高中數(shù)學(xué)：斯蒂芬矩陣教案蘇教版選修4-4

1、矩陣 與 變 換矩陣是代數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容之一，變換是幾何中的基本內(nèi)容之一。對(duì)于中學(xué)數(shù)學(xué)教材改革來說， 怎樣把應(yīng)用廣泛的矩陣內(nèi)容融入代數(shù)教材，以及如何進(jìn)一步用變換的觀念來處理幾何教材，都是值得考慮和研究的課題。本講我們簡(jiǎn)單介紹一些關(guān)于矩陣與變換的知識(shí)，同時(shí)把兩者結(jié)合起來，用矩陣表示變換，使矩陣得到一些應(yīng)用，便于對(duì)變換作進(jìn)一步的研究。不妥之處，敬請(qǐng)指正。§ 1線性方程組與矩陣矩陣是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要的概念，它是線性代數(shù)的主要研究對(duì)象之一，并且是解決許多工程問題的有力工具。下面結(jié)合熟知的線性方程組介紹什么是矩陣。包含有 n 個(gè)未知數(shù)的p 個(gè)線性方程所成的方程組，可以表示如下：a11 x1a12

2、 x2a1nxnb1 ,a21 x1a22 x2a2nxnb2 ,ap1x1ap2x2apn xnbp.大量的或多或少有些實(shí)用的問題，都?xì)w結(jié)為兩個(gè)未知數(shù)兩個(gè)方程的問題，其中有一些已經(jīng)在四千多年前的楔形文字的典籍中出現(xiàn)。上面的一般的線性方程組，特別是方程個(gè)數(shù)等于未知量個(gè)數(shù)的方程組，在各門應(yīng)用數(shù)學(xué)中出現(xiàn)，并且在數(shù)值分析中起著重要的作用。它們?cè)诶碚撋弦彩侵匾?。大約在1840 年，雅可比指出了：方程個(gè)數(shù)少于未知數(shù)個(gè)數(shù)的齊次線性方程組總有非平凡的解；在1750 年，克拉默借助于行列式證明了，對(duì)于方程個(gè)數(shù)等于未知數(shù)個(gè)數(shù)的線性方程組，下列敘述等價(jià)：秩等于未知數(shù)的個(gè)數(shù)，不論右邊為何數(shù)方程組總有解，齊次方程組

3、只有零解。秩的概念是克羅內(nèi)克在1864年引進(jìn)的?，F(xiàn)在，我們把上述方程組的每件外衣剝?nèi)?，只考慮它的系數(shù)，得系數(shù)矩陣a11a12a1na21a22a2na p1 ap2apn這種具有p行n列的數(shù)的長(zhǎng)方形陣列，稱為 p n型矩陣。我們可以把上述線性方程組a11a12a1nx1b1a21a22a2nx2b2表示為。ap1ap2apnxnbp§ 2 消元解法與初等變換我們知道，在用消去法解線性方程組的過程中，常用下面兩種變換以使方程組逐步簡(jiǎn)化：用適當(dāng)?shù)臄?shù)去乘某個(gè)方程的兩邊，然后把它加到另一個(gè)方程上；用一個(gè)不等于0 的數(shù)去乘某個(gè)方程的兩邊。這分別相當(dāng)于對(duì)矩陣的行施行如下的變換：消法變換將矩陣某行

4、的各元素的某個(gè)倍數(shù)加到另一行的相應(yīng)元素上，倍法變換以不等于 0 的數(shù)去乘矩陣的某一行。此外， 還可以施行位置變換將矩陣某兩行的位置對(duì)調(diào)。 矩陣的這三種變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換。不難看出，用消元法解線性方程組的過程，可以對(duì)相應(yīng)的矩陣施行初等變換來實(shí)現(xiàn)。§ 3 矩陣概念的提出為了使大家對(duì)矩陣的概念和將要討論的一些問題的背景有些了解，我們來介紹一些提出矩陣概念的問題。矩陣不僅可以用來表示方程組，還可以表示其他相關(guān)內(nèi)容。xx'cosy'sin 例 1 在解析幾何中，平面直角坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)公式是x x cos ysn , 其中 為 x 軸y x'siny'cos

