隨機(jī)過(guò)程習(xí)題答案

1、隨機(jī)過(guò)程習(xí)題解答（一） 第一講作業(yè)： 1、設(shè)隨機(jī)向量的兩個(gè)分量相互獨(dú)立，且均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。 （a）分別寫(xiě)出隨機(jī)變量 和 的分布密度 （b）試問(wèn)： 與 是否獨(dú)立？說(shuō)明理由。 解：（a） （b）由于： 因此是服從正態(tài)分布的二維隨機(jī)向量，其協(xié)方差矩陣為： 因此 與 獨(dú)立。 2、設(shè) 和 為獨(dú)立的隨機(jī)變量，期望和方差分別為和。 （a）試求 和 的相關(guān)系數(shù)； （b） 與 能否不相關(guān)？能否有嚴(yán)格線性函數(shù)關(guān)系？若能，試分別寫(xiě)出條件。 解：（a）利用的獨(dú)立性，由計(jì)算有： （b）當(dāng) 的時(shí)候， 和 線性相關(guān)，即 3、設(shè)是一個(gè)實(shí)的均值為零，二階矩存在的隨機(jī)過(guò)程，其相關(guān)函數(shù)為，且是一個(gè)周期為T(mén)的函數(shù)，即 ， 試求方

2、差函數(shù)。 解：由定義，有： 4、考察兩個(gè)諧波隨機(jī)信號(hào)和，其中： 式中和 為正的常數(shù)； 是 內(nèi)均勻分布的隨機(jī)變量， 是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量。 （a）求的均值、方差和相關(guān)函數(shù)； （b）若 與 獨(dú)立，求與Y的互相關(guān)函數(shù)。 解：（a） （b） 第二講作業(yè)： P33/2解： 其中為整數(shù)， 為脈寬 從而有一維分布密度： P33/3解：由周期性及三角關(guān)系，有： 反函數(shù) ，因此有一維分布： P35/4. 解：(1) 其中 由題意可知，的聯(lián)合概率密度為： 利用變換： ，及雅克比行列式： 我們有 的聯(lián)合分布密度為： 因此有： 且V和 相互獨(dú)立獨(dú)立。 （2）典型樣本函數(shù)是一條正弦曲線。 （3）給定一時(shí)刻，由于 獨(dú)

3、立、服從正態(tài)分布，因此 也服從正態(tài)分布，且 所以 。 （4） 由于： 所以 因此當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 由（1）中的結(jié)論，有： P36/7證明： (1) (2) 由協(xié)方差函數(shù)的定義，有： （2）P37/10. 解：（1） 當(dāng)i=j 時(shí)；否則 令 ，則有 第三講作業(yè)： P111/7解： （1）是齊次馬氏鏈。經(jīng)過(guò)次交換后，甲袋中白球數(shù)僅僅與次交換后的狀態(tài)有關(guān)，和之前的狀態(tài)和交換次數(shù)無(wú)關(guān)。 （2）由題意，我們有一步轉(zhuǎn)移矩陣： P111/8解：（1）由馬氏鏈的馬氏性，我們有： （2）由齊次馬氏鏈的性質(zhì)，有： ， 因此： P112/9解： （1） （2）由（1）的結(jié)論，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，遞推可得： ； 計(jì)算有： ，遞

4、推得到，因此有： P112/11解：矩陣 的特征多項(xiàng)式為： 由此可得特征值為： ，及特征向量： 令矩陣， 則有：因此有： P112/12解： 設(shè)一次觀察今天及前兩天的天氣狀況，將連續(xù)三天的天氣狀況定義為馬氏鏈的狀態(tài)，則此問(wèn)題就是一個(gè)馬氏鏈，它有8個(gè)狀態(tài)。記每天天晴為0，下雨為1，則此鏈的狀態(tài)可以由三位二進(jìn)制數(shù)表示。如三天晴為000，為狀態(tài)0；第一天晴，第二天晴，第三天雨為001，為狀態(tài)1；第一天晴，第二天雨，第三天晴為010，為狀態(tài)2；第一天晴，后兩天陰為011，為狀態(tài)3，等等。根據(jù)題目條件，得到一步轉(zhuǎn)移矩陣如下： 第四講作業(yè)： P113/13解：畫(huà)出狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖，有： P113/14. 解：畫(huà)

