人教版高中數(shù)學(xué)必修2-全冊教案(共18頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第一章 空間幾何體第一章 課文目錄1空間幾何體的結(jié)構(gòu) 1空間幾何體的三視圖和直觀圖 13空間幾何體的表面積與體積 知識結(jié)構(gòu)：表面積 體積度 量空間幾何體柱體 球體 錐體 臺體 中心投影 平行投影棱柱 圓柱 棱錐 圓錐 棱臺 圓臺 三視圖 直觀圖一、空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖和直觀圖1柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征圓柱：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓柱；旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸；垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的側(cè)面；無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊都叫做圓柱側(cè)面的母線。棱柱與圓柱統(tǒng)稱為柱體；（2）錐棱錐：一般的有一個面是多邊形，其余各面

2、都是有一個公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐；這個多邊形面叫做棱錐的底面或底；有公共頂點(diǎn)的各個三角形面叫做棱錐的側(cè)面；各側(cè)面的公共頂點(diǎn)叫做棱錐的頂點(diǎn)；相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱。底面是三角錐、四邊錐、五邊錐的棱柱分別叫做三棱錐、四棱錐、五棱錐圓錐：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐；旋轉(zhuǎn)軸為圓錐的軸；垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)形成的面叫做圓錐的底面；斜邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面叫做圓錐的側(cè)面。棱錐與圓錐統(tǒng)稱為錐體。（3）臺棱臺：用一個平行于底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫做棱臺；原棱錐的底面和截面分別叫做棱臺的下底面和上底面；棱臺也

3、有側(cè)面、側(cè)棱、頂點(diǎn)。圓臺：用一個平行于底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺；原圓錐的底面和截面分別叫做圓臺的下底面和上底面；圓臺也有側(cè)面、母線、軸。圓臺和棱臺統(tǒng)稱為臺體。（4）球以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體叫做球體，簡稱為球；半圓的圓心叫做球的球心，半圓的半徑叫做球的半徑，半圓的直徑叫做球的直徑。（5）組合體由柱、錐、臺、球等幾何體組成的復(fù)雜的幾何體叫組合體。幾種常凸多面體間的關(guān)系一些特殊棱柱、棱錐、棱臺的概念和主要性質(zhì)：名稱棱柱直棱柱正棱柱圖 形定 義有兩個面互相平行，而其余每相鄰兩個面的交線都互相平行的多面體側(cè)棱垂直于底面的棱柱底面是正多邊形的直棱

4、柱側(cè)棱平行且相等平行且相等平行且相等側(cè)面的形狀平行四邊形矩形全等的矩形對角面的形狀平行四邊形矩形矩形平行于底面的截面的形狀與底面全等的多邊形與底面全等的多邊形與底面全等的正多邊形名稱棱錐正棱錐棱臺正棱臺圖形定義有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點(diǎn)的三角形的多面體底面是正多邊形，且頂點(diǎn)在底面的射影是底面的射影是底面和截面之間的部分用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分由正棱錐截得的棱臺側(cè)棱相交于一點(diǎn)但不一定相等相交于一點(diǎn)且相等延長線交于一點(diǎn)相等且延長線交于一點(diǎn)側(cè)面的形狀三角形全等的等腰三角形梯形全等的等腰梯形對角面的形狀三角形等腰三角形梯形等腰梯形平行于底的截面形狀與底面

5、相似的多邊形與底面相似的正多邊形與底面相似的多邊形與底面相似的正多邊形其他性質(zhì)高過底面中心；側(cè)棱與底面、側(cè)面與底面、相鄰兩側(cè)面所成角都相等兩底中心連線即高；側(cè)棱與底面、側(cè)面與底面、相鄰兩側(cè)面所成角都相等幾種特殊四棱柱的特殊性質(zhì)：名稱特殊性質(zhì)平行六面體底面和側(cè)面都是平行四邊行；四條對角線交于一點(diǎn)，且被該點(diǎn)平分直平行六面體側(cè)棱垂直于底面，各側(cè)面都是矩形；四條對角線交于一點(diǎn)，且被該點(diǎn)平分長方體底面和側(cè)面都是矩形；四條對角線相等，交于一點(diǎn)，且被該點(diǎn)平分正方體棱長都相等，各面都是正方形四條對角線相等，交于一點(diǎn)，且被該點(diǎn)平分2空間幾何體的三視圖三視圖是觀測者從不同位置觀察同一個幾何體，畫出的空間幾何體的圖

