高等數(shù)學講義(二)

1、第3講 導數(shù)與微分高等數(shù)學基礎課程的主要研究對象是函數(shù)，函數(shù)是變量之間的對應關系，怎樣研究函數(shù)的變化是這一講的主要問題。3.1 導數(shù)的概念一、函數(shù)的變化率對于函數(shù)，我們要研究怎樣隨變化，進一步我們還要研究變化的速率，可以先看看下面這個圖我們可以看出，對于相同的自變量的改變量，所對應的函數(shù)改變量是不同的?？梢员硎咀兓乃俾?，但這是一個平均速率，怎樣考慮函數(shù)在一點的變化率呢？二、導數(shù)的概念根據(jù)前面的介紹，我們給出下面的定義。定義3.1 設函數(shù)在點及其某個鄰域內(nèi)有定義，對應于自變量在處的改變量，函數(shù)相應的改變量為，如果當時極限存在，則此極限值稱為函數(shù)在點處的導數(shù)，或在點處函數(shù)關于自變量的變化率，記作

2、，或這時，稱函數(shù)在點處是可導的。 根據(jù)導數(shù)定義，我們來求一些基本初等函數(shù)的導數(shù)。例1 根據(jù)導數(shù)定義求在點處的導數(shù)。解 根據(jù)定義求導數(shù)通常分三步：（）求：（）求：（）求：因此得出。 如果函數(shù)在其定義域內(nèi)每一點都可導，那么我們就得到了一個新的函數(shù)，稱為的導函數(shù)。在點的函數(shù)值就是在點的導數(shù)。例2 根據(jù)導數(shù)定義求在點處的導數(shù)。解 按照由定義求導數(shù)的步驟： 因此得出。例3 根據(jù)導數(shù)定義求（為自然數(shù)）在點處的導數(shù)。解 按照由定義求導數(shù)的步驟： 因此得出。 可以看出上例的結果與本例的結果是一致的。例4 根據(jù)導數(shù)定義求在點處的導數(shù)。解 按照由定義求導數(shù)的步驟： 因此得出。這個結果可以寫成。例5 根據(jù)導數(shù)定義求

3、在點處的導數(shù)。解 按照由定義求導數(shù)的步驟： 因此得出。這個結果可以寫成 從這兩個例子可以看出公式不僅在為自然數(shù)時成立，而且當和時也成立。因此我們不妨認為對任意實數(shù)，有。 下面再來看一下利用重要極限求基本初等函數(shù)導數(shù)的例子，為此先給出第2個重要極限的另一種形式的另一種形式是另外，記稱為自然對數(shù)。例6 根據(jù)導數(shù)定義求在點處的導數(shù)。解 按照由定義求導數(shù)的步驟： 注意到，當時有，設，第2個重要極限公式有且是連續(xù)函數(shù)，所以有 因此得出。例7 根據(jù)導數(shù)定義求在點處的導數(shù)。解 按照由定義求導數(shù)的步驟： 注意到，當時有，設，據(jù)第1個重要極限公式有且是連續(xù)函數(shù)，所以有 因此得出。下面我們給出基本初等函數(shù)的導數(shù)公

4、式 三、導數(shù)的幾何意義從下面這個圖中我們可以看出，函數(shù)在點處的導數(shù)，就是函數(shù)曲線在過點處的切線的斜率。這樣便可得到切線的方程 例8求函數(shù)在點處的切線方程。解 ，所以。由此得切線方程即。定理3.1 若函數(shù)在點處可導，則在連續(xù)。證 由于由定理2.1，有其中是無窮小量。上式可寫成由此得 定理3.1的結論是不可逆的，例如函數(shù)在點連續(xù)，但在該點不可導。3.2 求導法一、導數(shù)的四則運算法則我們可以看出，由定義求導是很復雜的，有了基本導數(shù)公式后也并未使求導的范圍擴大多少，為此我們給出下面的運算法則：設函數(shù)和在點處可導，則有上述公式我們稱為導數(shù)的四則運算法則。根據(jù)第3個公式還可以得到，若函數(shù)在點處可導，為任意

