專題一、含絕對值不等式的解法(含答案)

1、第三講 含絕對值不等式與一元二次不等式一、知識點回顧1、絕對值的意義：（其幾何意義是數(shù)軸的點A（a）離開原點的距離）2、含有絕對值不等式的解法：（解絕對值不等式的關(guān)鍵在于去掉絕對值的符號）（1）定義法；（2）零點分段法：通常適用于含有兩個及兩個以上的絕對值符號的不等式；（3）平方法：通常適用于兩端均為非負(fù)實數(shù)時（比如）；（4）圖象法或數(shù)形結(jié)合法；（5）不等式同解變形原理：即 3、不等式的解集都要用集合形式表示，不要使用不等式的形式。4、 二次函數(shù)、一元二次方程、一元兩次不等式的聯(lián)系。（見P8）5、利用二次函數(shù)圖象的直觀性來研究一元二次方程根的性質(zhì)和一元二次不等式解集及變化，以及含字母的有關(guān)問題

2、的討論，滲透數(shù)形結(jié)合思想。6、解一元二次不等式的步驟：（1）將不等式化為標(biāo)準(zhǔn)形式或(2)解方程(3)據(jù)二次函數(shù)的圖象寫出二次不等式的解集。一、 基本解法與思想解含絕對值的不等式的基本思想是等價轉(zhuǎn)化，即采用正確的方法去掉絕對值符號轉(zhuǎn)化為不含絕對值的不等式來解，常用的方法有公式法、定義法、平方法。（一）、公式法：即利用與的解集求解。 主要知識：1、絕對值的幾何意義：是指數(shù)軸上點到原點的距離；是指數(shù)軸上，兩點間的距離.。2、與型的不等式的解法。當(dāng)時，不等式的解集是不等式的解集是; 當(dāng)時，不等式的解集是不等式的解集是;3與型的不等式的解法。把 看作一個整體時，可化為與型的不等式來求解。當(dāng)時，不等式的解

3、集是不等式的解集是; 當(dāng)時，不等式的解集是不等式的解集是;例1 解不等式分析:這類題可直接利用上面的公式求解，這種解法還運用了整體思想，如把“”看著一個整體。答案為。(解略)（3） (2) (1)解：原不等式等價于，所以不等式解集為(2)解：（1）法一：原不等式或由解得，由解得原不等式的解集是法二：原等式等價于原不等式的解集是o-33x9y3法三：設(shè)，由解得非曲直，在同一坐標(biāo)系下作出它們的圖象，由圖得使的的范圍是，原不等式的解集是評析：數(shù)形結(jié)合策略運用要解出兩函數(shù)圖象的交點。（二）、定義法:即利用去掉絕對值再解。例2。解不等式。分析:由絕對值的意義知，a0，a0。解:原不等式等價于0x(x+2

4、)0-2x0。練習(xí)： (1)解：原不等式等價于，所以不等式解集為（三）、平方法:解型不等式。例3、解不等式。解:原不等式(2x-3+x-1)(2x-3-x+1)<0(3x-4)(x-2)<0 。說明:求解中以平方后移項再用平方差公式分解因式為宜。二、分類討論法：即通過合理分類去絕對值后再求解。例4 解不等式。分析:由，得和。和把實數(shù)集合分成三個區(qū)間，即，按這三個區(qū)間可去絕對值，故可按這三個區(qū)間討論。解:當(dāng)x-2時，得，解得：當(dāng)-2x1時，得，解得：當(dāng)時，得 解得：綜上，原不等式的解集為。說明:(1)原不等式的解集應(yīng)為各種情況的并集;(2)這種解法又叫“零點分區(qū)間法”，即通過令每一個

5、絕對值為零求得零點，求解應(yīng)注意邊界值。三、幾何法：即轉(zhuǎn)化為幾何知識求解。例5 對任何實數(shù)，若不等式恒成立，則實數(shù)k的取值范圍為 ()(A)k<3(B)k<-3(C)k3(D)k-3分析:設(shè)，則原式對任意實數(shù)x恒成立的充要條件是，于是題轉(zhuǎn)化為求的最小值。解:、的幾何意義分別為數(shù)軸上點x到-1和2的距離-的幾何意義為數(shù)軸上點x到-1與2的距離之差，如圖可得其最小值為-3，故選（B）。（3）分析：關(guān)鍵是去掉絕對值方法1：零點分段討論法（利用絕對值的代數(shù)定義）當(dāng)時， 4<1 當(dāng)時，當(dāng)時-4<1 綜上，原不等式的解集為也可以這樣寫：解：原不等式等價于或或 ，解的解集為，的解集為x

6、|<x<3，的解集為x|x3,原不等式的解集為x|x>方法2：數(shù)形結(jié)合從形的方面考慮，不等式|x-3|-|x+1|<1表示數(shù)軸上到3和-1兩點的距離之差小于1的點原不等式的解集為x|x>變式：（1）若恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。解：由幾何意義可知，的最小值為1，所以實數(shù)a的取值范圍為。（2）數(shù)軸上有三個點A、B、C，坐標(biāo)分別為-1，2，5，在數(shù)軸上找一點M，使它到A、B、C三點的距離之和最小。解：設(shè)M（x，0）則它到A、B、C三點的距離之和即由圖象可得：當(dāng)四、典型題型1、解關(guān)于的不等式解：原不等式等價于，即 原不等式的解集為2、解關(guān)于的不等式 解：原不等式等價于3

7、、解關(guān)于的不等式解：原不等式可化為 即 解得： 原不等式的解集為4、解關(guān)于的不等式 解： 當(dāng)時，即，因，故原不等式的解集是空集。 當(dāng)時，即，原不等式等價于解得： 綜上，當(dāng)時，原不等式解集為空集;當(dāng)時，不等式解集為 5、解關(guān)于的不等式解：當(dāng)時，得，無解 當(dāng)，得，解得： 當(dāng)時，得，解得： 綜上所述，原不等式的解集為，6、解關(guān)于的不等式 （答案：） 解：五、鞏固練習(xí)1、設(shè)函數(shù) ;若，則的取值范圍是 .2、已知，若關(guān)于的方程有實根，則的取值范圍是 3、不等式的實數(shù)解為 4、解下列不等式 ； ； ； ； ； （）5、若不等式的解集為，則實數(shù)等于 （ ） 6、若，則的解集是（ ） 且 且7、對任意實數(shù)，恒成立，則的取值范圍是 ；對任意實數(shù)，恒成立，則的取值范圍是 ；若關(guān)于的不等式的解集不是空集，則的取值范圍是 ； 8、不等式的解集為（ ） 9、解不等式：10、方程的解集為 ，不等式的解集是 ； 12、不等式的解集是（ ） 11、不等式的解集是 12、 已知不等式的解集為，求的值 13、解關(guān)于的不等式：解關(guān)于的不等式；14、不等式的解集為（ ）. 15、 設(shè)集合，則等于 ( ) 16、不等式的解集是 17、設(shè)全集，解關(guān)于的不等式： （參考答案）1、 6 ； ； 2、 3、 4、 當(dāng)時，；當(dāng)時，不等式的解集為5、C 6、D 7、 ； ； ；