雙曲線漸近線方程

1、雙曲線漸近線方程百科名片   雙曲線漸近線方程雙曲線漸近線方程，是一種幾何圖形的算法，這種主要解決實(shí)際中建筑物在建筑的時(shí)候的一些數(shù)據(jù)的處理。雙曲線的主要特點(diǎn)：無(wú)限接近，但不可以相交。分為鉛直漸近線、水平漸近線和斜漸近線。是一種根據(jù)實(shí)際的生活需求研究出的一種算法。漸近線特點(diǎn)：無(wú)限接近，但不可以相交。分為鉛直漸近線、水平漸近線和斜漸近線。 當(dāng)曲線上一點(diǎn)M沿曲線無(wú)限遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí)，如果M到一條直線的距離無(wú)限趨近于零，那么這條直線稱為這條曲線的漸近線。 需要注意的是：并不是所有的曲線都有漸近線，漸近線反映了某些曲線在無(wú)線延伸時(shí)的變化情況。 根據(jù)漸近線的位置，可將漸近線分為三類：水平漸近

2、線、垂直漸近線、斜漸近線。 y=k/x(k0)是反比例函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，x=0，y=0為其漸近線方程 當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí) 雙曲線漸近線的方程是y=+(-)b/ax 當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí) 雙曲線漸近線的方程是y=+(-)a/bx 雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 1.雙曲線 x2/a2-y2/b2 1的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) (1)范圍：xa,yR. (2)對(duì)稱性：雙曲線的對(duì)稱性與橢圓完全相同，關(guān)于x軸、y軸及原點(diǎn)中心對(duì)稱. (3)頂點(diǎn)：兩個(gè)頂點(diǎn)A1(-a,0),A2(a,0)，兩頂點(diǎn)間的線段為實(shí)軸，長(zhǎng)為2a，虛軸長(zhǎng)為2b，且c2a2+b2.與橢圓不同. (4)漸近線：雙曲線特有的性質(zhì)，方程y±b/ax，

3、或令雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程 x2/a2-y2/b2 1中的1為零即得漸近線方程. (5)離心率e1，隨著e的增大，雙曲線張口逐漸變得開闊. (6)等軸雙曲線(等邊雙曲線)：x2-y2a2(a0),它的漸近線方程為y±b/ax,離心率ec/a=2(7)共軛雙曲線：方程 - 1與 - -1表示的雙曲線共軛，有共同的漸近線和相等的焦距，但需注重方程的表達(dá)形式. 注重： 1.與雙曲線 - 1共漸近線的雙曲線系方程可表示為 - (0且為待定常數(shù)) 2.與橢圓 1(ab0)共焦點(diǎn)的曲線系方程可表示為 - 1(a2,其中b2-0時(shí)為橢圓， b2a2時(shí)為雙曲線) 2.雙曲線的第二定義 平面內(nèi)到定點(diǎn)F(c,0

4、)的距離和到定直線l:x+(-)a2/c 的距離之比等于常數(shù)ec/a (ca0)的點(diǎn)的軌跡是雙曲線，定點(diǎn)是雙曲線的焦點(diǎn)，定直線是雙曲線的準(zhǔn)線，焦準(zhǔn)距(焦參數(shù))p ，與橢圓相同. 3.焦半徑( - 1,F1(-c,0)、F2(c,0)，點(diǎn)p(x0,y0)在雙曲線 - 1的右支上時(shí)，pF1ex0 a,pF2ex0-a; P在左支上時(shí)，則 PF1=ex1+aPF2ex1-a. 本節(jié)學(xué)習(xí)要求： 學(xué)習(xí)雙曲線的幾何性質(zhì)，可以用類比思想，即象討論橢圓的幾何性質(zhì)一樣去研究雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，從而得出雙曲線的幾何性質(zhì)，將雙曲線的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程、圖形、幾何性質(zhì)列表對(duì)比，便于把握. 雙曲線的幾何性質(zhì)與代數(shù)中的方程、平面

5、幾何的知識(shí)聯(lián)系密切；直線與雙曲線的交點(diǎn)問題、弦長(zhǎng)間問題都離不開一元二次方程的判別式，韋達(dá)定理等；漸近線的夾角問題與直線的夾角公式.三角函數(shù)中的相關(guān)知識(shí)，是高考的主要內(nèi)容. 通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)同學(xué)們良好的個(gè)性品質(zhì)和科學(xué)態(tài)度，培養(yǎng)同學(xué)們的良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和創(chuàng)新精神，進(jìn)行辯證唯物主義世界觀教育. 雙曲線的漸近線教案教學(xué)目的(1)正確理解雙曲線的漸近線的定義，能利用雙曲線的漸近線來(lái)畫雙曲線的圖形(2)掌握由雙曲線求其漸近線和由漸近線求雙曲線的方法，并能作初步的應(yīng)用，從而提高分析問題和解決問題的能力教學(xué)過程一、揭示課題師：給出雙曲線的方程，我們能把雙曲線畫出來(lái)嗎？生(眾)：能畫出來(lái)師：能畫得比較精確

