利用基本不等式解高考選做題

1、利用基本不等式解高考選做題引入：用基本不等式證明不等式用基本不等式證明不等式，要分析不等式的左右結(jié)構(gòu)特征，通過拆(添)項創(chuàng)設(shè)一個應(yīng)用基本不等式的條件【例1】 已知a，b，c都是實(shí)數(shù)求證：a2b2c2(abc)2abbcca.證明：a，b，cR，a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，三式相加得2(a2b2c2)2(abbcca)，即a2b2c2abbcca，在式兩邊同時加上(a2b2c2)得3(a2b2c2)(abc)2，即a2b2c2(abc)2.在式兩邊同時加上2(abbcca)得(abc)23(abbcca)，即(abc)2abbcca.由可得a2b2c2(abc)2abbcca

2、.方法點(diǎn)評：利用不等式a2b22ab和ab2(a0，b0)時，關(guān)鍵是對式子進(jìn)行恰當(dāng)?shù)淖冃?，合理?gòu)造“和式”與“積式”的互化，必要時可多次應(yīng)用變式訓(xùn)練1已知a，b，cR且abc1，求證：9.證明：332229.當(dāng)且僅當(dāng)abc時取等號高考銜接（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標(biāo)卷數(shù)學(xué)（理）（不等式選講）設(shè)a、b、c均為正數(shù)，且abc1，證明：(1)abbcac；(2)1.【解題指南】(1)將兩邊平方，化簡整理，借助不等式的性質(zhì)，即得結(jié)論.(2) 證，也即證可分別證然后相加即得.證明(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac得a2b2c2abbcca.由題設(shè)得(abc)21，即a2

3、b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即abbcca.(2)因為b2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc.所以1.誤區(qū)解密兩次或多次應(yīng)用基本不等式 應(yīng)注意等號是否同時成立【例3】 a0，b0，ab4，求22的最小值錯解：2222448，故22的最小值是8.正解：ab4，a2b2(ab)22ab162ab.又a2b22ab，162ab2ab，即ab4.22.故22的最小值是.1（2010·遼寧高考理科·24）已知均為正數(shù)，證明：，并確定為何值時，等號成立. 【命題立意】本題考查了不等式的性質(zhì)，考查了均值不等式.【思路點(diǎn)撥】把，分別用均值不等

4、式，相加后，再用均值不等式.【規(guī)范解答】證法一:，原不等式成立.當(dāng)且僅當(dāng)abc時，式和式等號成立，當(dāng)且僅當(dāng)時，式等號成立.即當(dāng)abc時原式等號成立.證法二:a,b,c都是正數(shù)，由基本不等式得 同理原不等式成立當(dāng)且僅當(dāng)abc時，式和式等號成立，當(dāng)且僅當(dāng)abc,時，式等號成立.即當(dāng)abc時原式等號成立. (2014年遼寧卷16題)16.對于，當(dāng)非零實(shí)數(shù)a，b滿足，且使最大時，的最小值為 .解法1 填2.(柯西不等式)，由柯西不等式得，故當(dāng)|2ab|最大時，有，代入已知得，當(dāng)時，取得最小值為2.類似的，還可以這樣構(gòu)造式子：，所以，剩下的步驟和解法1相同.解法2 填2.（求解對照），則，當(dāng)時，取到等號

5、，即取到最大值，將代入中，解得，下面步驟與解法1步驟一樣.這種解法較為簡單，容易理解，所以推薦這種解法.解法3 填2.（判別式法）設(shè)t2ab，則bt2a，代入式子中，整理可得要保證關(guān)于a的方程有解，則，整理解t，即，而只有0時，等號成立，即使最大，此時，即，又，所以，當(dāng)時，上式取得最小值，解得，所以當(dāng) ，時，的最小值為2.解法4 填2. （換元法），設(shè)，則，代入式子中，所以.當(dāng)時，等號成立，即，整理得，代入到已知等式中解得，所以，當(dāng)時，上式取得最小值，解得，所以當(dāng) ，時，的最小值為2.解法5 填2.（齊次均值不等式法）令，由已知可得，所以，設(shè)，則.當(dāng)且僅當(dāng)即或（舍）時，等式成立，所以，即時，取

6、到最大值，將代入中，解得，下面步驟與其他解法步驟一樣.點(diǎn)評：（1）本題涉及到柯西不等式，二次函數(shù)求最值等知識點(diǎn)，（2）解法1涉及4個步驟：構(gòu)造式子，利用柯西不等式求最值取得的條件，用b表示a，c，代入求最值，得結(jié)果；解法2涉及4個步驟：變形化簡，利用二次函數(shù)求最值取得的條件，用b表示a，c，代入求最值，得結(jié)果；解法3涉及5個步驟：設(shè)，化簡整理，用判斷方程有解的條件，用b表示a，c，代入求最值，得結(jié)果；解法4涉及7個步驟：變形，設(shè)，化簡，求三角函數(shù)最值，討論等號取得的條件，用b表示a，c，代入求最值，得結(jié)果；解法5涉及7個步驟：設(shè)，比值，化簡，用均值定理求最值，判定等號成立條件，用b表示a，c，代入求最值，得結(jié)果；從以上步驟過程可以看出不管用哪一個理論都是將要求的問題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)最值問題.（3）可涉及到化歸與轉(zhuǎn)化思想等基本思想，考查了抽象概括能力、運(yùn)算求解能力.（4）柯西不等式是非常著名的不等式，在高中不等式問題中出現(xiàn)越來越多與之有關(guān)的應(yīng)用，柯西不等式往往在解決較為復(fù)雜的不等式問題上可以收到事半功倍效果.雖然在考綱和考試說明中對柯西不等