基于制定合理醫(yī)療保障分配制度的數(shù)學(xué)模型

1、基于制定合理醫(yī)療保障分配制度的數(shù)學(xué)模型摘要：隨著社會的發(fā)展，各企業(yè)越來越注重員工的福利措施，醫(yī)療保障基金就是其中的一項(xiàng)。本文針對某一擁有四個(gè)子公司的集團(tuán)關(guān)于醫(yī)療保障基金額度的分配問題，運(yùn)用了科學(xué)的方法，建立了兩個(gè)符合實(shí)際情況的預(yù)測模型，求解出了最佳的分配方案。在問題的分析中首先通過過去24年的醫(yī)療費(fèi)用走勢圖預(yù)測2004年四個(gè)子公司的醫(yī)療保障費(fèi)用將超過80萬元。由此通過建立模型驗(yàn)證并求出四子公司的分配方案。模型一：通過Matlab軟件基于多項(xiàng)式擬和原理，建立了1980-2003年關(guān)系的預(yù)測模型，求得各個(gè)子公司在1980-2003年所需保障費(fèi)用的大體發(fā)展趨勢與走向，到2004年各個(gè)子公司所需保障費(fèi)

2、用分別為19.9764萬元、17.1314 萬元、24.5819萬元、25.5532萬元，具有較好的中短期預(yù)測效果。模型二：由于方差能夠反映一組數(shù)據(jù)波動(dòng)的大小，通過Matlab軟件計(jì)算出各子公司在1980年消費(fèi)指數(shù)條件下的醫(yī)療費(fèi)用方差。運(yùn)用式子預(yù)測出各子公司2004年在1980年消費(fèi)指數(shù)條件下的醫(yī)療費(fèi)用。再通過2004年的通貨膨脹指數(shù)計(jì)算出到2004年各個(gè)子公司所需保障費(fèi)用分別為20.7189萬元、17.7369萬元、24.1846萬元、25.8031萬元。這和模型一的結(jié)果是非常接近的，由此得出模型一是合理的。模型一和模型二的結(jié)果都超過80萬元，于是80萬元顯然不能滿足四個(gè)子公司的需求。為了使

3、四子公司得到公平的分配，這里運(yùn)用權(quán)重比例分配法，合理分配了80萬元，分配方案為18.31萬元、15.71萬元、22.54萬元、23.43萬元。本模型在計(jì)算與統(tǒng)計(jì)過程中，引入了多項(xiàng)式擬和和方差估計(jì)兩種方法，在實(shí)際工程中，可以對商品的銷統(tǒng)計(jì)、人口的統(tǒng)計(jì)及其他的預(yù)測控制帶來幫助。本文建立的分配方案模型不僅可以用于基金分配，還可以用于材料分配、人力資源分配等問題。關(guān)鍵詞：多項(xiàng)式擬和 方差估計(jì) 合理分配一.問題的重述： 傳統(tǒng)的合作醫(yī)療保障制度隨著社會的發(fā)展，日益不能滿足各項(xiàng)需求，因此根據(jù)已有數(shù)據(jù)，運(yùn)用數(shù)學(xué)建模的方法，制定出合理的、現(xiàn)代醫(yī)療保障分配制度是一個(gè)重要問題。某集團(tuán)下分別有A、B、C、D四個(gè)子公司

4、，各子公司財(cái)務(wù)分別獨(dú)立核算，每個(gè)子公司都實(shí)施了對雇員的醫(yī)療保障計(jì)劃，由各子公司自行承擔(dān)雇員的全部醫(yī)療費(fèi)用。為進(jìn)一步規(guī)范各個(gè)子公司的醫(yī)療保障計(jì)劃，集團(tuán)董事會規(guī)定，在2003年底,各個(gè)子公司均需以銀行活期存款的方式，設(shè)立醫(yī)療保障基金，基金專門用于支付2004年度雇員的醫(yī)療費(fèi)用。 并規(guī)定每個(gè)子公司的醫(yī)療保障基金只能用于支付本子公司雇員。董事會綜合考慮了各種因素，確定本集團(tuán)設(shè)立的2004年度醫(yī)療保障基金的總額度為80萬元，這一額度在四個(gè)子公司之間分配。對于各子公司，如果2004年度總的醫(yī)療費(fèi)用支出低于該子公司的醫(yī)療保障基金的額度， 則雇員可以及時(shí)得到醫(yī)療方面的保障。 而如果總的醫(yī)療費(fèi)用超過了醫(yī)療保障基

5、金的額度， 則子公司需要通過其他渠道來籌措超出部分的額度。這會導(dǎo)致某些雇員無法及時(shí)報(bào)銷醫(yī)療費(fèi)用。并且每個(gè)子公司的雇員人數(shù)以及每一年齡段的雇員比例，在各年度都保持相對穩(wěn)定，四個(gè)子公司的個(gè)年度的醫(yī)療費(fèi)用支出見表1；相關(guān)年度的通貨膨脹指數(shù)見表2；已知2004年銀行活期存款利率為1%由此確定80萬元醫(yī)療保障基金在四個(gè)子公司之間的分配方案表1：年度公司A公司B公司C公司D19808.288.818.0210.5019818.769.318.3610.7619829.2910.419.2011.34198310.7311.6110.5112.89198410.8811.3910.7013.20198511

6、.3412.5311.2014.24198611.9713.5813.0114.90198712.0213.7013.2415.28198812.1613.3213.8215.20198912.8314.3214.7416.96199013.9015.8417.3319.23199114.7114.6718.5020.99199216.1114.9917.7223.22199316.4014.5618.4523.19199417.0714.5519.7724.04199516.9614.8019.5623.72199616.8815.4119.7024.88199717.2015.7620.5

