 （）求實數(shù)的取值范圍19. (1)由知，在R上單調(diào)遞增，恒成立，且，即且， 當(dāng)，即時，時，時，即當(dāng)時，能使在R上單調(diào)遞增，(2)，由余弦定理：，-5分(3) 在R上單調(diào)遞增，且，所以，-10分故，即，即，即7. 已知函數(shù) （I）當(dāng)時，求函數(shù)的極小值 （II）試討論曲線與軸的公共點的個數(shù)。7. （I） 當(dāng)或時，；當(dāng)時， 在，（1，內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減 故的極小值為 （II）若則 的圖象與軸只有一個交點。6分若則，當(dāng)時，當(dāng)時，的極大值為的極小值為 的圖象與軸有三個公共點。若，則。 當(dāng)時，當(dāng)時，的圖象與軸只有一個交點若，則 的圖象與軸只有一個交點當(dāng)，由（I）知的極大值為綜上所述，若的圖象與軸只

5、有一個公共點；若，的圖象與軸有三個公共點。第二組：解析幾何1. 已知點C（-3，0），點P在y軸上，點Q在x軸的正半軸上，點M在直線PQ上，且滿足（1）當(dāng)點P在y軸上運動時，求點M的軌跡C的方程；（2）是否存在一個點H，使得以過H點的動直線L被軌跡C截得的線段AB為直徑的圓始終過原點O。若存在，求出這個點的坐標(biāo)，若不存在說明理由。6. （1）設(shè)M(x,y), P(0, t), Q(s, 0)則由得3st2=0又由得， 把代入得=0，即y2=4x，又x0點M的軌跡方程為：y2=4x（x0）（2）如圖示，假設(shè)存在點H，滿足題意，則設(shè)，則由可得解得又則直線AB的方程為：即把代入，化簡得令y=0代入得

6、x=4，動直線AB過定點（4，0）答，存在點H（4，0），滿足題意。2. 設(shè)為直角坐標(biāo)平面內(nèi)x,y軸正方向上的單位向量，若向量. (1)求點M（x,y）的軌跡C的方程；(2)過點(0,3)作直線與曲線C 的交于A、B兩點，設(shè)，是否存在這樣的直線，使得四邊形OAPB為矩形？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.2. (1)即點M(x,y)到兩個定點F1(0,-2)、F2(0,2)的距離之和為8,點M（x,y）的軌跡C為以F1(0,-2)、F2(0,2)為焦點的橢圓，其方程為. (2)由題意可設(shè)直線方程為，由消去y得：(4+3k)x2 +18kx-21=0. 此時，=(18k)2-4(4+3

7、k2 (-21)>0恒成立，且 由知：四邊形OAPB為平行四邊形.假設(shè)存在直線，使得四邊形OAPB為矩形，則 .因為，所以，而，故，即.所以，存在直線：，使得四邊形OAPB為矩形.3. 一束光線從點出發(fā)，經(jīng)直線上一點反射后，恰好穿過點（）求點關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)；（）求以、為焦點且過點的橢圓的方程；（）設(shè)直線與橢圓的兩條準(zhǔn)線分別交于、兩點，點為線段上的動點，求點 到的距離與到橢圓右準(zhǔn)線的距離之比的最小值，并求取得最小值時點的坐標(biāo)12. （）設(shè)的坐標(biāo)為，則且解得， 因此，點 的坐標(biāo)為 （），根據(jù)橢圓定義，得，所求橢圓方程為 （），橢圓的準(zhǔn)線方程為 設(shè)點的坐標(biāo)為,表示點到的距離，表示點到橢

8、圓的右準(zhǔn)線的距離則， 令，則，當(dāng)， ， 在時取得最小值 因此，最小值，此時點的坐標(biāo)為注：的最小值還可以用判別式法、換元法等其它方法求得說明：求得的點即為切點，的最小值即為橢圓的離心4. 已知橢圓的一個焦點，對應(yīng)的準(zhǔn)線方程為，且離心率滿足，成等比數(shù)列.(1)求橢圓的方程；(2)試問是否存在直線，使與橢圓交于不同的兩點、，且線段恰被直線平分？若存在，求出的傾斜角的取值范圍；若不存在，請說明理由.4. （1）成等比數(shù)列 設(shè)是橢圓上任意一點，依橢圓的定義得 即為所求的橢圓方程. （2）假設(shè)存在，因與直線相交，不可能垂直軸因此可設(shè)的方程為：由 方程有兩個不等的實數(shù)根設(shè)兩個交點、的坐標(biāo)分別為線段恰被直線平