5、.與 x 軸的夾角。新舊坐標(biāo)之間的變換就可以用一個(gè)2 2 矩陣來表示，這個(gè)矩陣表示平面上的一個(gè)坐標(biāo)變換（坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)）。 例 2 含三個(gè)變量x,y,z 的一個(gè)二次齊次函數(shù)（又稱二次型）222 F ax by cz dxy eyz fzx .二次型可以用矩陣來表示，這里對(duì)應(yīng)的二次型的矩陣是一個(gè)3 3 矩陣。注意矩陣的元素。有時(shí)，考慮二次曲線的一般方程22ax 2bxy cy 2dx 2ey f 0 ，其左端也可以用3 3 矩陣表示。 例 3 某物資由p 個(gè)產(chǎn)地運(yùn)往n 個(gè)銷地。假設(shè)由第i 個(gè)產(chǎn)地運(yùn)往第j 個(gè)銷地的數(shù)量是aij ，那么這樣一個(gè)調(diào)運(yùn)方案就可以用下面的p n 矩陣來表示：a11a12a1

6、na21a22a2na p1 ap2apn 例 4 熟知的向量是矩陣的特殊形式。正如恩格斯指出： “純數(shù)學(xué)的對(duì)象是現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系， 所以是非常現(xiàn)實(shí)的材料。 這些材料以極度抽象的形式出現(xiàn)，這只能在表面上它起源于外部世界的事實(shí)。但是，為了能夠從純粹的狀態(tài)中研究這些形式和關(guān)系，必須使它們完全脫離自己的內(nèi)容，把內(nèi)容作無關(guān)緊要的東西放在一邊，”。§ 4 矩陣的運(yùn)算矩陣運(yùn)算可以看成是矩陣之間的一些最基本的關(guān)系，包含矩陣的加法、減法、 乘法、 矩陣的數(shù)乘、矩陣的轉(zhuǎn)置以及矩陣的逆等。1、 矩陣的加減法矩陣的加法就是矩陣對(duì)應(yīng)的元素相加。當(dāng)然，相加的矩陣必須具有相同的行數(shù)與列數(shù)。不難驗(yàn)證矩

7、陣加法具有下面的性質(zhì)：結(jié)合律，交換律，零矩陣，負(fù)矩陣。因此，可以利用負(fù)矩陣定義減法（減法的三種定義：一仿加法，二用解矩陣方程，三用負(fù)矩陣）。在例 3 中， 物資調(diào)運(yùn)可以用一個(gè)矩陣來表示，如果還要調(diào)運(yùn)另一種物資，那么，還用一個(gè)矩陣來表示，總的運(yùn)輸量也可以表示為一個(gè)矩陣，顯然這個(gè)矩陣就等于上面兩個(gè)矩陣的和。62988473658484739655A,B,C,D,E95i009896849463657075那么，這四個(gè)學(xué)生這5 門課程各自的總分可以用矩陣加法表示：再如，張王李劉四位同學(xué)的語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)、物理、化學(xué)某次測(cè)驗(yàn)的成績(jī)可用矩陣來表示：5個(gè) 4 1382392 ABCDE。4733672、

8、數(shù)與矩陣的乘法以一個(gè)數(shù)乘以矩陣的每一個(gè)元素所得的矩陣叫做數(shù)與矩陣的相乘的積。這樣的定義可以從矩陣的加法中看出，考慮兩個(gè)相同的矩陣相加、考慮三個(gè)相同的矩陣相加等等，類似于數(shù)的乘法的引入。不難驗(yàn)證，數(shù)與矩陣相乘滿足如下性質(zhì)：(1)(k l)A kA lA;(2)k(A B) kA kB; (3)k (lA) (kl)A;(4)1 A A,( 1) A A,其中 k, l 是數(shù)， A, B 是矩陣。矩陣數(shù)乘的實(shí)際例子。甲乙丙丁四所學(xué)校到機(jī)場(chǎng)、碼頭、火車站的距離(單位：千米)164.5 7.5可以用下列矩陣表示15.53611.54.55那么以米作為距離單位，就得10.5106.516000 4500