6、形。他具體包括：（1）正視圖：物體前后方向投影所得到的投影圖；它能反映物體的高度和長度；（2）側(cè)視圖：物體左右方向投影所得到的投影圖；它能反映物體的高度和寬度；（3）俯視圖：物體上下方向投影所得到的投影圖；它能反映物體的長度和寬度；三視圖畫法規(guī)則：高平齊：主視圖與左視圖的高要保持平齊長對正：主視圖與俯視圖的長應(yīng)對正寬相等：俯視圖與左視圖的寬度應(yīng)相等3空間幾何體的直觀圖（1）斜二測畫法建立直角坐標(biāo)系，在已知水平放置的平面圖形中取互相垂直的OX，OY，建立直角坐標(biāo)系；畫出斜坐標(biāo)系，在畫直觀圖的紙上（平面上）畫出對應(yīng)的OX,OY,使=450（或1350），它們確定的平面表示水平平面；畫對應(yīng)圖形，在已

7、知圖形平行于X軸的線段，在直觀圖中畫成平行于X軸，且長度保持不變；在已知圖形平行于Y軸的線段，在直觀圖中畫成平行于Y軸，且長度變?yōu)樵瓉淼囊话?；擦去輔助線，圖畫好后，要擦去X軸、Y軸及為畫圖添加的輔助線（虛線）。（2）平行投影與中心投影平行投影的投影線是互相平行的，中心投影的投影線相交于一點(diǎn)。注意：畫水平放置的多邊形的直觀圖的關(guān)鍵是確定多邊形頂點(diǎn)的位置，因?yàn)槎噙呅雾旤c(diǎn)的位置一旦確定，依次連結(jié)這些頂點(diǎn)就可畫出多邊形來，因此平面多邊形水平放置時，直觀圖的畫法可以歸結(jié)為確定點(diǎn)的位置的畫法。強(qiáng)調(diào)斜二測畫法的步驟。例題講解：例1將正三棱柱截去三個角（如圖1所示分別是三邊的中點(diǎn)）得到幾何體如圖2，則該幾何體

8、按圖2所示方向的側(cè)視圖（或稱左視圖）為（ ）EFDIAHGBCEFDABC側(cè)視圖1圖2BEABEBBECBED例3正方體ABCD_A1B1C1D1的棱長為2，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是平面ABCD內(nèi)的一個動點(diǎn)，且滿足PM=2，P到直線A1D1的距離為，則點(diǎn)P的軌跡是（ ）A.圓 B.雙曲線 C.兩個點(diǎn) D.直線解析： 點(diǎn)P到A1D1的距離為，則點(diǎn)P到AD的距離為1，滿足此條件的P的軌跡是到直線AD的距離為1的兩條平行直線，又，滿足此條件的P的軌跡是以M為圓心，半徑為2的圓，這兩種軌跡只有兩個交點(diǎn).故點(diǎn)P的軌跡是兩個點(diǎn)。選項為C。點(diǎn)評：該題考察空間內(nèi)平面軌跡的形成過程，考察了空間想象能力。例4兩相

9、同的正四棱錐組成如圖1所示的幾何體，可放棱長為1的正方體內(nèi)，使正四棱錐的底面ABCD與正方體的某一個平面平行，且各頂點(diǎn)均在正方體的面上，則這樣的幾何體體積的可能值有（ ）A1個B2個 C3個D無窮多個解析：由于兩個正四棱錐相同，所以所求幾何體的中心在正四棱錐底面正方形ABCD中心，有對稱性知正四棱錐的高為正方體棱長的一半，影響幾何體體積的只能是正四棱錐底面正方形ABCD的面積，問題轉(zhuǎn)化為邊長為1的正方形的內(nèi)接正方形有多少種，所以選D。點(diǎn)評：本題主要考查空間想象能力，以及正四棱錐的體積。正方體是大家熟悉的幾何體，它的一些內(nèi)接或外接圖形需要一定的空間想象能力，要學(xué)會將空間問題向平面問題轉(zhuǎn)化。例9畫

