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文檔簡介
1、切線長定理、弦切角定理、切割線定理、相交弦定理以及與圓有關(guān)的比例線段學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.切線長概念 切線長是在經(jīng)過圓外一點的圓的切線上,這點和切點之間的線段的長度,“切線長”是切線上一條線段的長,具有數(shù)量的特征,而“切線”是一條直線,它不可以度量長度。 2.切線長定理 對于切線長定理,應(yīng)明確(1)若已知圓的兩條切線相交,則切線長相等;(2)若已知兩條切線平行,則圓上兩個切點的連線為直徑;(3)經(jīng)過圓外一點引圓的兩條切線,連結(jié)兩個切點可得到一個等腰三角形;(4)經(jīng)過圓外一點引圓的兩條切線,切線的夾角與過切點的兩個半徑的夾角互補;(5)圓外一點與圓心的連線,平分過這點向圓引的兩條切線所夾的角。3.弦切角
2、:頂點在圓上,一邊和圓相交,另一邊和圓相切的角。 直線AB切O于P,PC、PD為弦,圖中幾個弦切角呢?(四個)4.弦切角定理:弦切角等于其所夾的弧所對的圓周角。5.弄清和圓有關(guān)的角:圓周角,圓心角,弦切角,圓內(nèi)角,圓外角。6.遇到圓的切線,可聯(lián)想“角”弦切角,“線”切線的性質(zhì)定理及切線長定理。7.與圓有關(guān)的比例線段定理圖形已知結(jié)論證法相交弦定理 O中,AB、CD為弦,交于P.PAPBPCPD.連結(jié)AC、BD,證:APCDPB.相交弦定理的推論 O中,AB為直徑,CDAB于P.PC2PAPB.用相交弦定理.切割線定理 O中,PT切O于T,割線PB交O于APT2PAPB連結(jié)TA、TB,證:PTBP
3、AT切割線定理推論 PB、PD為O的兩條割線,交O于A、CPAPBPCPD過P作PT切O于T,用兩次切割線定理圓冪定理 O中,割線PB交O于A,CD為弦PCPDr2OP2PAPBOP2r2r為O的半徑延長PO交O于M,延長OP交O于N,用相交弦定理證;過P作切線用切割線定理勾股定理證8.圓冪定理:過一定點P向O作任一直線,交O于兩點,則自定點P到兩交點的兩條線段之積為常數(shù)|(R為圓半徑),因為叫做點對于O的冪,所以將上述定理統(tǒng)稱為圓冪定理。 【典型例題】例1.如圖1,正方形ABCD的邊長為1,以BC為直徑。在正方形內(nèi)作半圓O,過A作半圓切線,切點為F,交CD于E,求DE:AE的值。圖1 解:由
4、切線長定理知:AFAB1,EFCE 設(shè)CE為x,在RtADE中,由勾股定理 , 例2.O中的兩條弦AB與CD相交于E,若AE6cm,BE2cm,CD7cm,那么CE_cm。圖2 解:由相交弦定理,得 AEBECEDE AE6cm,BE2cm,CD7cm, , , 即 CE3cm或CE4cm。 故應(yīng)填3或4。 點撥:相交弦定理是較重要定理,結(jié)果要注意兩種情況的取舍。 例3.已知PA是圓的切線,PCB是圓的割線,則_。 解:PP PACB, PACPBA, , 。 又PA是圓的切線,PCB是圓的割線,由切割線定理,得 , 即 , 故應(yīng)填PC。 點撥:利用相似得出比例關(guān)系式后要注意變形,推出所需結(jié)論
5、。 例4.如圖3,P是O外一點,PC切O于點C,PAB是O的割線,交O于A、B兩點,如果PA:PB1:4,PC12cm,O的半徑為10cm,則圓心O到AB的距離是_cm。圖3 解:PC是O的切線,PAB是O的割線,且PA:PB1:4 PB4PA 又PC12cm 由切割線定理,得 , PB4624(cm) AB24618(cm) 設(shè)圓心O到AB距離為d cm, 由勾股定理,得 故應(yīng)填。例5.如圖4,AB為O的直徑,過B點作O的切線BC,OC交O于點E,AE的延長線交BC于點D,(1)求證:;(2)若ABBC2厘米,求CE、CD的長。圖4 點悟:要證,即要證CEDCBE。 證明:(1)連結(jié)BE (