9、750015500 3000 45001000 A6000 11500 500010500 10000 6500三、矩陣的乘法 在給出矩陣乘法定義前，先給出引出矩陣乘法的問題。設(shè)變量Xi, X2, X3, X4與變量yi, y2, y3之間有如下關(guān)系:Xiaiiyiai2 y2ai3y3,X2a2iyia22 y2a23 y3 ,X3a3iyia32 y2a33y3,X4a4iyia42 y2a43 y3 ,變量小，、2,、3與變量Zl,Z2之間有如下關(guān)系:y1b11 z1b12 z2 ,y2b21 z1b22z2 ,y3b31 z1b32z2,為求變量Xi,X2,X3,X4與變量Zi,Z2之

10、間的關(guān)系，代入可得x1X2X3X4(a11b1(a21b1(a31b1(a41b1a12 b21a22 b21a32b21a42b21(a11 b12a12 b22a13b32 )z2 ,(a21b12a22b22a23 b32 )z2(a31b12a32b22a33b32 )z2(a41 b12a42b22a43b32 )z2a13b31 )z1 a23b31 )z1 a33b31 )z1 a43b31 )z1X1c11 z1c12z2,可以改寫成：X2c21 z1c22 z2 ,X3c31 z1c32 z2 ,X4c41 z1c42 z2 .其中 cijai1b1jai2b2jai3b3j

11、 .由此可以給出矩陣乘法的定義。即用第一個(gè)矩陣的第i 行的相應(yīng)元素與第二個(gè)矩陣第列的相對(duì)應(yīng)的元素的乘積的和作為矩陣的第i 行第 j 列的元素。只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)時(shí)，這兩個(gè)矩陣才可以相乘。利用矩陣的乘法，就很容易表示線性方程組。不難證明，矩陣乘法滿足下面的性質(zhì)：（ 1）結(jié)合律A（BC） （AB）C ，（ 2）關(guān)于乘法與加法的分配律A（B C） AB AC, （B C）A BA CA，（ 3）數(shù)乘結(jié)合k（AB） （kA）B A（kB），（4）單位陣EA AE A,這里E為單位陣。但要注意，（ 1 ）對(duì)于矩陣的乘法一般不滿足交換律，（ 2）兩個(gè)不為0 的矩陣相乘，乘積可能為0

12、。再用一個(gè)實(shí)例來說明。有甲乙兩個(gè)車間都生產(chǎn)a,b,c,d 四種產(chǎn)品，每月生產(chǎn)量（單位：8946千件）由矩陣A給出，每生產(chǎn)1 千件同一種產(chǎn)品，一、二、三月份的耗電7653量各不相同，a,b,c,d 四種產(chǎn)品的這三個(gè)月的耗電量（單位：千度）由下面的矩陣給出：15 14 13443B.A與B的乘積給出了甲乙兩個(gè)車間一、二、三月份的耗電量所表示的矩877675224 218 189陣。187 178 159四、矩陣的轉(zhuǎn)置把一個(gè)矩陣的行列互換，所得到的矩陣稱為原矩陣的轉(zhuǎn)置。顯然，轉(zhuǎn)置矩陣滿足以下規(guī)律：(A')' A；(2)(A B)' A B'(3)(AB)' B

13、'A'(4)(kA)' kA'.五、矩陣的逆設(shè)A是n階方陣，E是n階單位方陣，若存在 n階方陣B,使得AB=BA=E則稱A是一 個(gè)非奇異矩陣，且 B為A的逆矩陣。顯然，若B為A的逆矩陣，則 A也為B的逆矩陣，即 A與B互為逆矩陣。注意，并不是所有矩陣都有逆矩陣，只有方陣才可能有逆矩陣；但若有逆矩陣，則逆矩陣必唯一。我們還有下面的性質(zhì)：(1)(A 1) 1A;(2)(AB) 1 B 1A 1;(3)(A') 1 (A1)'.那么，如何求矩陣的逆矩陣呢？ ( 1)根據(jù)逆矩陣及矩陣相等的定義；(2)利用代數(shù)余11子式、伴隨矩陣的概念，根據(jù)行列式展開式，