10、正五棱柱的直觀圖，使底面邊長為3cm側(cè)棱長為5cm。解析：先作底面正五邊形的直觀圖，再沿平行于Z軸方向平移即可得。作法：（1）畫軸：畫X，Y，Z軸，使XOY=45°（或135°），XOZ=90°。（2）畫底面：按X軸，Y軸畫正五邊形的直觀圖ABCDE。（3）畫側(cè)棱：過A、B、C、D、E各點(diǎn)分別作Z軸的平行線，并在這些平行線上分別截取AA，BB，CC，DD，EE。（4）成圖：順次連結(jié)A，B，C，D，F(xiàn)，加以整理，去掉輔助線，改被遮擋的部分為虛線。點(diǎn)評：用此方法可以依次畫出棱錐、棱柱、棱臺等多面體的直觀圖。例10是正ABC的斜二測畫法的水平放置圖形的直觀圖，若的面積為

11、，那么ABC的面積為_。解析：。點(diǎn)評：該題屬于斜二測畫法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于建立實(shí)物圖元素與直觀圖元素之間的對應(yīng)關(guān)系。特別底和高的對應(yīng)關(guān)系。邏輯思維能力。例12多面體上，位于同一條棱兩端的頂點(diǎn)稱為相鄰的，如圖，正方體的一個頂點(diǎn)A在平面內(nèi)，其余頂點(diǎn)在的同側(cè)，正方體上與頂點(diǎn)A相鄰的三個頂點(diǎn)到的距離分別為1，2和4，P是正方體的其余四個頂點(diǎn)中的一個，則P到平面的距離可能是： 3； 4； 5； 6； 7以上結(jié)論正確的為_（寫出所有正確結(jié)論的編號）ABCDA1B1C1D1A1解析：如圖，B、D、A1到平面的距離分別為1、2、4，則D、A1的中點(diǎn)到平面的距離為3，所以D1到平面的距離為6；B、A1的中點(diǎn)

12、到平面的距離為，所以B1到平面的距離為5；則D、B的中點(diǎn)到平面的距離為，所以C到平面的距離為3；C、A1的中點(diǎn)到平面的距離為，所以C1到平面的距離為7；而P為C、C1、B1、D1中的一點(diǎn)，所以選。點(diǎn)評：該題將計算蘊(yùn)涵于射影知識中，屬于難得的綜合題目。 例13（1）畫出下列幾何體的三視圖（2）解析：這二個幾何體的三視圖如下（2）如圖，設(shè)所給的方向?yàn)槲矬w的正前方，試畫出它的三視圖（單位：cm）點(diǎn)評：畫三視圖之前，應(yīng)把幾何體的結(jié)構(gòu)弄清楚，選擇一個合適的主視方向。一般先畫主視圖，其次畫俯視圖，最后畫左視圖。畫的時候把輪廓線要畫出來，被遮住的輪廓線要畫成虛線。物體上每一組成部分的三視圖都應(yīng)符合三條投射規(guī)

13、律。例14某物體的三視圖如下，試判斷該幾何體的形狀解析：該幾何體為一個正四棱錐分析：三視圖是從三個不同的方向看同一物體得到的三個視圖。點(diǎn)評：主視圖反映物體的主要形狀特征，主要體現(xiàn)物體的長和高，不反映物體的寬。而俯視圖和主視圖共同反映物體的長要相等。左視圖和 俯視圖共同反映物體的寬要相等。據(jù)此就不難得出該幾何體的形狀。二、空間幾何體的表面積和體積1多面體的面積和體積公式：名稱側(cè)面積(S側(cè))全面積(S全)體 積(V)棱柱棱柱直截面周長×lS側(cè)+2S底S底·h=S直截面·h直棱柱chS底·h棱錐棱錐各側(cè)面積之和S側(cè)+S底S底·h正棱錐ch棱臺棱臺各側(cè)

