勾股定理競賽培訓題含答案

1、勾股定理競賽培訓題1、如圖1，ABC和CDE都是等腰直角三角形，C=90，將CDE繞點C逆時針旋轉一個角度（090），使點A，D，E在同一直線上，連接AD，BE（1）依題意補全圖2；求證：AD=BE，且ADBE；作CMDE，垂足為M，請用等式表示出線段CM，AE，BE之間的數量關系；（2）如圖3，正方形ABCD邊長為，若點P滿足PD=1，且BPD=90，請直接寫出點A到BP的距離2、（1）問題發(fā)現：如圖1，ACB和DCE均為等邊三角形，當DCE旋轉至點A，D，E在同一直線上，連接BE，易證BCEACD則BEC；線段AD、BE之間的數量關系是（2）拓展研究：如圖2，ACB和DCE均為等腰三角形，

2、且ACBDCE90，點A、D、E在同一直線上，若AE15，DE7，求AB的長度（3）探究發(fā)現：如圖3，P為等邊ABC內一點，且APC150，且APD30，AP5，CP4，DP8，求BD的長 3、如圖1，ABC中，CDAB于D，且BD：AD：CD=2：3：4，（1）試說明ABC是等腰三角形；（2）已知SABC=10cm2，如圖2，動點M從點B出發(fā)以每秒1cm的速度沿線段BA向點A 運動，同時動點N從點A出發(fā)以相同速度沿線段AC向點C運動，當其中一點到達終點時整個運動都停止設點M運動的時間為t（秒），若DMN的邊與BC平行，求t的值；若點E是邊AC的中點，問在點M運動的過程中，MDE能否成為等腰三

3、角形？若能，求出t的值；若不能，請說明理由4、已知，ABC中，AC=BC，ACB=90，D為AB的中點，若E在直線AC上任意一點，DFDE，交直線BC于F點G為EF的中點，延長CG交AB于點H（1）若E在邊AC上試說明DE=DF；試說明CG=GH；（2）若AE=3，CH=5求邊AC的長5、如圖，在矩形ABCD中，AB5，AD，AEBD，垂足是E.點F是點E關于AB的對稱點，連結AF，BF.(1)求AE和BE的長(2)若將ABF沿著射線BD方向平移，設平移的距離為m(平移距離指點B沿BD方向所經過的線段長度)當點F分別平移到線段AB，AD上時，直接寫出相應的m的值(3)如圖，將ABF繞點B順時針

4、旋轉一個角(0180)，記旋轉中的ABF為ABF，在旋轉過程中，設AF所在的直線與直線AD交于點P，與直線BD交于點Q.是否存在這樣的P，Q兩點，使DPQ為等腰三角形？若存在，求出此時DQ的長；若不存在，請說明理由參考答案1、【分析】（1）根據旋轉的特性畫出圖象；由ACD、BCE均與DCB互余可得出ACD=BCE，由ABC和CDE都是等腰直角三角形可得出AC=BC、DC=EC，結合全等三角形的判定定理SAS即可得出ADCBEC，從而得出AD=BE，再由BCE=ADC=135，CED=45即可得出AEB=90，即證出ADBE；依照題意畫出圖形，根據組合圖形的面積為兩個三角形的面積和可用AE，BE

5、去表示CM；（2）根據題意畫出圖形，比照（1）的結論，套入數據即可得出結論【解答】解：（1）依照題意補全圖2，如下圖（一）所示證明：ACD+DCB=ACB=90，BCE+DCB=DCE=90，ACD=BCEABC和CDE都是等腰直角三角形，AC=BC，DC=EC在ADC和BEC中，有，ADCBEC（SAS），AD=BE，BEC=ADC點A，D，E在同一直線上，CDE是等腰直角三角形，CDE=CED=45，ADC=180CDE=135，AEB=BECCED=13545=90，ADBE依照題意畫出圖形，如圖（二）所示SABC+SEBC=SCAE+SEAB，即ACBC+BECM=AE（CM+BE），

6、AC2AEBE=CM（AEBE）CDE為等腰直角三角形，DE=2CM，AEBE=2CM（2）依照題意畫出圖形（三）其中AB=，DP=1，BD=AB=由勾股定理得：BP=3結合（1）的結論可知：AM=1故點A到BP的距離為1【點評】本題考查了旋轉的性質、全等三角形的判定及性質、三角形的面積公式、角的計算以及勾股定理，解題的關鍵：（1）結合題意畫出圖形；找出ADCBEC；利用分割法求組合圖形的面積；（2）利用類比法借助（1）的算式求出結論本題屬于中檔題，（1）難度不大；難度不小，此處用到了分割組合圖形求面積來找等式，該小問處切記線段AC當成已知量；（2）利用類比的方法套入（1）的算式即可解決該題型

