導數的基本概念及性質應用

1、ziye試題庫導數的基本概念及性質應用考點：1、掌握導數的基本概念及運算公式，并能靈活應用公式求解 2、能運用導數求解單調區(qū)間及極值、最值 3、理解并掌握極值及單調性的實質，并能靈活應用其性質解題。能力：數形結合方法：講練結合新授課：一、 知識點總結：導數的基本概念與運算公式、 導數的概念函數y =的導數，就是當0時，函數的增量y與自變量的增量的比的極限，即說明：分子和分母中間的變量必須保持一致、 導函數函數y = 在區(qū)間( a, b )內每一點的導數都存在，就說在區(qū)間( a, b )內可導，其導數也是(a ,b )內的函數，叫做的導函數，記作或， 函數的導函數在時的函數值，就是在處的導數。、

2、 導數的幾何意義設函數y =在點處可導，那么它在該點的導數等于函數所表示曲線在相應點處的切線斜率。、 求導數的方法（）基本求導公式 （）導數的四則運算 （）復合函數的導數設在點x處可導，y =在點處可導，則復合函數在點x處可導， 導數性質：1、函數的單調性設函數y在某個區(qū)間內可導，若0，則為增函數；若0則為減函數。求可導函數單調區(qū)間的一般步聚和方法。確定函數的定義區(qū)間求，令0，解此方程，求出它在定義區(qū)間內的一切實根。把函數的間斷點（即的無定義點）的橫坐標和上面的各個實根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點把函數的定義區(qū)間分成若干個小區(qū)間。確定在各小開區(qū)間內的符號，根據的符號判定函數在各個相應

3、小開區(qū)間內的增減性。說明：原函數單調性與導函數單調性無關，只與導函數正負號有關2可導函數的極值極值的概念設函數在點附近有定義，且對附近的所有點都有（或 ），則稱為函數的一個極大（?。┲迭c。稱為極大（?。┲迭c。求可導函數極值的步驟。求導數求方程0的根檢驗在方程0的根左右的符號，如果在根的左側附近為正，右側附近為負，那么函數y在這個根處取得極大值；如果在根的左側附近為負，右側為正，那么函數y在這個根處取得極小值。說明：極值點的導數為0，導數為0的點不一定是極值點（隱含條件，說明某點是極值點，相當于給出了一個0的方程3函數的最大值與最小值設y是定義在區(qū)間a ,b 上的函數，y在(a ,b )內有導數

4、，求函數y在a ,b 上的最大值與最小值，可分兩步進行。求y在(a ,b )內的極值。將y在各極值點的極值與、比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值。若函數y在a ,b 上單調增加，則為函數的最小值，為函數的最大值；若函數y在a ,b 上單調減少，則為函數的最大值，為函數的最小值。說明：極大值小于等于最大值，極小值大于等于最小值二、 例題講解題型一導數的概念【例1】設f(x)在點x0處可導，a為常數，則 等于( )A.f/(x0) B.2af/(x0) C.af/(x0) D.0【變式】設在處可導題型二導數的幾何意義、物理意義【例2】（1）求曲線在點（1，1）處的切線方程； （2）運

5、動曲線方程為，求t=3時的速度。 分析：根據導數的幾何意義及導數的物理意義可知，函數y=f(x)在處的導數就是曲線y=f(x)在點處的切線的斜率。瞬時速度是位移函數S(t)對時間的導數。題型三利用導數求單調區(qū)間【例3】求下列函數單調區(qū)間（1） （2）（3） （4）題型四：利用導數求函數的最（極）值【例4】求函數在閉區(qū)間-3，0上的極值、最大值、最小值題型五：原函數圖像與導函數圖像【例5】 1、設f '(x)是函數f(x)的導函數，y=f '(x)的圖象 如右圖所示，則y=f(x)的圖象最有可能的是(A) (B) (C) (D)2、函數的定義域為開區(qū)間，導函數在內的圖象如圖所示，

6、則函數在開區(qū)間內有極小值點（ ）A1個 B2個 C3個D 4個題型六：利用極值的本質及單調性求解析式【例6】已知函數在處取得極值。(I)討論和是函數的極大值還是極小值；(II)過點作曲線的切線，求此切線方程?！纠?】已知函數在點處取得極大值5，其導函數的圖象經過點（1，0），（2，0）如圖所示.求： （1）的值；（2）a、b、c的值.【例8】已知函數f（x）=x3+ax2+bx+c，當x=1時，取得極大值7；當x=3時，取得極小值求這個極小值及a、b、c的值【例9】已知的圖象經過點，且在處的切線方程是（1）求的解析式；（2）求的單調遞增區(qū)間題型七：含參數的討論【例10】（1）如果函數f(x)=