14、面面積之和S側(cè)+S上底+S下底h(S上底+S下底+)正棱臺 (c+c)h表中S表示面積，c、c分別表示上、下底面周長，h表斜高，h表示斜高，l表示側(cè)棱長。2旋轉(zhuǎn)體的面積和體積公式：名稱圓柱圓錐圓臺球S側(cè)2rlrl(r1+r2)lS全2r(l+r)r(l+r)(r1+r2)l+(r21+r22)4R2Vr2h(即r2l)r2hh(r21+r1r2+r22)R3表中l(wèi)、h分別表示母線、高，r表示圓柱、圓錐與球冠的底半徑，r1、r2分別表示圓臺 上、下底面半徑，R表示半徑。3探究柱、錐、臺的體積公式：1、棱柱（圓柱）可由多邊形（圓）沿某一方向平移得到，因此，兩個底面積相等、高也相等的棱柱（圓柱）應(yīng)該

15、具有相等的體積 柱體（棱柱、圓柱）的體積等于它的底面積和高的積，即2、類似于柱體，底面積相等、高也相等的兩個錐體，它們的體積也相等棱錐的體積公式可把一個棱柱分成三個全等的棱錐得到，由于底面積為，高為的棱柱的體積，所以3、臺體（棱臺、圓臺）的體積可以轉(zhuǎn)化為錐體的體積來計算如果臺體的上、下底面面積分別為，高為，可以推得它的體積是4、柱體、錐體、臺體的體積公式之間關(guān)系如下：4探究球的體積與面積公式：1球的體積：（1）比較半球的體積與其等底等高的旋轉(zhuǎn)體的體積結(jié)論：（2）利用“倒沙實(shí)驗(yàn)”，探索底面半徑和高都為球半徑的圓柱、圓錐與半球三者體積之間的關(guān)系（課件演示）結(jié)論：（3）得到半徑是的球的體積公式：結(jié)論

16、：2球的表面積：由于球的表面是曲面,不是平面,所以球的表面積無法利用展開圖來求.該如何求球的表面積公式?是否也可借助分割思想來推導(dǎo)呢?（課件演示）O 圖1 O（1）若將球表面平均分割成n個小塊,則每小塊表面可近似看作一個平面,這n小塊平面面積之和可近似看作球的表面積.當(dāng)n趨近于無窮大時,這n小塊平面面積之和接近于甚至等于球的表面積.（2）若每小塊表面看作一個平面,將每小塊平面作為底面,球心作為頂點(diǎn)便得到n個棱錐,這些棱錐體積之和近似為球的體積.當(dāng)n越大,越接近于球的體積,當(dāng)n趨近于無窮大時就精確到等于球的體積. （3）半徑為R的球的表面積公式： 結(jié)論： 例題講解：例1一個長方體全面積是20cm

17、2，所有棱長的和是24cm，求長方體的對角線長.解析：設(shè)長方體的長、寬、高、對角線長分別為xcm、ycm、zcm、lcm依題意得： 由（2）2得：x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36（3）由（3）（1）得x2+y2+z2=16即l2=16所以l=4(cm)。點(diǎn)評：涉及棱柱面積問題的題目多以直棱柱為主，而直棱柱中又以正方體、長方體的表面積多被考察。我們平常的學(xué)習(xí)中要多建立一些重要的幾何要素（對角線、內(nèi)切）與面積、體積之間的關(guān)系。例2如圖1所示，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3，ABAD，A1AB=A1AD=。（1）求證：頂點(diǎn)A1在底面ABCD上