14、A 1 A ; ( 3)利用矩陣的初等變換，|A|一一 1(A E) (E A1)。求出了逆矩陣，就方便地求解線性方程組：1. Ax b x Abo§ 5矩陣的等價(jià)前面，介紹過線性方程組與初等變換，那時(shí)的矩陣的初等變換(即位置變換、倍法變換與消法變換)是行初等變換，實(shí)際上，矩陣的初等變換可以擴(kuò)展到列初等變換。矩陣的行初 等變換與列初等變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換。對(duì)單位矩陣施行一次初等變換所得的矩陣稱為初等矩陣，初等矩陣只有三種形式，初等矩陣是可逆矩陣，且逆矩陣仍為初等矩陣。若矩陣A可以經(jīng)過有限次初等變換化為B,則稱矩陣A與B等價(jià)。矩陣的等價(jià)是一個(gè)等價(jià)關(guān)系。顯然，任何矩陣都等價(jià)與一個(gè)對(duì)角

15、形矩陣。由此，矩陣可逆的充分必要條件是矩陣 與單位矩陣等價(jià)。不難得知，對(duì)一個(gè)矩陣施行一次初等行 (列)變換相當(dāng)于用一個(gè)相應(yīng)的初等矩陣去左(右)乘這個(gè)矩陣。這樣就得到上面借助于初等變換求矩陣的逆的方法。§ 6 n維向量一個(gè)矩陣有若干行和若干列組成，我們經(jīng)常要討論矩陣的行(列) 之間的關(guān)系。矩陣的 一行(列)是由若干個(gè)數(shù)組成的有序數(shù)組，這樣的有序數(shù)組通常稱為向量。向量也是一個(gè)很重要的概念，它有非常廣泛地意義，例如，力、位移、速度、加速度等等都是既有大小又有 方向的量它們都是向量。 平面上一個(gè)向量要用兩個(gè)數(shù)來刻劃，空間一個(gè)向量要用三個(gè)數(shù)來刻劃，普通幾何中向量的概念正是這些量的抽象。但有很多

16、事物，如多項(xiàng)式、方程等，需要更 多的數(shù)才能刻劃，這就需要n維向量的概念。將向量看成特殊的矩陣會(huì)帶來很大的方便。我們可以用矩陣來解釋向量，但向量本身又有其特殊性。我們有：向量的線性表示、向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)、向量組的等價(jià)。7 矩陣的秩矩陣的秩是反映矩陣的某種本質(zhì)屬性的一個(gè)概念，矩陣的秩與向量的秩的概念有關(guān)。向量組的極大線性無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)稱為向量組的秩?？梢宰C明：向量組的任何極大線性無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)相等；等價(jià)的向量組具有相同的秩。一個(gè)矩陣的秩就是它的行（列）向量組的秩，即矩陣的秩等于行秩=列秩。實(shí)際上，矩陣的秩等于與它等價(jià)的對(duì)角形矩陣中1 的個(gè)數(shù)。8 線性方程組解的結(jié)構(gòu)齊次線性方程

17、組的基礎(chǔ)解系給出了齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)；非齊次線性方程組未必有解， 有解的充分必要條件是增廣矩陣的秩等于系數(shù)矩陣的秩，且解的結(jié)構(gòu)可以借助于導(dǎo)出的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系及特解來描述。9 變換變換這個(gè)詞的意義比較廣泛，前面我們給出了矩陣的初等變換，我們現(xiàn)在涉及的變換是指幾何的變換，而且是說平面幾何中關(guān)于點(diǎn)的變換，不是指其它變換。如，把平面上的每個(gè)點(diǎn)都向右移動(dòng)2 厘米；把平面上每個(gè)點(diǎn)都繞一個(gè)固定點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30 度；把平面上每個(gè)點(diǎn)關(guān)于一條固定直線對(duì)稱等都是變換。一般地， 把平面內(nèi)的每個(gè)點(diǎn)變成同一個(gè)平面內(nèi)的和它相應(yīng)的唯一的一點(diǎn)，不同的點(diǎn)所變成的點(diǎn)不相同，并且平面內(nèi)的每一點(diǎn)都是由某一個(gè)相應(yīng)的點(diǎn)變成的