6、2)。 又, 厘米。 點撥:有切線,并需尋找角的關(guān)系時常添輔助線,為利用弦切角定理創(chuàng)造條件。 例6.如圖5,AB為O的直徑,弦CDAB,AE切O于A,交CD的延長線于E。圖5 求證: 證明:連結(jié)BD, AE切O于A, EADABD AEAB,又ABCD, AECD AB為O的直徑 ADB90 EADB90 ADEBAD CDAB ADBC,例7.如圖6,PA、PC切O于A、C,PDB為割線。求證:ADBCCDAB圖6 點悟:由結(jié)論ADBCCDAB得,顯然要證PADPBA和PCDPBC 證明:PA切O于A, PADPBA 又APDBPA, PADPBA 同理可證PCDPBC PA、PC分別切O于
7、A、C PAPC ADBCDCAB 例8.如圖7,在直角三角形ABC中,A90,以AB邊為直徑作O,交斜邊BC于點D,過D點作O的切線交AC于E。圖7 求證:BC2OE。 點悟:由要證結(jié)論易想到應(yīng)證OE是ABC的中位線。而OAOB,只須證AECE。 證明:連結(jié)OD。 ACAB,AB為直徑 AC為O的切線,又DE切O于D EAED,ODDE OBOD,BODB 在RtABC中,C90B ODE90 CEDC EDEC AEEC OE是ABC的中位線 BC2OE 例9.如圖8,在正方形ABCD中,AB1,是以點B為圓心,AB長為半徑的圓的一段弧。點E是邊AD上的任意一點(點E與點A、D不重合),過
8、E作所在圓的切線,交邊DC于點F,G為切點。 當(dāng)DEF45時,求證點G為線段EF的中點;圖8 解:由DEF45,得 , DFEDEF DEDF 又ADDC AEFC 因為AB是圓B的半徑,ADAB,所以AD切圓B于點A;同理,CD切圓B于點C。 又因為EF切圓B于點G,所以AEEG,F(xiàn)CFG。 因此EGFG,即點G為線段EF的中點。 【模擬試題】(答題時間:40分鐘)一、選擇題 1.已知:PA、PB切O于點A、B,連結(jié)AB,若AB8,弦AB的弦心距3,則PA( ) A. B. C. 5 D. 8 2.下列圖形一定有內(nèi)切圓的是( ) A.平行四邊形 B.矩形 C.菱形 D.梯形 3.已知:如圖1
9、直線MN與O相切于C,AB為直徑,CAB40,則MCA的度數(shù)( )圖1 A. 50 B. 40 C. 60 D. 55 4.圓內(nèi)兩弦相交,一弦長8cm且被交點平分,另一弦被交點分為1:4,則另一弦長為( ) A. 8cm B. 10cm C. 12cm D. 16cm 5.在ABC中,D是BC邊上的點,AD,BD3cm,DC4cm,如果E是AD的延長線與ABC的外接圓的交點,那么DE長等于( ) A. B. C. D. 6. PT切O于T,CT為直徑,D為OC上一點,直線PD交O于B和A,B在線段PD上,若CD2,AD3,BD4,則PB等于( ) A. 20 B. 10 C. 5 D. 二、填
10、空題 7. AB、CD是O切線,ABCD,EF是O的切線,它和AB、CD分別交于E、F,則EOF_度。 8.已知:O和不在O上的一點P,過P的直線交O于A、B兩點,若PAPB24,OP5,則O的半徑長為_。 9.若PA為O的切線,A為切點,PBC割線交O于B、C,若BC20,則PC的長為_。 10.正ABC內(nèi)接于O,M、N分別為AB、AC中點,延長MN交O于點D,連結(jié)BD交AC于P,則_。 三、解答題 11.如圖2,ABC中,AC2cm,周長為8cm,F(xiàn)、K、N是ABC與內(nèi)切圓的切點,DE切O于點M,且DEAC,求DE的長。圖2 12.如圖3,已知P為O的直徑AB延長線上一點,PC切O于C,CDAB于D,求證:CB平分DCP。圖3 13.如圖4,已知AD為O的直徑,AB是O的切線,過B的割線BMN交AD的延長線于C,且BMMNNC,若AB,求O的半徑。圖4【試題答案】一、選擇題 1. A 2. C 3. A 4. B 5. B 6. A 二、填空題 7. 90 8. 1 9. 30 10.
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