5、出狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖，有： P113/16解：畫(huà)出狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖，有： （1）由于三個(gè)狀態(tài)都是相通的，所以三個(gè)狀態(tài)都是常返態(tài)。 （3）狀態(tài)3、4無(wú)法和其他狀態(tài)相通，組成一個(gè)閉集，且 ，所以狀態(tài)3、4為常返態(tài)；另外狀態(tài)0、2相通組成一個(gè)閉集，且，故狀態(tài)0、2是常返態(tài)；因?yàn)椋?，所以狀態(tài)1為非常返態(tài)。 （4）0、1相通作成一閉集，且，故0、1為常返態(tài)；又，因此，故2為常返態(tài)； ，故3、4為非常返態(tài)。 第六講作業(yè)： P115/17解：（1）一步轉(zhuǎn)移矩陣為： （2）當(dāng)時(shí)，由計(jì)算可得，因此可由以下方程組計(jì)算極限分布： 解得極限分布即可。 P115/18解：由第七題的結(jié)果，計(jì)算可得：， 因此可計(jì)算極限分布如下： 解以

6、上方程，得極限分布： P115/19解：見(jiàn)課上講稿。 P116/21解：記 ，則有： （1）因?yàn)椋?(A) 當(dāng)時(shí)，有： 由（A）可得： 當(dāng)且時(shí)，有： 由（A）可得： 當(dāng)且時(shí)，有： 由（A）可得： 另外：下列等式是明顯的 因此我們有： 即是一齊次馬氏鏈。一步轉(zhuǎn)移矩陣為： （2）畫(huà)出轉(zhuǎn)移矩陣圖，可得： 由：及，并且取，由遞歸可得： （3）由于： 因此，零狀態(tài)是正常返的，由相通性，故所有狀態(tài)都是正常返的，即此馬氏鏈?zhǔn)遣豢杉s的。 （4）由馬氏鏈的無(wú)后效性，可知此時(shí)的T就是零狀態(tài)到零狀態(tài)的首達(dá)時(shí)間。因此我們有： 隨機(jī)過(guò)程習(xí)題解答（二）P228/1。證明：由于，有其中所以證畢。P229/3. 解：（1）因

7、為是一Poission過(guò)程，由母函數(shù)的定義，有：（2）有上面（1）的結(jié)果，可得：（3）當(dāng)充分小時(shí)，由于：因此，當(dāng)時(shí)，有：由（2）的結(jié)果，我們有：P229/4. 解：（1）由上面3題的結(jié)果（3），我們有：（2）由于是隨機(jī)過(guò)程的母函數(shù)，且，將函數(shù)關(guān)于展開(kāi)成級(jí)數(shù)形式，我們可得：由母函數(shù)與分布函數(shù)的唯一性定理，可得：P230/8. 解：由特征函數(shù)的定義，我們有：令，則有： （*）若的概率分布為：則 （*）將（*）代入（*），我們有：P230/7. 解：先求的特征函數(shù)：由上面8題的結(jié)果，根據(jù)特征函數(shù)與分布函數(shù)的唯一性定理，可知是復(fù)合Poission過(guò)程。P231/10. 解：由于因?yàn)榈哪负瘮?shù)為：，由獨(dú)立

8、性，可知的母函數(shù)為：，所以是參數(shù)為的泊松過(guò)程，即因此我們有：P231/12. 解：（1）由令，有解得（2）由（1）知，服從參數(shù)為的泊松分布。P232/15. 解：（1）以表示時(shí)刻系統(tǒng)中不正常工作的信道數(shù)，則是一馬氏過(guò)程，其狀態(tài)空間為：，矩陣為：（2）令：則前進(jìn)方程為：（3）令：寫(xiě)出?？似绽士朔匠蹋杭从校鹤鯨aplace變換，令：則有：由上解得：其中：因此求即可。（4）P233/16. 解：（1）令表示時(shí)刻系統(tǒng)中正在用電的焊工數(shù)，則是一馬氏過(guò)程，其狀態(tài)空間為：。（2）矩陣為：（3）令：寫(xiě)出?？似绽士朔匠蹋海?）畫(huà)出狀態(tài)轉(zhuǎn)移率圖，可得時(shí)的平衡方程：由此可得：即有：由此可以求得：由 ，即可確定，最終