18、，這就是平面內(nèi)的點(diǎn)的一個(gè)變換。變換就是一個(gè)映射，而且是一個(gè)一一映射。換句話說，變換就是從平面內(nèi)的點(diǎn)的集合到同一個(gè)平面內(nèi)的點(diǎn)的集合的一個(gè)一一映射。把兩個(gè)變換復(fù)合起來就得到了一個(gè)新的變換。變換的復(fù)合一般不具有交換性。恒等變換是一個(gè)不動(dòng)的變換，它把平面上的每個(gè)點(diǎn)都變成它自己。把變換的復(fù)合看成變換的乘積，可得到變換的逆變換的概念。變換的逆變換就是這樣一種變換，無論它從左或從右復(fù)合，結(jié)果都得到恒等變換。每一個(gè)變換都有逆變換。10 反射變換一個(gè)關(guān)于直線l 的反射有逆變換，它的逆變換就是關(guān)于直線l 的反射本身。反射具有保距的性質(zhì)。即， 經(jīng)過反射，兩個(gè)原象之間的距離等于相應(yīng)的兩個(gè)象之間的距離。一條線段上的所有

19、點(diǎn)經(jīng)反射后得到的是一條線段上的所有點(diǎn)；一條射線經(jīng)過反射得到一條射線；一條直線經(jīng)過反射得到一條直線。反射的保距性質(zhì)蘊(yùn)涵了反射的保角性質(zhì)。一個(gè)反射將兩條垂直線變成兩條垂直線，將兩條平行線變成兩條平行線；將多邊形變成全等的多邊形。例一面直貼墻壁的鏡子， 要使身高從160cm到190cm的人都可以自己看到全身，那么鏡長(zhǎng)至少是多少？假定一個(gè)人的眼睛位于頭頂下方10cm處。關(guān)于直線l的反射使A為固定（不動(dòng)）點(diǎn)的充分必要條件是 A在直線l上；關(guān)于直線l 的反射使直線 m上的每個(gè)點(diǎn)都為固定點(diǎn)的充要條件是 m=l;關(guān)于直線l的反射使直線 m為固 定直線的充要條件是 m=l或m與l垂直。把平面上的每個(gè)點(diǎn)都按一定的

20、方向移動(dòng)一定的距離，這樣的一個(gè)變換是一個(gè)平移。如果移動(dòng)的距離為0 就為恒等變換，因此，恒等變換是平移變換的一個(gè)特例。把 A 點(diǎn)移動(dòng)到B 點(diǎn)有且僅有一個(gè)平移，即A， B 兩點(diǎn)確定一個(gè)平移。經(jīng)過平移之后，兩個(gè)原象之間的距離等于相應(yīng)的兩個(gè)象之間的距離，即平移也具有保距性。由此，把一個(gè)圖形上的所有點(diǎn)進(jìn)行平移得到的是與原圖全等的圖形。分別對(duì)平行線l和m的兩個(gè)反射的復(fù)合是一個(gè)平移，這個(gè)平移的方向是從l到m而垂直于直線l （或m）的方向，這個(gè)平移的距離等于平行線l與m間距離的2倍。反之也對(duì)。也就是說，反射與平移之間有下面的關(guān)系：兩個(gè)關(guān)于兩條平行線的反射是一個(gè)平移，而一個(gè)平移可以寫成兩個(gè)關(guān)于兩條平行線的反射的