7、題目時，畫出圖形，注意數形結合是關鍵2、解：（1）1202分，ADBE4分（2）（3）如下圖所示由（2）知BECAPC，BE=AP5，BEC=APC150，APD=30，AP=5，CP=4，DP=8，APD=30，EPC=60，BED=BEC-PEC=90，DPC120又DPEDPCEPC12060180，即D、P、E在同一條直線上DE=DP+PE=8+4=12，BE=5，BD的長為133、【考點】三角形綜合題【分析】（1）設BD=2x，AD=3x，CD=4x，根據勾股定理求出AC根據等腰三角形的判定定理解答；（2）根據三角形的面積公式求出三角形的三邊長，根據等腰三角形的性質列式計算即可；（3

8、）分DE=DM、ED=EM、MD=ME三種情況，根據等腰三角形的性質解答【解答】解：（1）設BD=2x，AD=3x，CD=4x，在RtACD中，AC=5x，又AB=5x，AB=AC，ABC是等腰三角形；（2）SABC=5x4x=10cm2，解得，x=1cm，則BD=2cm，AD=3cm，CD=4cm，AC=5cm，當MNBC時，AM=AN，即5t=t，t=2.5，當DNBC時，AD=AN，則t=3，故若DMN的邊與BC平行時，t值為2.5或3當點M在BD上，即0t2時，MDE為鈍角三角形，但DMDE，當t=2時，點M運動到點D，不構成三角形，當點M在DA上，即2t5時，MDE為等腰三角形，有3

9、種可能如果DE=DM，則t2=2.5，t=4.5，如果ED=EM，則點M運動到點A，t=5，如果MD=ME=t2，則（t2）2（t3.5）2=22，t=，綜上所述，符合要求的t值為4.5或5或【點評】本題考查的是等腰三角形的判定和性質、三角形的三邊關系以及勾股定理的應用，掌握等腰三角形的判定定理、靈活運用分情況討論思想是解題的關鍵4、【考點】全等三角形的判定與性質；直角三角形斜邊上的中線；勾股定理【分析】（1）連接CD，推出CD=AD，CDF=ADE，A=DCB，證ADECDF即可；連接DG，根據直角三角形斜邊上中線求出CG=EG=GF=DG，推出GCD=GDC，推出GDH=GHD，推出DG=

10、GH即可；（2）求出EF=5，根據勾股定理求出EC，即可得出答案【解答】解：（1）連接CD，ACB=90，D為AB的中點，AC=BC，CD=AD=BD，又AC=BC，CDAB，EDA+EDC=90，DCF=DAE=45，DFDE，EDF=EDC+CDF=90，ADE=CDF，在ADE和CDF中ADECDF，DE=DF連接DG，ACB=90，G為EF的中點，CG=EG=FG，EDF=90，G為EF的中點，DG=EG=FG，CG=DG，GCD=CDG又CDAB，CDH=90，GHD+GCD=90，HDG+GDC=90，GHD=HDG，GH=GD，CG=GH（2）如圖，當E在線段AC上時，CG=GH

11、=EG=GF，CH=EF=5，ADECDF，AE=CF=3，在RtECF中，由勾股定理得：，AC=AE+EC=3+4=7；如圖，當E在線段CA延長線時，AC=ECAE=43=1，綜合上述AC=7或15、解：(1)在RtABD中，AB5，AD，由勾股定理，得BD. SABDBDAEABAD，AE4. 在RtABE中，AB5，AE4，由勾股定理，得BE3. (第27題圖解)(2)設平移中的三角形為ABF，如解圖所示由對稱點性質可知，12.由平移性質可知，ABAB，451，BFBF3.當點F落在AB上時，ABAB，34，312，BBBF3，即m3；當點F落在AD上時，ABAB，62.12，51，56

12、.又易知ABAD，BFD為等腰三角形，BDBF3，BBBDBD3，即m.m3或（對一個得2分） (3)存在理由如下：在旋轉過程中，等腰DPQ依次有以下4種情形：如解圖所示，點Q落在BD延長線上，且PDDQ，易知22Q.(第27題圖解)13Q，12，3Q AQAB5，FQFAAQ459.在RtBFQ中，由勾股定理，得BQ3.(第27題圖解)DQBQBD3.如解圖所示，點Q落在BD上，且PQDQ，易知2P.12，1P，BAPD，則此時點A落在BC邊上32，31，BQAQ，FQFAAQ4BQ.在RtBQF中，由勾股定理，得BF2FQ2BQ2，即32(4BQ)2BQ2，解得BQ.DQBDBQ.如解圖所示，點Q落在BD上，且PDDQ，易知34.(第27題圖解)2341