6、點(diǎn)嗎？(學(xué)生默然)其附近的點(diǎn)，比較精確地畫出來(lái)但雙曲線向何處伸展就不很清楚了在畫其他曲線時(shí)，也有同樣的問題如曲線我們可以比較精確地畫出整個(gè)曲線因?yàn)槲覀冎?，?dāng)曲線伸向遠(yuǎn)處時(shí)，它逐漸地越的趨向，我們是清楚的，它逐漸地在x軸負(fù)方向上越來(lái)越接近x軸，即x軸為y2x的一條漸近線，但它的另一端則不然，它伸向何處是不夠清楚的所以雙曲線和其他曲線一樣，當(dāng)它向遠(yuǎn)處伸展時(shí)，它的趨向如何，是需要研究的問題今天這堂課，我們就來(lái)討論一下“雙曲線向何處去”這樣一個(gè)問題(板書課題：雙曲線的漸近線)二、講述定義師：前一課我們討論了雙曲線的范圍、對(duì)稱性和頂點(diǎn)，我們回憶一下，雙曲線的范圍xa，xa是怎樣得出來(lái)的？直線xa和xa

7、的外側(cè)我們能不能把雙曲線的范圍再縮小一點(diǎn)？我們先看看雙曲線在第一象限的情況設(shè)M(x，y)是雙曲線上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，則考察一下y變化的范圍：因?yàn)閤2a2x2，所以這個(gè)不等式意味著什么？(稍停，學(xué)生思考)平面區(qū)域之間(含x軸部分)這樣，我們就進(jìn)一步縮小了雙曲線所在區(qū)域的范圍為此，我們考慮下列問題：經(jīng)過A2、A1作y軸的平行線x±a，經(jīng)過B2、B1作x軸的平行線y±b，以看出，雙曲線的各支向外延伸時(shí)，與這兩條直線逐漸接近下面，我們來(lái)證明這個(gè)事實(shí)雙曲線在第一象限內(nèi)的方程可寫成設(shè)M(x，y)是它上面的點(diǎn)，N(x，Y)是直線上與M有相同橫坐標(biāo)的點(diǎn)，則設(shè)|MQ|是點(diǎn)M到直線的距離，則|

8、MQ|MN|當(dāng)x逐漸增大時(shí)，|MN|逐漸減小，x無(wú)限增大，|MN|接近于零，|MQ|也接近于零，就是說，雙曲線在第一象限的部分從射線ON的下方逐漸接近于射線ON在其他象限內(nèi)也可以證明類似的情況我們把兩條直線叫做雙曲線的漸近線現(xiàn)在來(lái)看看實(shí)軸在y軸上的雙曲線的漸近線方程是怎樣的？由于實(shí)軸在y軸上的雙曲線方程是由實(shí)軸在x軸上的雙曲線方程，將x、y字母對(duì)調(diào)所得到，自然，前者這樣，我們就完滿地解決了畫雙曲線遠(yuǎn)處趨向的問題，從而可比較精確地畫出雙手畫出比較精確的雙曲線提出問題，解決問題，善始善終三、初步練習(xí)(根據(jù)由雙曲線求出它的漸近線方程與由漸近線求出相應(yīng)的雙曲線方程這兩要求，出四個(gè)小題讓學(xué)生練習(xí))1求下

9、列雙曲線的漸近線方程(寫成直線方程的一般式)，并畫出雙曲線：(1) 4x2y24； (2) 4x2y242已知雙曲線的漸近線方程為x±2y0，且雙曲線過點(diǎn)：求雙曲線方程并畫出雙曲線(練習(xí)畢，由學(xué)生回答，教師總結(jié))解題的主要步驟：第1題：(1)把雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求得a、b；(3)根據(jù)定義寫出漸近線方程第2題：(1)判斷何種雙曲線，設(shè)出相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)寫出漸近線方程，從而得到關(guān)于a、b的一個(gè)關(guān)系式；(3)將點(diǎn)M代入標(biāo)準(zhǔn)方程，得到關(guān)于a、b的另一個(gè)關(guān)系式；(4)解a、b的方程組，求得a、b，寫出雙曲線方程師：這是兩個(gè)關(guān)于雙曲線漸近線的最基本的練習(xí)一個(gè)是由雙曲線求漸近線，