21、積。在這個(gè)意義上，反射是比平移更簡(jiǎn)單的一種變換。§ 12 旋轉(zhuǎn)變換把平面內(nèi)每個(gè)點(diǎn)都繞一個(gè)定點(diǎn)按一定的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)動(dòng)一定的角度，這樣的一個(gè)變換是一個(gè)變換，這個(gè)定點(diǎn)稱為旋轉(zhuǎn)的中心。如果兩個(gè)旋轉(zhuǎn)的角度相差為360 度的整數(shù)倍，則實(shí)際上這兩個(gè)旋轉(zhuǎn)是同一個(gè)旋轉(zhuǎn)。旋轉(zhuǎn)角度為 0 是即為恒等變換，因此，恒等變換也是旋轉(zhuǎn)變換的一個(gè)特例。容易看到，經(jīng)過一個(gè)不是恒等變換的旋轉(zhuǎn)，平面內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn)不動(dòng)，這個(gè)點(diǎn)就是旋轉(zhuǎn)的中心。旋轉(zhuǎn)變換也是一個(gè)保距變換。由此， 把一個(gè)圖形上的所有點(diǎn)經(jīng)過旋轉(zhuǎn)所得到的點(diǎn)組成的圖形與原來的圖形全等。反射與旋轉(zhuǎn)之間有下面的關(guān)系：兩個(gè)關(guān)于兩條相交直線的反射的積是一個(gè)旋轉(zhuǎn)，而一個(gè)旋轉(zhuǎn)可以寫成兩個(gè)

22、關(guān)于兩條相交直線的反射的積。兩個(gè)反射的積是一個(gè)平移，或者是一個(gè)旋轉(zhuǎn)，只有當(dāng)兩個(gè)反射的積是一個(gè)恒等變換時(shí)，這個(gè)積才即使平移又是旋轉(zhuǎn)。繞同一個(gè)中心的兩個(gè)旋轉(zhuǎn)的復(fù)合仍是繞這個(gè)中心的旋轉(zhuǎn)，且這種復(fù)合滿足交換律；繞不同中心的旋轉(zhuǎn)的復(fù)合一般不滿足交換律。進(jìn)一步研究?jī)蓚€(gè)不同中心的旋轉(zhuǎn)，可以發(fā)現(xiàn)下面有意義的事實(shí)：一個(gè) 角的旋轉(zhuǎn)與一個(gè)角的旋轉(zhuǎn)的復(fù)合，不管中心是否相同，總是一個(gè)角的旋轉(zhuǎn)；但在k 360 0 時(shí)，就是一個(gè)平移。事實(shí)上，我們可以把兩個(gè)旋轉(zhuǎn)的積分解成4 個(gè)反射的積，這 4 個(gè)反射的積又可以合并成2 個(gè)反射的積，而兩個(gè)反射的積或者是一個(gè)旋轉(zhuǎn)或者是一個(gè)平移，從而知道兩個(gè)旋轉(zhuǎn)的積或者是一個(gè)旋轉(zhuǎn)或者是一個(gè)旋轉(zhuǎn)或

23、者是一個(gè)平移，并且看到兩個(gè)旋轉(zhuǎn)的積是一個(gè)旋轉(zhuǎn)時(shí)，旋轉(zhuǎn)角等于原來兩個(gè)旋轉(zhuǎn)角的和。半轉(zhuǎn)， 顧名思義，就是轉(zhuǎn)半周的意思，即把平面上的每個(gè)點(diǎn)都繞一個(gè)定點(diǎn)按一定的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)動(dòng) 180 度，這樣的旋轉(zhuǎn)就是一個(gè)半轉(zhuǎn)。半轉(zhuǎn)就是所熟悉的關(guān)于旋轉(zhuǎn)中心對(duì)稱。半轉(zhuǎn)不但具有一般旋轉(zhuǎn)所共有的性質(zhì)，還具有一般旋轉(zhuǎn)所沒有的特殊性質(zhì)。一個(gè)半轉(zhuǎn)有逆變換，就是原來的半轉(zhuǎn)本身。經(jīng)過一個(gè)半轉(zhuǎn)，能使這個(gè)半轉(zhuǎn)的中心是不動(dòng)點(diǎn)，以半轉(zhuǎn)中心為圓心的圓是不動(dòng)圓，過半轉(zhuǎn)中心的直線為不動(dòng)直線。半轉(zhuǎn)具有保距性。半轉(zhuǎn)與反射之間有下列關(guān)系：兩個(gè)關(guān)于兩條互相垂直的直線的反射的積就是關(guān)于兩直線交點(diǎn)的一個(gè)半轉(zhuǎn)；一個(gè)半轉(zhuǎn)可以寫成兩個(gè)關(guān)于兩條經(jīng)過半轉(zhuǎn)中心而互相垂直的直線

