三角恒等變換知識總結(jié)

1、三角恒等變換知識點總結(jié) 2014/10/24 一、基本內(nèi)容串講1 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式如下：; ;對其變形：tantan=tan(+)(1- tantan)，有時應(yīng)用該公式比較方便。2 二倍角的正弦、余弦、正切公式如下：. .要熟悉余弦“倍角”與“二次”的關(guān)系（升角降次，降角升次）特別注意公式的三角表達形式，且要善于變形， 這兩個形式常用。3.輔助角公式：;.4.簡單的三角恒等變換（1）變換對象：角、名稱和形式，三角變換只變其形，不變其質(zhì)。（2）變換目標：利用公式簡化三角函數(shù)式，達到化簡、計算或證明的目的。（3）變換依據(jù)：兩角和與差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公

2、式。（4）變換思路：明確變換目標，選擇變換公式，設(shè)計變換途徑。5.常用知識點：（1）基本恒等式：（注意變形使用，尤其1的靈活應(yīng)用，求函數(shù)值時注意角的范圍）；（2）三角形中的角：，；（3）向量的數(shù)量積：，；二、考點闡述考點1兩角和與差的正弦、余弦、正切公式1、的值等于（ ）2、若，則等于（ ）3、若則的值是_4、_.考點2二倍角的正弦、余弦、正切公式5、coscos的值等于（ ） (提示:構(gòu)造分子分母)6、（ ）7、 已知，且，那么等于（ ）考點3運用相關(guān)公式進行簡單的三角恒等變換8、已知則的值等于（ ）9、已知則值等于（）10、函數(shù)是（ ）（A）周期為的奇函數(shù)（B）周期為的偶函數(shù)（C）周期為的

3、奇函數(shù)（D）周期為的偶函數(shù)4、常見題型及解題技巧（另外總結(jié)）（一）關(guān)于輔助角公式：.其中（可以通過來判斷最大最小值）如：1.若方程有實數(shù)解，則c的取值范圍是_. 2.的最大值與最小值之和為_.7若則_.（二）三角函數(shù)式的化簡與求值例1 1.； 2.;3. 求值;4.ABC不是直角三角形，求證：（三）三角函數(shù)給值求值問題1. 已知cos()sin，則sin()的值是_;2. 已知3.，求的值（四） 三角函數(shù)給值求角問題1.若sinA=,sinB=,且A,B均為鈍角,求A+B的值.2.已知，且是方程的兩個根，求3.已知均為銳角，且，則的值（） 4.已知,并且均為銳角，求的值.（五）綜合問題（求周期

4、，最值，對稱軸，增減區(qū)間等）1.(2010北京)已知函數(shù).(1)求的值；(2)求的最大值和最小值2.已知函數(shù).(1)求的最小正周期；(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值；（3）求函數(shù)在的單調(diào)區(qū)間。三、解題方法分析1熟悉三角函數(shù)公式，從公式的內(nèi)在聯(lián)系上尋找切入點【方法點撥】三角函數(shù)中出現(xiàn)的公式較多，要從角名稱、結(jié)構(gòu)上弄清它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，做到真正的理解、記熟、用活。解決問題時究竟使用哪個公式，要抓住問題的實質(zhì)，善于聯(lián)想，靈活運用。例1設(shè)則有（ ）【點評】：本題屬于“理解”層次，要能善于正用、逆用、變用公式。例如：sincos=，cos=，tantan=tan(+)(1- tantan)等。另外，三

5、角函數(shù)式asinx+bcosx是基本三角函數(shù)式之一，引進輔助角，將它化為即asinx+bcosx=（其中）是常用轉(zhuǎn)化手段。特別是與特殊角有關(guān)的sincosx，sinxcosx，要熟練掌握其變形結(jié)論。2明確三角恒等變換的目的，從數(shù)學(xué)思想方法上尋找突破口（1）運用轉(zhuǎn)化與化歸思想，實現(xiàn)三角恒等變換【方法點撥】教材中兩角和與差的正、余弦公式以及二倍角公式的推導(dǎo)都體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的思想，應(yīng)用該思想能有效解決三角函數(shù)式化簡、求值、證明中角、名稱、形式的變換問題。例2 已知，cos（）=，sin（+）=，求sin2的值（本題屬于“理解”層次，解答的關(guān)鍵在于分析角的特點， 2=（）+（+）例2解答： 例3化簡

6、：2sin50+sin10（1+tan10）【解析】：原式=【點評】：本題屬于“理解”層次, 解題的關(guān)鍵在于靈活運用“化切為弦”的方法，再利用兩角和與差的三角函數(shù)關(guān)系式整理化簡化簡時要求使三角函數(shù)式成為最簡：項數(shù)盡量少，名稱盡量少，次數(shù)盡量底，分母盡量不含三角函數(shù)，根號內(nèi)盡量不含三角函數(shù)，能求值的盡量求出值來。（2）運用函數(shù)方程思想，實現(xiàn)三角恒等變換 【方法點撥】三角函數(shù)也是函數(shù)中的一種，其變換的實質(zhì)仍是函數(shù)的變換。因此，有時在三角恒等變換中，可以把某個三角函數(shù)式看作未知數(shù)，利用條件或公式列出關(guān)于未知數(shù)的方程求解。 例4：已知sin（+）=，sin（）=，求的值?！窘馕觥?=17【點評】：本題

7、屬于“理解”層次，考查學(xué)生對所學(xué)過的內(nèi)容能進行理性分析，善于利用題中的條件運用方程思想達到求值的目的。（3）運用換元思想，實現(xiàn)三角恒等變換【方法點撥】換元的目的就是為了化繁為簡，促使未知向已知轉(zhuǎn)化，可以利用特定的關(guān)系，把某個式子用新元表示，實行變量替換，從而順利求解，解題時要特別注意新元的范圍。例5：若求的取值范圍?！窘馕觥浚毫?，則【點評】：本題屬于“理解”層次，解題的關(guān)鍵是將要求的式子看作一個整體，通過代數(shù)、三角變換等手段求出取值范圍。3關(guān)注三角函數(shù)在學(xué)科內(nèi)的綜合，從知識聯(lián)系上尋找結(jié)合點【方法點撥】三角函數(shù)在學(xué)科內(nèi)的聯(lián)系比較廣泛，主要體現(xiàn)在與函數(shù)、平面向量、解析幾何等知識的聯(lián)系與綜合，特別是

8、與平面向量的綜合，要適當(dāng)注意知識間的聯(lián)系與整合。例6：已知：向量 ，函數(shù)（1）若且，求的值； 或（2）求函數(shù)取得最大值時，向量與的夾角【解析】：（2），當(dāng)時，由得，【點評】：本題屬于“理解”中綜合應(yīng)用層次，主要考查應(yīng)用平面向量、三角函數(shù)知識的分析和計算能力.四、課堂練習(xí)1sin165= （ ） A B C D 2sin14cos16+sin76cos74的值是（ ） A B C D3已知，則（ ） A B C D4化簡2sin（x）sin（+x），其結(jié)果是（）sin2xcos2xcos2xsin2x 5sincos的值是 （ ）A0 B C D 2 sin6A B C D7若，則角的終邊一定落在直線（ ）上。A B C D89 10的值是 .11求證