18、的射影O在BAD的平分線上；（2）求這個平行六面體的體積。圖1 圖2解析：（1）如圖2，連結(jié)A1O，則A1O底面ABCD。作OMAB交AB于M，作ONAD交AD于N，連結(jié)A1M，A1N。由三垂線定得得A1MAB，A1NAD。A1AM=A1AN，RtA1NARtA1MA,A1M=A1N，從而OM=ON。點(diǎn)O在BAD的平分線上。（2）AM=AA1cos=3×=AO=。又在RtAOA1中，A1O2=AA12 AO2=9=，A1O=，平行六面體的體積為。例3一個長方體共一頂點(diǎn)的三個面的面積分別是，這個長方體對角線的長是（ ）A2 B3 C6 D解析：設(shè)長方體共一頂點(diǎn)的三邊長分別為a=1，b，

19、c，則對角線l的長為l=；答案D。點(diǎn)評：解題思路是將三個面的面積轉(zhuǎn)化為解棱柱面積、體積的幾何要素棱長。例4如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，若E、F分別為AB、AC 的中點(diǎn)，平面EB1C1將三棱柱分成體積為V1、V2的兩部分，那么V1V2= _ _。解析：設(shè)三棱柱的高為h，上下底的面積為S，體積為V，則V=V1+V2Sh。E、F分別為AB、AC的中點(diǎn)，SAEF=S,V1=h(S+S+)=ShV2=Sh-V1=Sh，V1V2=75。點(diǎn)評：解題的關(guān)鍵是棱柱、棱臺間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，建立起求解體積的幾何元素之間的對應(yīng)關(guān)系。最后用統(tǒng)一的量建立比值得到結(jié)論即可。題型3：錐體的體積和表面積PABCDOE例5（2

20、006上海，19）在四棱錐PABCD中，底面是邊長為2的菱形，DAB60，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，PO平面ABCD，PB與平面ABCD所成的角為60，求四棱錐PABCD的體積？解析：（1）在四棱錐P-ABCD中，由PO平面ABCD,得PBO是PB與平面ABCD所成的角，PBO=60°。在RtAOB中BO=ABsin30°=1, 由POBO，于是PO=BOtan60°=，而底面菱形的面積為2。四棱錐PABCD的體積V=×2×=2。點(diǎn)評：本小題重點(diǎn)考查線面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱錐的體積。在能力方面主要考查空間想象能力。題型4：錐體

21、體積、表面積綜合問題例7ABCD是邊長為4的正方形，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，GB垂直于正方形ABCD所在的平面，且GC2，求點(diǎn)B到平面EFC的距離？解析：如圖，取EF的中點(diǎn)O，連接GB、GO、CD、FB構(gòu)造三棱錐BEFG。設(shè)點(diǎn)B到平面EFG的距離為h，BD，EF，CO。 。而GC平面ABCD，且GC2。由，得·點(diǎn)評：該問題主要的求解思路是將點(diǎn)面的距離問題轉(zhuǎn)化為體積問題來求解。構(gòu)造以點(diǎn)B為頂點(diǎn)，EFG為底面的三棱錐是解此題的關(guān)鍵，利用同一個三棱錐的體積的唯一性列方程是解這類題的方法，從而簡化了運(yùn)算。例8（2006江西理，12）如圖，在四面體ABCD中，截面AEF經(jīng)過四面體的內(nèi)切球

22、（與四個面都相切的球）球心O，且與BC，DC分別截于E、F，如果截面將四面體分成體積相等的兩部分，設(shè)四棱錐ABEFD與三棱錐AEFC的表面積分別是S1，S2，則必有（ ）AS1<S2 BS1>S2CS1=S2 DS1，S2的大小關(guān)系不能確定解析：連OA、OB、OC、OD，則VABEFDVOABDVOABEVOBEFDVAEFCVOADCVOAECVOEFC又VABEFDVAEFC，而每個三棱錐的高都是原四面體的內(nèi)切球的半徑，故SABDSABESBEFDSADCSAECSEFC又面AEF公共，故選C點(diǎn)評：該題通過復(fù)合平面圖形的分割過程，增加了題目處理的難度，求解棱錐的體積、表面積首先