24、的反射的積，這里反射的次序可以任意。兩個(gè)半轉(zhuǎn)的積是一個(gè)平移，這個(gè)平移的方向就是從一個(gè)中心到另一中心的方向，平移的距離就是兩個(gè)中心距離的2 倍。三個(gè)半轉(zhuǎn)的積是一個(gè)半轉(zhuǎn)。13 保距變換反射、平移、旋轉(zhuǎn)都是保距變換。具有保距性質(zhì)的變換統(tǒng)稱為保距變換。一個(gè)圖形經(jīng)過保距變換得到的圖形與原來的圖形全等。保距變換的逆變換也是保距變換。兩個(gè)保距變換的積仍是保距變換。問題：有兩個(gè)全等的三角形ABC和 DEF處在平面上的任何位置，能否找到一個(gè)保距變換 使得(A) D, (B) E, (C) F?（1）作AD的垂直平分線l （A與D重合時(shí)跳過，下同），得反射ABC DB'C'； （2）作B'

25、E的垂直平分線 m,易知，D在m上，得反射m, DB'C' DEC''(3) C''F的垂直平分線 n就是DE.令n m i即為所求.由上可以看出，這個(gè)保距變換至多是三個(gè)反射的積任何一個(gè)保距變換一定把某個(gè)全等的三角形變成與之全等的三角形,因此，任何保距變換可有下面幾種（1）本身是反射（2）可化為兩個(gè)反射的積（3）可以化為三個(gè)反射的積。也就是 說，一個(gè)不是恒等變換的保距變換是一個(gè)反射，平移，旋轉(zhuǎn)，平移與其后反射的積，或者旋 轉(zhuǎn)與其后反射的積。反射變換在保距變換中起者十分重要的作用。§ 14相似變換與位似變換保距變換是把圖形變成全等圖形的變

26、換。而相似變換是范圍更廣的變換。平面內(nèi)的一個(gè)變換，如果任意兩個(gè)原象之間的距離與相應(yīng)的象之間的距離的比是一個(gè)大于0的常數(shù)，那么這個(gè)變換就是一個(gè)相似變換。這個(gè)常數(shù)等于 距變換是相似變換的一個(gè)特例。1時(shí)即為保距變換。因此，保相似變換的逆變換仍為相似變換，對(duì)應(yīng)的常數(shù)為原來常數(shù)的倒數(shù)。相似變換把一個(gè)三角形變成與它相似的三角形；相似變換把共線的三點(diǎn)變成共線的三點(diǎn)；相似變換把一條直線變成一條直線，把一條射線變成一條射線， 把一個(gè)角變成相等的角，把平行線變成平行線，把垂線變成垂線等等。相似變換與保距變換有許多相似的性質(zhì)，但相似變換不一定把線段變成相等的線段。一個(gè)相似變換把一個(gè)多邊形變成與它相似的多邊形。兩個(gè)多