9、分 把代入得 解得或直線的傾斜角范圍為 5. 已知向量.（）求點的軌跡C的方程；（）設(shè)曲線C與直線相交于不同的兩點M、N，又點，當(dāng)時，求實數(shù)的取值范圍。5. 由題意得：（II）由得,由于直線與橢圓有兩個不同的交點，即 （1）當(dāng)時，設(shè)弦MN的中點為分別為點M、N的橫坐標(biāo)，則又 .將代入得，解得, 由得 , 故所求的取值范圍是（2）當(dāng)時，6. 設(shè)直線與橢圓相交于A、B兩個不同的點，與x軸相交于點C，記O為坐標(biāo)原點. （I）證明：； （II）若的面積取得最大值時的橢圓方程.6. 依題意，直線l顯然不平行于坐標(biāo)軸，故將，得 由直線l與橢圓相交于兩個不同的點，得，即 （II）解：設(shè)由，得因為，代入上式，

10、得 于是，OAB的面積 其中，上式取等號的條件是由將這兩組值分別代入，均可解出所以，OAB的面積取得最大值的橢圓方程是7. 如圖，已知：及點A，在 上任取一點A，連AA并作AA的中垂線l，設(shè)l與直線A交于點P，若點A取遍上的點.（1）求點P的軌跡C的方程；（2）若過點的直線與曲線交于、兩點,且,則當(dāng)時,求直線的斜率的取值范圍.7. (1)l是線段A的中垂線，,|PA|P|=|P|P|=|=.即點P在以、A為焦點，以4為焦距，以為實軸長的雙曲線上，故軌跡C的方程為. (2)設(shè),則直線的方程為,則由,得 ,.由,得.,.由, 消去,得.,函數(shù)在上單調(diào)遞增. ,，所以 或. 故斜率的取值范圍為.8.

11、 如圖，已知：及點 ，在 上任取一點，連，并作的中垂線l，設(shè)l與交于點P， 若點取遍上的點.（1）求點P的軌跡C的方程；（2）設(shè)直線與軌跡C相交于A、B兩個不同的點，與x軸相交于點D.若的面積取得最大值時的橢圓方程8. (1)l是線段的中垂線，,|PM|+|P|=|P|+|P|=|=2m.即點P在以、M為焦點，以為焦距，以為長軸長的橢圓上，故軌跡C的方程為，即. （2）由 得將代入消去，得 由直線l與橢圓相交于兩個不同的點，得整理得，即 設(shè)由，得.而點, ，所以，代入上式，得 于是，OAB的面積 其中，上式取等號的條件是即由可得.將及這兩組值分別代入，均可解出OAB的面積取得最大值的橢圓方程是

12、第三組：數(shù)列不等式一先求和后放縮例1正數(shù)數(shù)列的前項的和，滿足，試求：（1）數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項的和為，求證：解：（1）由已知得，時，作差得：，所以，又因為為正數(shù)數(shù)列，所以，即是公差為2的等差數(shù)列，由，得，所以（2），所以注：一般先分析數(shù)列的通項公式如果此數(shù)列的前項和能直接求和或者通過變形后求和，則采用先求和再放縮的方法來證明不等式求和的方式一般要用到等差、等比、差比數(shù)列（這里所謂的差比數(shù)列，即指數(shù)列滿足條件）求和或者利用分組、裂項、倒序相加等方法來求和二先放縮再求和1放縮后成等差數(shù)列，再求和例已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為,且.(1) 求證：；(2) 求證：解：（1）在條件中

13、，令，得， ，又由條件有，上述兩式相減，注意到得 所以， ， 所以（2）因為，所以，所以；2放縮后成等比數(shù)列，再求和例（1）設(shè)a，nN*，a2，證明：；（2）等比數(shù)列an中，前n項的和為An，且A7，A9，A8成等差數(shù)列設(shè)，數(shù)列bn前n項的和為Bn，證明：Bn解：（1）當(dāng)n為奇數(shù)時，ana，于是， 當(dāng)n為偶數(shù)時，a11，且ana2，于是 （2），公比 3放縮后為差比數(shù)列，再求和例4已知數(shù)列滿足：，求證：證明：因為，所以與同號，又因為，所以，即，即所以數(shù)列為遞增數(shù)列，所以，即，累加得：令，所以，兩式相減得：，所以，所以，故得4放縮后為裂項相消，再求和例5在m（m2）個不同數(shù)的排列P1P2Pn中，

14、若1ijm時PiPj（即前面某數(shù)大于后面某數(shù)），則稱Pi與Pj構(gòu)成一個逆序. 一個排列的全部逆序的總數(shù)稱為該排列的逆序數(shù). 記排列的逆序數(shù)為an，如排列21的逆序數(shù)，排列321的逆序數(shù)（1）求a4、a5，并寫出an的表達(dá)式；（2）令，證明，n=1,2,.解（1）由已知得，.（2）因為，所以.又因為，所以 =. 綜上，.注：常用放縮的結(jié)論：（1）（2）在解題時朝著什么方向進(jìn)行放縮，是解題的關(guān)鍵，一般要看證明的結(jié)果是什么形式如例要證明的結(jié)論、為等差數(shù)列求和結(jié)果的類型，則把通項放縮為等差數(shù)列，再求和即可；如例3要證明的結(jié)論為等比數(shù)列求和結(jié)果的類型，則把通項放縮為等比數(shù)列，再求和即可；如例4要證明的結(jié)論為差