23、要轉(zhuǎn)化好平面圖形與空間幾何體之間元素間的對應(yīng)關(guān)系。例10（1）（1998全國，9）如果棱臺的兩底面積分別是S、S，中截面的面積是S0，那么（ ）A B C2S0SS DS022SS（2）（1994全國，7）已知正六棱臺的上、下底面邊長分別為2和4，高為2，則其體積為（ ）A32 B28 C24 D20解析（1）解析：設(shè)該棱臺為正棱臺來解即可，答案為A；（2）正六棱臺上下底面面積分別為：S上6··226，S下6··4224，V臺，答案B。點(diǎn)評：本題考查棱臺的中截面問題。根據(jù)選擇題的特點(diǎn)本題選用“特例法”來解，此種解法在解選擇題時很普遍，如選用特殊值、特殊點(diǎn)

24、、特殊曲線、特殊圖形等等。題型6：圓柱的體積、表面積及其綜合問題例11（2000全國理，9）一個圓柱的側(cè)面積展開圖是一個正方形，這個圓柱的全面積與側(cè)面積的比是（ ）A B C D解析：設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，則由題設(shè)知h=2r.S全=2r2+（2r）2=2r2（1+2）.S側(cè)=h2=42r2，。答案為A。點(diǎn)評：本題考查圓柱的側(cè)面展開圖、側(cè)面積和全面積等知識。例12（2003京春理13，文14）如圖99，一個底面半徑為R的圓柱形量杯中裝有適量的水.若放入一個半徑為r的實(shí)心鐵球，水面高度恰好升高r，則= 。解析：水面高度升高r，則圓柱體積增加R2·r。恰好是半徑為r的實(shí)心鐵球的體積

25、，因此有r3=R2r。故。答案為。點(diǎn)評：本題主要考查旋轉(zhuǎn)體的基礎(chǔ)知識以及計算能力和分析、解決問題的能力。例13（1）（2002京皖春，7）在ABC中，AB=2，BC=1.5，ABC=120°（如圖所示），若將ABC繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積是（ ）A BC D（2）（2001全國文，3）若一個圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為，則這個圓錐的全面積是（ ）圖A3 B3 C6 D9解析：（1）如圖所示，該旋轉(zhuǎn)體的體積為圓錐CADE與圓錐BADE體積之差，又求得AB=1。，答案D。（2）Sabsin，a2sin60°，a24，a2，a=2r，r1，S全2rr223

26、，答案A。點(diǎn)評：通過識圖、想圖、畫圖的角度考查了空間想象能力。而對空間圖形的處理能力是空間想象力深化的標(biāo)志，是高考從深層上考查空間想象能力的主要方向。例14（2000全國文，12）如圖所示，OA是圓錐底面中心O到母線的垂線，OA繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得曲面將圓錐分成相等的兩部分，則母線與軸的夾角的余弦值為（ ）A B C D解析：如圖所示，由題意知，r2hR2h，圖r 又ABOCAO，OA2r·R，cos，答案為D。點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查柱體、錐體的體積公式及靈活的運(yùn)算能力。例15已知過球面上三點(diǎn)的截面和球心的距離為球半徑的一半，且，求球的表面積。解析：設(shè)截面圓心為，連結(jié)，設(shè)球半徑為，則，在中，

27、。點(diǎn)評：正確應(yīng)用球的表面積公式，建立平面圓與球的半徑之間的關(guān)系。例16如圖所示，球面上有四個點(diǎn)P、A、B、C，如果PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA=PB=PC=a，求這個球的表面積。解析：如圖，設(shè)過A、B、C三點(diǎn)的球的截面圓半徑為r，圓心為O，球心到該圓面的距離為d。在三棱錐PABC中，PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA=PB=PC=a,AB=BC=CA=a,且P在ABC內(nèi)的射影即是ABC的中心O。由正弦定理，得 =2r,r=a。又根據(jù)球的截面的性質(zhì)，有OO平面ABC，而PO平面ABC，P、O、O共線，球的半徑R=。又PO=a，OO=R a=d=,(Ra)2=R2 (a)2，解得R=a,