7、x3+ax的圖象上各點處的切線斜率都為正數，則實數a的取值范圍是( )A.(0,+¥ ) B.0,+¥ ) C.(3,+¥ ) D.3,+¥ ) （2）如果函數f(x)=x3+ax的圖象上有平行于x軸的切線，則實數a的取值范圍是_【例11】已知函數在區(qū)間上都是增函數，在（0，4）上是減函數.（1）求b的值； （2）求a的取值范圍題型八：綜合應用【例12】平面向量，若存在不同時為的實數和，使且，試確定函數的單調區(qū)間例題答案：【例1】解： 故選(C)【變式】：-1【例2】（1）， ，即曲線在點（1，1）處的切線斜率k=0 因此曲線在（1，1）處的切線方程為y

8、=1 （2） ?！纠?】（1） 時 ， （2） ，（3） ， ，（4） 定義域為 【例4】略，注意強調學生的步驟完整性【例5】1、C 2、 A【例6】分析：（1）分析x=±1處的極值情況，關鍵是分析x=±1左右（x）的符號.（2）要分清點A（0，16）是否在曲線上.解：（1）（x）=3ax2+2bx3，依題意，（1）=（1）=0，即解得a=1，b=0.f（x）=x33x，（x）=3x23=3（x+1）（x1）.令（x）=0，得x=1，x=1.若x（，1）（1，+），則（x）0，故f（x）在（，1）上是增函數，f（x）在（1，+）上是增函數.若x（1，1），則（x）0，故f（

9、x）在（1，1）上是減函數.所以f（1）=2是極大值，f（1）=2是極小值.（2）曲線y=x33x，點A（0，16）不在曲線上，設切點M（x0，y0），則y0=x033x.（x0）=3x023，切線方程為yy0=3（x021）（xx0）.代入A（0，16）得16x03+3x0=3（x021）（0x0）.解得x0=2，M（2，2），切線方程為9xy+16=0.評述：過已知點求切線，當點不在曲線上時，求切點的坐標成了解題的關鍵【例7】解：函數的增減變化如下表： x12 +0 -0 +極大極?。?）在x=1處由增變減，故為極大值，即=1.（2）由于，【例8】解：f（x）=3x2+2ax+b據題意，1

10、，3是方程3x2+2ax+b=0的兩個根，由韋達定理得a=3，b=9f（x）=x33x29x+cf（1）=7，c=2極小值f（3）=333×329×3+2=25極小值為25，a=3，b=9，c=2【例9】解：（1）的圖象經過點，則，切點為，則的圖象經過點得（2）單調遞增區(qū)間為【例10】（1）A （2）(-¥ ，0【例11】解：由條件知是函數的極值點.，令，得.已求，.令，得.由條件知為極大值點，則應為極小值點.又知曲線在區(qū)間（0，4）上是減函數. ，得【例12】解：由得所以增區(qū)間為；減區(qū)間為。三、 課堂演練：1. 若曲線y=f（x）在點（x0，f（x0）處的切線方

11、程為2xy1=0，則 Af（x0）>0 Bf（x0）<0 Cf（x0）=0Df（x0）不存在2. 函數在區(qū)間上的最大值是（）ABCD3函數y=x33x的極大值為m，極小值為n，則m+n為A0 B1 C2D44.已知函數在時取得極值，則實數的值是（）ABCD5.在函數的圖象上，其切線的傾斜角小于的點中，坐標為整數的點的個數是（）ABCD6.三次函數y=f（x）=ax3+x在x（，+）內是增函數，則Aa>0Ba<0 Ca=1Da=7. 與直線2x6y+1=0垂直，且與曲線y=x3+3x21相切的直線方程是_8. 已知a為實數，。求導數；若，求在2，2 上的最大值和最小值；若

12、在(，2)和2，+上都是遞增的，求a的取值范圍1-6AAADAA，7.3x+y+2=08. 解：由原式得由 得,此時有.由得或x=-1 , 又 所以f(x)在2,2上的最大值為最小值為解法一:的圖象為開口向上且過點(0,4)的拋物線,由條件得 即 2a2. 所以a的取值范圍為2,2. 解法二:令即 由求根公式得: 所以在和上非負. 由題意可知,當x-2或x2時, 0, 從而x1-2, x22, 即 解不等式組得2a2. a的取值范圍是2,2.四、 課堂小結：導數是高中數學中重要的內容，是解決實際問題的強有力的數學工具，運用導數的有關知識，研究函數的性質：單調性、極值和最值是高考的熱點問題。在高考中考察形式多種多樣，以選擇題、填空題等主觀題目的形式考察基本概念、運算及導數的應用，也經常以解答題形式和其它數學知識結合起來，綜合