9、得到所要的結(jié)果。P233/17. 解：（1）由于：可以得到此過(guò)程的矩陣：令：寫(xiě)出?？似绽士朔匠蹋撼跏紬l件：。（2）由數(shù)學(xué)期望的定義：由此，我們有：即可得到描寫(xiě)的微分方程：（3）解上面的微分方程，我們有：P233/19. 解（1）根據(jù)題意得到矩陣為由福克普朗克方程得：（2）而因此左邊=右邊=左邊=右邊，證畢。（3）將代入左邊。（4）由，有即進(jìn)而有所以（5）令，由(4)的結(jié)論其中對(duì)應(yīng)的系數(shù)為所以（6）（7）由(5)的結(jié)論，知P236/24解：(1) 根據(jù)題意得矩陣由平衡方程，有因此有 ，進(jìn)而 因?yàn)樗裕?dāng) 時(shí)系統(tǒng)平穩(wěn)。(2)(3) 前次以概率重新排隊(duì)，第次以概率離開(kāi)，所以即為所求。(4)26解(1

10、) 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)為不工作機(jī)器的數(shù)量，則，得矩陣列出平衡方程其中：解得所以(2)P237/28. 解：（1）設(shè)泊松分布第個(gè)事件發(fā)生與第個(gè)事件發(fā)生的時(shí)間間隔的特征函數(shù)為：，則有：由于是獨(dú)立同分布的，根據(jù) 以及特征函數(shù)的性質(zhì)可知：因此可知是服從參數(shù)為的泊松分布，即：（2）由：可知：附：一階擬線性（線性）偏微分方程的解法：一階擬線性方程的一般形式：一階線性方程的一般形式：稱：或：為一階擬線性方程的特征方程。由此方程確定的曲線為特征曲線。一階擬線性方程的特征方程的解為積分曲面。有以下定理：定理：若特征曲線上一點(diǎn)位于積分曲面上，則整個(gè)位于上。初值問(wèn)題：給定初始曲線：，為參數(shù)。則一階擬線性方程的初值問(wèn)題的提法

11、是：求方程的解，使?jié)M足。我們有以下定理。定理：設(shè)曲線光滑，且，在點(diǎn)處行列式又設(shè)在附近光滑，則初始問(wèn)題：在參數(shù)的一鄰域內(nèi)存在唯一解。例：已知初始曲線，求初值問(wèn)題：解：由于：解常微分方程的初值問(wèn)題：得：由后兩式解出，并代入第一式，解得：P233/9. 解初值問(wèn)題：由于：解常微分方程的初值問(wèn)題：解得：在上面式子中消去參數(shù)，得初值問(wèn)題的解：P311/1. 解：（1）給定 時(shí)，有 （2）任取我們有： 所以Poission過(guò)程不是平穩(wěn)過(guò)程。 P311/2. 解：（1）由Poission過(guò)程的性質(zhì)，任取假定事件： 則有： ， 因此有： （2）由 ，且僅與有關(guān)，可知 是平穩(wěn)過(guò)程。 P312/3. 解：（1）由

12、均值的定義，我們有： （2）由相關(guān)函數(shù)的定義，任取，我們可得： P312/4. 解：為了解此題，先看下面的引理： 引理：設(shè)是服從正態(tài)分布的二維隨機(jī)變量，其概率密度為： 則 和Y取不同符號(hào)的概率為： 引理的證明： 令： 則有： 以上式子用了變換： 由： 因此只要求： 因此有： 由于此時(shí)： 我們即可得到結(jié)論。 P313/5. 證明：由于： 故 是寬平穩(wěn)過(guò)程。 分別取，則 ，因?yàn)?具有不同分布，所以不滿足一級(jí)嚴(yán)平穩(wěn)條件。 P314/10. 解：樣本函數(shù)不連續(xù)。令：，下面求相關(guān)函數(shù)： 因?yàn)椋?因此該過(guò)程是均方連續(xù)的隨機(jī)過(guò)程。 P314/11. 證明：令： ，則有 由車比雪夫不等式： P315/13.

13、證明：（1）令： ，由上題的結(jié)果可知： 因此有 （2）由相關(guān)函數(shù)的定義及（1）的結(jié)果，有 P316/17. 解：（1）由均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)的定義，我們有： 由 ，可得 （2）有上面的結(jié)果知 是一寬平穩(wěn)過(guò)程。令： ， ， ， ， 不具有相同的分布，所以 不是一級(jí)嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程。 P318/22. 解：根據(jù)題目給定的條件，有： ， 因?yàn)椋海虼擞校?P318/23. 解：根據(jù) 為一平穩(wěn)過(guò)程，則有： ， 因此有： P318/25. 解：由平穩(wěn)過(guò)程相關(guān)函數(shù)的定義，有： P319/28. 解：由題意，我們有： 設(shè)，則有： 令： ，則有： ，因此有： P319/30. 解：（1）由于： 因此輸入不是平穩(wěn)的。