28、S球=4R2=3a2。點(diǎn)評：本題也可用補(bǔ)形法求解。將PABC補(bǔ)成一個正方體，由對稱性可知，正方體內(nèi)接于球，則球的直徑就是正方體的對角線，易得球半徑R=a,下略。例17（2006四川文，10）如圖，正四棱錐底面的四個頂點(diǎn)在球的同一個大圓上，點(diǎn)在球面上，如果，則球的表面積是（ ）A B C D（2）半球內(nèi)有一個內(nèi)接正方體，正方體的一個面在半球的底面圓內(nèi)，若正方體棱長為，求球的表面積和體積。解析：（1）如圖，正四棱錐底面的四個頂點(diǎn)在球的同一個大圓上，點(diǎn)在球面上，PO底面ABCD，PO=R，所以，R=2，球的表面積是，選D。（2）作軸截面如圖所示，設(shè)球半徑為，則 ，。點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查球截面的性質(zhì)以及

29、球面積公式，解題的關(guān)鍵是將多面體的幾何要素轉(zhuǎn)化成球的幾何要素。例19（1）我國首都靠近北緯緯線，求北緯緯線的長度等于多少？（地球半徑大約為）（2）在半徑為的球面上有三點(diǎn)，求球心到經(jīng)過這三點(diǎn)的截面的距離。解析：（1）如圖，是北緯上一點(diǎn)，是它的半徑，設(shè)是北緯的緯線長，答：北緯緯線長約等于（2）解：設(shè)經(jīng)過三點(diǎn)的截面為，設(shè)球心為，連結(jié)，則平面，所以，球心到截面距離為例20在北緯圈上有兩點(diǎn)，設(shè)該緯度圈上兩點(diǎn)的劣弧長為（為地球半徑），求兩點(diǎn)間的球面距離。解析：設(shè)北緯圈的半徑為，則，設(shè)為北緯圈的圓心，中，所以，兩點(diǎn)的球面距離等于點(diǎn)評：要求兩點(diǎn)的球面距離，必須先求出兩點(diǎn)的直線距離，再求出這兩點(diǎn)的球心角，進(jìn)而求

30、出這兩點(diǎn)的球面距離。第一章 檢測題1長方體ABCD-A1B1C1D1的AB=3，AD=2，CC1=1，一條繩子從A沿著表面拉到點(diǎn)C1，繩子的最短長度是（） A+1 B C D2若球的半徑為R，則這個球的內(nèi)接正方體的全面積等于（）A8R2 B 9R2 C10R2 D12R23邊長為5cm的正方形EFGH是圓柱的軸截面, 則從E點(diǎn)沿圓柱的側(cè)面到相對頂點(diǎn)G的最短距離是（） A 10cm B 5cm C 5cm Dcm4球的大圓面積擴(kuò)大為原大圓面積的4倍，則球的表面積擴(kuò)大成原球面積的（ ） A2倍 B 4倍 C 8倍 D16倍5三個球的半徑之比為1：2：3，那么最大球的表面積是其余兩個球的表面積之和的

31、（ ） A1倍 B2倍 C1倍 D1倍6正方體的全面積是a2,它的頂點(diǎn)都在球面上，這個球的表面積是（ ） A B C D 7兩個球的表面積之差為48,它們的大圓周長之和為12,這兩個球的半徑之差為（ ）A4 B 3 C 2 D 18已知正方體的棱長為a，過有公共頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)的截面分別截去8個角，則剩余部分的體積是（ ）Aa3 Ba3 Ca3 Da39.正方形ABCD的邊長為1，E、F分別為BC、CD的中點(diǎn)，沿AE，EF，AF折成一個三棱錐，使B，C，D三點(diǎn)重合，那么這個三棱錐的體積為（ ） A B C D10.棱錐V-ABC的中截面是A1B1C1，則三棱錐V-A1B1C1與三棱錐A-A1BC的體積之比是（ ） A1：2 B 1：4 C1：6