10、比較簡(jiǎn)單；一個(gè)是由漸近線求雙曲線，卻比較復(fù)雜這是因?yàn)?，一個(gè)是正向思考和運(yùn)算，另一個(gè)是逆向思考和運(yùn)算，有一定的難度同時(shí)，因?yàn)橐粭l雙曲線有兩條確定的漸近線，而兩條漸近線對(duì)應(yīng)有許多雙曲線，因此，求雙曲線方程還必須具有另一個(gè)條件，兩個(gè)條件的綜合顯然比較困難我們要特別注意對(duì)逆向問題的分析，提高解決逆向問題的能力問題雖然簡(jiǎn)單，但確是基礎(chǔ)，不僅掌握基本知識(shí)，同時(shí)有利于正、逆兩方面思考問題的訓(xùn)練四、建立法則師：仔細(xì)分析一下上述練習(xí)的結(jié)果：雙曲線方程：4x2y24；漸近線方程：2x±y0雙曲線方程：4x2y24；漸近線方程：2x±y0雙曲線方程：x24y24；漸近線方程：x±2y0

11、雙曲線方程：x24y24；漸近線方程：x±2y0可以發(fā)現(xiàn)，雙曲線與其漸近線的方程之間似乎存在某種規(guī)律(啟發(fā)學(xué)生討論、歸納)生甲：每項(xiàng)開平方，中間用正負(fù)號(hào)連結(jié)起來(lái)，常數(shù)項(xiàng)改為零，就得到漸近線方程生乙：以各項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值的算術(shù)平方根為x、y的系數(shù)，且用正負(fù)號(hào)連結(jié)起來(lái)等于零，就是漸近線方程生丙：如果兩個(gè)雙曲線方程的二次項(xiàng)相同，那么漸近線方程就相同，與常數(shù)項(xiàng)無(wú)關(guān)生?。悍催^來(lái)，漸近線的方程相同，雙曲線方程的二次項(xiàng)就相同，常數(shù)可以不同生戊：應(yīng)該說二次項(xiàng)系數(shù)成比例師：大家揭示了其中的規(guī)律但是，大家的回答，還不夠嚴(yán)格，也不夠簡(jiǎn)潔，是否可以歸納出一種方法，把雙曲線方程處理一下，就得到漸近線方程？把雙曲線

12、方程中常數(shù)項(xiàng)改成零，會(huì)怎樣呢？點(diǎn)適合這個(gè)方程，適合這個(gè)方程的點(diǎn)在漸近線上就是兩漸近線的方程實(shí)際上，兩條漸近線也可看作二次曲線，是特殊的雙曲線同樣，b2x2a2y20，即 bx±ay0；b2y2a2x20，即 by±ax0所以把雙曲線方程的常數(shù)項(xiàng)改為零，就得到其漸近線方程這具有一般性嗎？也就是說對(duì)任意雙曲線A2x2B2y2C(C0)它的漸近線方程是不是A2x2B2y20？回答是肯定的分情況證明一下：C0，A2x2B2y2C，故漸近線方程為也可以化成 Ax±By0，即 A2x2B2y20其他情況，同學(xué)們可以自己去證明反之，漸近線方程為Ax±By0的雙曲線方程

13、是什么？可以證明是：A2x2B2y2C(C0)C0，實(shí)軸在x軸上；C0，實(shí)軸在y軸上因此，我們得到下列法則：(1)雙曲線 A2x2B2y2C(C0)的漸近線方程是A2x2B2y20；(2)漸近線方程是Ax±By0的雙曲線方程是A2x2B2y2C(C0的待定常數(shù))現(xiàn)在誰(shuí)能把上面的練習(xí)第2題再解答一下？生：因?yàn)闈u近線方程是x±2y0，所以雙曲線方程為x24y2C 雙曲線方程為x24y24 雙曲線方程為x24y24建立解題法則，既使解題比較方便，又使學(xué)生得到解題能力的培養(yǎng)五、鞏固應(yīng)用師：前面我們講述了雙曲線漸近線的定義和法則，下面大家使用定義或者法則再做兩個(gè)練習(xí)2證明：雙曲線上任一點(diǎn)到兩漸近線的距離之積是個(gè)常數(shù)(練習(xí)畢，由學(xué)生回答，教師總結(jié)解題步驟)師：解練習(xí)1的方法有兩種一是直接運(yùn)用定義由雙曲線求漸近線：由漸近線求雙曲線：二是直接運(yùn)用法則練習(xí)2的解法如下：六、布置作業(yè)課本練習(xí)；略教案說明(1)本課教材內(nèi)容不難接受，但