高等數(shù)學(xué)經(jīng)典求極限方法

1、求極限的各種方法1約去零因子求極限例1：求極限【說明】表明無限接近，但，所以這一零因子可以約去?！窘狻?42分子分母同除求極限例2：求極限【說明】型且分子分母都以多項式給出的極限,可通過分子分母同除來求?！窘狻俊咀ⅰ?1) 一般分子分母同除的最高次方；(2) 3分子(母)有理化求極限例3：求極限【說明】分子或分母有理化求極限，是通過有理化化去無理式?！窘狻坷?：求極限【解】【注】本題除了使用分子有理化方法外，及時分離極限式中的非零因子是解題的關(guān)鍵4應(yīng)用兩個重要極限求極限兩個重要極限是和，第一個重要極限過于簡單且可通過等價無窮小來實現(xiàn)。主要考第二個重要極限。例5：求極限【說明】第二個重要極限主要

2、搞清楚湊的步驟：先湊出，再湊，最后湊指數(shù)部分。【解】例6：(1)；(2)已知，求。5用等價無窮小量代換求極限【說明】(1)常見等價無窮小有：當(dāng) 時,；(2)等價無窮小量代換,只能代換極限式中的因式；(3)此方法在各種求極限的方法中應(yīng)作為首選。例7：求極限【解】 .例8：求極限【解】6用洛必達法則求極限例9：求極限【說明】或型的極限,可通過洛必達法則來求?！窘狻俊咀ⅰ吭S多變動上顯的積分表示的極限，常用洛必達法則求解例10：設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，且，求極限【解】 由于,于是 =7用對數(shù)恒等式求極限 例11：極限 【解】 =【注】對于型未定式的極限，也可用公式=因為例12：求極限.【解1】 原式 【解

3、2】 原式 8利用Taylor公式求極限 例13 求極限 .【解】 , ; .例14 求極限.【解】 .9數(shù)列極限轉(zhuǎn)化成函數(shù)極限求解例15：極限【說明】這是形式的的數(shù)列極限，由于數(shù)列極限不能使用洛必達法則，若直接求有一定難度，若轉(zhuǎn)化成函數(shù)極限，可通過7提供的方法結(jié)合洛必達法則求解?！窘狻靠紤]輔助極限所以，10n項和數(shù)列極限問題n項和數(shù)列極限問題極限問題有兩種處理方法(1)用定積分的定義把極限轉(zhuǎn)化為定積分來計算;(2)利用兩邊夾法則求極限.例16：極限【說明】用定積分的定義把極限轉(zhuǎn)化為定積分計算,是把看成0,1定積分?！窘狻吭嚼?7：極限【說明】(1)該題遇上一題類似，但是不能湊成的形式，因而用兩邊夾法則求解； (2) 兩邊夾法則需要放大不等式，常用的方法是都換成最大的或最小的?！窘狻恳驗橛炙?2單調(diào)有界數(shù)列的極限問題例18：設(shè)數(shù)列滿足（）證明存在，并求該極限；（）計算. 【分析】 一般利用單調(diào)增加有上界或單調(diào)減少有下界數(shù)列必有極限的準(zhǔn)則來證明數(shù)列極限的存在. 【詳解】 （）因為，則.可推得，則數(shù)列有界.于是，（因當(dāng)）， 則有，可見數(shù)列單調(diào)減少，故由單調(diào)減