5、常數(shù)，則有對于導數(shù)的四則運算法則，我們僅就加法和乘法法則加以驗證：因為所以 即 又因為 所以即 例9求下列函數(shù)的導數(shù)： 解 利用導數(shù)四則運算法則和基本導數(shù)公式進行計算： 二、復合函數(shù)導求導法則有了導數(shù)四則運算法則以后，可以求導的函數(shù)類型被大大地擴充了。但仍有我們無法解決的類型，如，等函數(shù)。定理3.5 設函數(shù)，且在點處可導，在相應的點處可導，則復合函數(shù)在點處可導，且簡單驗證這個定理。由于在 點處可導，則在點處連續(xù)，因此有。故有由導數(shù)定義得到 稱定理3.5為復合函數(shù)求導法則，也稱為鏈鎖法則。例10求下列函數(shù)的導數(shù)： 解 利用復合函數(shù)求導法則進行計算：設，有 設，有 設，有 設，有 例11設，求。解

6、 因為 設，有。由復合函數(shù)求導法則得 三、隱函數(shù)導求導法在下面的方程中的值可以隨著的值而確定，即是的函數(shù)。但無法表示成的表達式，這種函數(shù)關系稱為隱函數(shù)。例12由方程所確定的函數(shù)，求。解 等式兩端同時對自變量求導， 左端： 右端：由此得解出，得例13設，求。解 由已知條件可得等式兩端同時對自變量求導， 左端： 右端：由此得解出，得例14設，求。解 由已知條件可得等式兩端同時對自變量求導， 左端： 右端：由此得解出，得例15設，求。解 由已知條件可得等式兩端同時對自變量求導， 左端： 右端：由此得解出，得3.3 微分一、微分的概念 在前面的討論中，對于函數(shù)，我們經(jīng)常遇到函數(shù)的改變量，也就是從上式的

7、右端看函數(shù)的改變量是自變量改變量的函數(shù)，這種函數(shù)關系一般來說是復雜的，能否將這種復雜的關系用簡單的關系來近似呢？結論是在可導的情況下是可以的，因為此時有即稱為函數(shù)在點處的微分，記為。即 或例16求下列函數(shù)的微分： 解 利用微分定義式： 由的結果得到。因此微分又可記為 或 根據(jù)上式，導數(shù)的符號又可記為 或 微分的幾何意義由下面的圖形可以看出二、微分的運算法則 微分的運算與導數(shù)運算關系密切，與導數(shù)運算類似，微分也有四則運算法則及 三、一階微分形式不變性如果函數(shù)，且在點處可導，在相應的點處可導，那么對于復合函數(shù)在點的微分就有兩種表達方式，即 形式上看以上兩種表示之間似乎存在區(qū)別，進一步看以上結果稱為

8、一階微分形式不變性。例17設，求。解 利用一階微分形式不變性得 由此得例18由方程所確定的函數(shù)，求。解 利用微分運算法則和一階微分形式不變性，等式兩端分別求微分得 左端： 右端：由此得整理得得注意到本例的結果與例12是相同的。3.4 高階導數(shù)在本章的開始，我們曾提到如果函數(shù)在其定義域內(nèi)每一點都可導，那么我們就得到了一個新的函數(shù)，稱為的導函數(shù)（或一階導函數(shù)）。若在點處可導，即存在，則稱此極限為在點處的二階導數(shù)，記為 或 或 就是說 仿此我們可以定義函數(shù)的階導數(shù)，并記為 或 或 例17設，求。解 利用基本導數(shù)公式得 第4講 導數(shù)應用在這一講中，我們要進一步應用導數(shù)這一工具來研究函數(shù)的性質(zhì)。4.1

9、中值定理下面介紹的這個定理是第4章中的一個核心定理，本章幾乎所有結論都圍繞它而產(chǎn)生。定理4.2 （拉格朗日（Lagrange）定理）設在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導，則在內(nèi)至少存在一點，使得， 對拉格朗日定理，我們利用下面的圖形加以說明這里需要指出，定理中的條件是不可缺少的。以下經(jīng)常將此定理敘述為如下形式：設在開區(qū)間內(nèi)可導，對任意，則介于與之間至少存在一點，使得推論1 設函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導，且，則在該區(qū)間內(nèi)是一個常值函數(shù)： （為常數(shù)）推論2 設函數(shù)和在區(qū)間內(nèi)可導，且，則和相差一個常數(shù)： 推論2的證明可以借助于輔助函數(shù)。 4.3 函數(shù)的單調(diào)性和極值 在這里我們利用一階導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性。一、函數(shù)