27、邊形相似，對(duì)應(yīng)角相等對(duì)應(yīng)邊成比例。相似變換把一個(gè)一般圖形變成與它相似的圖形。兩個(gè)相似變換的乘積是一個(gè)相似變換，其相似比為原來兩個(gè)相似比的乘積。位似變換是相似變換的一個(gè)特例。設(shè)有一個(gè)變換，把一個(gè)定點(diǎn) C變成這點(diǎn)本身，而把平面內(nèi)的其它點(diǎn)P變成射線CP上的CP'一點(diǎn)P',使得CPCP為放大與縮小兩種。 換的一種特例。r 0，那么這樣的變換叫做以 C為中心比為r的位似變換。位似又分位似變換將任意兩點(diǎn)的距離等比例放大或縮小,因此位似變換是相似變兩個(gè)圖形，如果能夠通過一個(gè)位似變換把其中一個(gè)圖形上的所有點(diǎn)變到另一個(gè)圖形上的所有點(diǎn)，那么這兩個(gè)圖形叫做位似圖形。兩個(gè)位似圖形一定是相似圖形，但反過

28、來，兩個(gè)相似圖形卻未必為位似圖形。兩個(gè)相似圖形如果對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線通過同一個(gè)頂點(diǎn)，那么它們就是位似圖形，否則就不是。因此，兩個(gè)相似圖形未必有位似變換把其中一個(gè)圖形變成另一個(gè)圖形。 換把其中一個(gè)圖形變成另一個(gè)圖形。但是，一定存在唯一的相似變回答是肯定的，有且只有一個(gè)這樣的保距變換。事實(shí)上,相似變換是一個(gè)位似變換與一個(gè)保距變換的積，這個(gè)結(jié)果刻畫了相似變換與位似變換和保距變換之間的一個(gè)重要關(guān)系。保距變換與相似變換都能把一條直線上的所有點(diǎn)變成一條直線上的所有點(diǎn)，因此，有更一般的保線變換，這里不再討論（如擠壓變換就是保線變換但不是相似和保距變換）。§ 14用矩陣表示變換這里討論它們之間的聯(lián)系,即

29、用矩陣來表示各種前面我們討論了矩陣， 也討論了變換, 變換，也可以用矩陣來研究變換。x例1擠壓變換yx xy,即y例2平面上線性變換的一般形式y(tǒng)ax bydx eyyc x。這里 f yae bd 0。為了與逆矩陣聯(lián)系,又可以如下表不：xy。因此，變換1與矩陣對(duì)應(yīng)，逆變換與相應(yīng)的逆矩陣對(duì)應(yīng)，逆變換可以用逆矩陣來表示。用矩陣表示變換的另一個(gè)好處是，變換的復(fù)合可以用相應(yīng)的矩陣的乘積來表示，矩陣相乘的次序與變換復(fù)合的次序相同。怎樣用矩陣來表示反射、平移、旋轉(zhuǎn)等保距變換呢？3對(duì)x1軸的反射000 ,對(duì)直線x a的反射12ab的反射axby0(a2b2 1)的(12a2)x2aby 2ac,1 2a22

30、ab2ab2b22ac2bc ，為便于記憶，可記為由于b2，己 a'1 2a2,b 2ab,yy2abx (1x 2a(axy 2b(ax22b2)yby c),by c)ab上面矩陣可寫為b般的反射的矩陣。例4 一條直線l經(jīng)過原點(diǎn)，與x軸所成的夾角為,求關(guān)于這條直線的反射的矩陣。直線l的方程xsin ycos0 ,于是關(guān)于這條直線的反射的矩陣為1 2sin 22sin ( cos ) 0cos2 sin 2022sin ( cos )1 2cos 0sin 2 cos2 0 。1001 例 5 從 O(0,0) 到 A(a,0) 的平移xa x a ，矩陣為 y10a0 1 0 ；從 O(0,0) 到 B(0,b) 的001平移yb001 b ；從 O(0,0) 到 P(a,b) 的平移0110a0 1 b 。反之也對(duì)。001 例 6 求證：對(duì)兩條平行直線反射的積是一個(gè)平移。作坐標(biāo)軸，使 y 軸平行于這兩條直線x a 和 x b ， 對(duì)直線 x a 與 x b 的反射的矩1 0 2a 1 0 2b010與 010x a 反射，再對(duì)x b 反射，它們的0010011 0 2b積的矩陣表示為