14、（2）由計(jì)算可得： （3）計(jì)算均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)為： 因此輸出不是平穩(wěn)的過(guò)程。P445/1解題中給出的是一確定性周期信號(hào)，令：，因此它們的時(shí)間相關(guān)函數(shù)和功率譜密度分別為： 當(dāng)時(shí)，因此有： P445/2. 解：（3） （4） P445/3. 解：由功率譜密度和相關(guān)函數(shù)的關(guān)系，有： P446/4. 解：（1）由于： 因此，由功率譜密度和相關(guān)函數(shù)的關(guān)系，有： （2）由功率譜密度和相關(guān)函數(shù)的關(guān)系，有： P446/5. 解：由功率譜密度和相關(guān)函數(shù)的關(guān)系及是偶函數(shù)，我們有： 其均方值為： P447/7. 解：（1）沖激響應(yīng)為： （2）由6題的結(jié)果，我們有： 注意到的定義，當(dāng) 或 時(shí)， ， 當(dāng) 時(shí)， 當(dāng) 時(shí)

15、， 因此有： （3）由6題的結(jié)果，令：，有： P447/8. 解：由Fourier變換，有： 因?yàn)椋?則有： 因此有： 當(dāng) 時(shí)，有 由于： ，顯然 ，所以 不關(guān)于對(duì)稱。 P448/11. 證明I ：當(dāng)時(shí)，利用實(shí)平穩(wěn)過(guò)程相關(guān)函數(shù)的非負(fù)定性以及 ， ?。?，；以及 ， 我們有： 由此可得： 即有： 因此有： 證明II ：設(shè)此隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度函數(shù)為 ，由題意可知，下面用歸納法證明結(jié)論： 當(dāng)時(shí)，有 假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即 則有： 即當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論成立，由歸納法可知有結(jié)論成立。 P450/14. 解：由樣本函數(shù)可知，假設(shè)為第i個(gè)脈沖到達(dá)時(shí)刻，則有： 根據(jù)： ，由 我們有： 由于 因此，當(dāng)時(shí)

16、， 是平穩(wěn)過(guò)程，且 由Fourier變換，可得： P452/16. 解：由 ，且 與 的獨(dú)立性及它們的平穩(wěn)性，有： P452/17. 證明：（1）由： 由于： 因此： 由于： ，因此輸出過(guò)程是平穩(wěn)過(guò)程。 （2）由（1）的結(jié)果，有： P454/19. 解：令 ，我們有： P454/21. 解：（1）?。?，則有： ， 因此有： （2）由（1）的結(jié)果，有： 由于： 因此有： P561/1. 解：只要求矩陣B的逆矩陣即可。我們有： P562/4. 解：由求特征函數(shù)的公式： 我們有： P563/7. 解：由 的密度函數(shù)，我們有： 因此有： 計(jì)算，得： 因此 是獨(dú)立的隨機(jī)變量。由于變換的雅克比行列式為

17、，因此變換后的分布密度為： 由歸一化條件可以確定 。 P562/6. 解：由特征函數(shù)的定義，可知三維正態(tài)隨機(jī)向量的特征函數(shù)為： 令： 則有：（1） 計(jì)算得： 因此有： （2） 計(jì)算得： 對(duì)于次數(shù)大于1的那些項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，都會(huì)變成0，統(tǒng)一記作，有： 對(duì)于含有的那些項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，都會(huì)變成0，統(tǒng)一記作 ，則有： 利用(0,0,0)=1，可得： （3）先求得： 則有： P563/8. 解：求邊緣分布密度，由于： 即 服從正態(tài)分布，同理 也服從正態(tài)分布。注意到：我們可以求得隨機(jī)變量 的分布密度為： 由全概率公式，我們有： 因此，當(dāng)時(shí)，我們有： 即： 顯然，上式第一項(xiàng)表示的是正態(tài)分布的項(xiàng)，而第二項(xiàng)是非零的，因此 和 的線性組合 不是一維正態(tài)分布，由書(shū)中P472的定理一，我們可知 不是二維正態(tài)分布。 P564/11. 解：（1）根據(jù)維納辛欽定理，我們有： 則有 故 兩兩不相關(guān)，由于 是高斯過(guò)程，因此它們是獨(dú)立的。 令： 則有： 因此有：(的聯(lián)合