10、的單調(diào)性定理4.5設函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導，如果在內(nèi)，則在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)上升；如果在內(nèi)，則在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)下降。證 對任意的且時，由拉格朗日定理知存在使得由已知，所以，即，也就是因此可知在區(qū)間內(nèi)單調(diào)上升。同理可證在區(qū)間內(nèi)單調(diào)下降。例1 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。解 觀察可以看出，當時，當時，當時， 綜上可知的單調(diào)上升區(qū)間是和；單調(diào)下降區(qū)間是。例2 說明函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性。解 觀察可以看出，當時，當時， 所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)下降；在區(qū)間內(nèi)單調(diào)上升。二、函數(shù)的極值定義4.1設函數(shù)在點的一個鄰域內(nèi)有定義，如果當時恒有則稱是的極大值點，稱為的極大值。如果當時恒有則稱是的極小值點，稱為的極小值。 注意下圖，很多結論可以

11、用它來做幾何解釋。 通過觀察我們直接給出下面的結論。定理4.6（極值點的必要條件）設函數(shù)在點的一個鄰域內(nèi)有定義，且是的極值點，如果在可導，則 我們將滿足的點稱為的駐點。從上圖中看到，駐點不一定是極值點（如），極值點也不一定是駐點（如）。定理4.6的意義在于函數(shù)的極值點只存在于它的駐點或不可導點當中。定理4.7（極值點的充分條件）設函數(shù)在點及其鄰域內(nèi)可導，且。如果在兩側的符號相同，則不是的極值點，如果在兩側的符號相反，則是的極值點。進而，如果在左側為正，在右側為負，則是的極大值點。如果在左側為負，在右側為正，則是的極小值點。求極值點的步驟首先求的導數(shù)，找出所有駐點和不可導點；對所有駐點和不可導點

12、進行判斷以找出極值點；進一步確定它們是極大值點還是極小值點。例3 求函數(shù)的極值點。解 因為所有令，得，。對，左正右負，所以是的極大值點。對，左負右正，所以是的極小值點。三、最大值最小值問題設函數(shù)的定義域為，若存在（或），使對任意有 （或）則稱（或）為的最大值點（或最小值點），稱（或）為的最大值（或最小值）。 仍由前圖看出，最大值點不一定是極大值點（如），極大值點也不一定是最大值點（如）。求函數(shù)最大值點的步驟首先求出的所有極大值點；找出取值最大的極大值點；將取值最大的極大值點的函數(shù)值與定義區(qū)間端點的函數(shù)值比較，取值最大的點即為最大值點。 求函數(shù)最小值點的步驟與上類似。例4 求函數(shù)在區(qū)間上的最大值

13、點和最小值點。解 因為所有令，得。比較函數(shù)值得， ， 由此可知是在區(qū)間上的最大值點，是最小值點。例5 求曲線上的點，使其到點的距離最短。解 曲線上的點到點的距離公式為與在同一點取到最大值，為計算方便求的最大值點，將代入得令 求導得令得并由此解出，即曲線上的點和點到點的距離最短。例6圓柱體上底的中心到下底的邊沿的距離為l，問當?shù)装霃脚c高分別為多少時，圓柱體的體積最大？解 如圖所示，圓柱體高與底半徑滿足hrl 圓柱體的體積公式為 將代入得 求導得 令得，并由此解出即當?shù)装霃?，高時，圓柱體的體積最大。例7 從面積為的一切矩形中，求周長最小的矩形的邊長。解 設矩形的邊長分別為，周長為，則有由矩形面積公式得代入面積公式得令得（舍去），。即當矩形的邊長時，矩形的周長最小。4.5 函數(shù)的凹凸 在這里我們利用二階導數(shù)討論函數(shù)的凹凸性。定義4.2設函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導，如果曲線上每一點處的切線都位于該曲線的下方（或上方），則稱曲線在區(qū)間內(nèi)是凹（或凸）的。凹凸的幾何意義如下圖所示定理4.9設函