7、227.34199819.8716.7622.5128.12199920.1917.6823.1028.38200020.0017.3323.2428.81200119.8117.0323.2226.71200219.4016.9523.7619.82200320.4816.6624.5020.48在下圖中，軸從1到24分別按順序表示從1980年到2003年的各年份，軸表示相應(yīng)的支出金額（單位：萬元）。圖形如下：表2：日期 通貨膨脹指數(shù) 日期 通貨膨脹指數(shù)1980年1月1日 100 1992年1月1日 1811981年1月1日 105 1993年1月1日 1821982年1月1日 115 19

8、94年1月1日 1891983年1月1日 128 1995年1月1日 1911984年1月1日 130 1996年1月1日 1971985年1月1日 140 1997年1月1日 20001986年1月1日 150 1998年1月1日 2101987年1月1日 151 1999年1月1日 2111988年1月1日 152 2000年1月1日 2151989年1月1日 160 2001年1月1日 2171990年1月1日 175 2002年1月1日 2191991年1月1日 180 2003年1月1日 226二問題的分析：從醫(yī)療保障基金的性質(zhì)來看，其目的是為員工的醫(yī)療費(fèi)用進(jìn)行補(bǔ)償，由于集團(tuán)是由四個(gè)

9、子公司組成，為了在四個(gè)公司之間的金額分配更合理，更公平，從而達(dá)到真正為公司員工服務(wù)的目的，集團(tuán)就應(yīng)當(dāng)統(tǒng)籌安排基金總額及分配到各子公司的具體金額。如果基金總額不足以讓每個(gè)子公司都能及時(shí)給雇員醫(yī)療保障，那么集團(tuán)不能讓某些子公司滿足而另外的相差甚遠(yuǎn)，只能通過合理的分配讓每個(gè)子公司自行籌措一部分，這樣才能體現(xiàn)出公平性。如果基金總額能夠使每個(gè)子公司雇員得到及時(shí)報(bào)銷，則只需滿足每子公司有足夠的報(bào)銷費(fèi)用，這樣才能體現(xiàn)出合理性。.根據(jù)醫(yī)療保障發(fā)放的實(shí)際情況，醫(yī)療費(fèi)用報(bào)銷可隨到隨報(bào)、按月報(bào)、按季度報(bào)以及年終報(bào)銷等制度。為了使利息最高，采取年終報(bào)銷最好。由于2003年度各子公司醫(yī)療費(fèi)用支出總額超出了計(jì)劃設(shè)立的20

10、04年保障基金本息和（20.48+16.66+|24.50+20.48=82.1280）顯然各子公司必須自行籌措部分支出. 每個(gè)子公司的雇員人數(shù)以及每一年齡段的雇員比例，在各年度保持相對穩(wěn)定，這說明各子公司每年在該方面的支出也是相對穩(wěn)定的。我們可以把數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為同一年度進(jìn)行驗(yàn)證.三模型的假設(shè)：1 各子公司各年度醫(yī)療費(fèi)用的變化主要是因?yàn)橥ㄘ浥蛎浺鸬摹? 雇員是在年終報(bào)銷醫(yī)療費(fèi)用。3 2004年社會安定，全國GDP增長保持穩(wěn)定，全國無重大災(zāi)害，疫情發(fā)生。4 銀行利率變化的影響不考慮。四符號說明：Z 基金總額度(80萬)Z 基金存入銀行后一年的本息和（80.8萬） A公司第i年所分配到的基金額度 B

11、公司第i年所分配到的基金額度 C公司第i年所分配到的基金額度 D公司第i年所分配到的基金額度五模型的建立與求解：由于每個(gè)公司的雇員人數(shù)以及每一年齡段的雇員比例在各年度保持相對穩(wěn)定，我們把各公司各年的醫(yī)療費(fèi)用支出轉(zhuǎn)換為1980年的醫(yī)療費(fèi)用支，由此預(yù)測出2004年時(shí)醫(yī)療費(fèi)用支，最后再乘以2004年的通貨膨脹指數(shù)，得到2004年實(shí)際各公司的醫(yī)療費(fèi)用支費(fèi)用。方法一：擬合法1，采用擬合方法對各年醫(yī)療支出費(fèi)用（轉(zhuǎn)化成1980年支出費(fèi)用）進(jìn)行預(yù)測時(shí)：擬合方法對各年醫(yī)療支出費(fèi)用源程序見（A）經(jīng)過實(shí)驗(yàn),用7次方為最高次數(shù)擬合效果很好: 此時(shí),通貨膨脹指數(shù)函數(shù)為 227.0469.取為2272，采用擬合方法對通貨

12、膨脹指數(shù)進(jìn)行預(yù)測：擬合方法對通貨膨脹指數(shù)進(jìn)行預(yù)測源程序見（B）最后求得各公司的醫(yī)療費(fèi)用如下：A公司預(yù)測所得到的2004年的醫(yī)療費(fèi)用 為19.9764萬元B公司預(yù)測所得到的2004年的醫(yī)療費(fèi)用 為17.1314 萬元C公司預(yù)測所得到的2004年的醫(yī)療費(fèi)用 為24.5819萬元D公司預(yù)測所得到的2004年的醫(yī)療費(fèi)用 為25.5532萬元總費(fèi)用為：87.2429萬元方法二：方差法將各子公司每年的醫(yī)療費(fèi)用開支轉(zhuǎn)化為1980年的費(fèi)用. 如下表：(單位:萬元)：年份 A公司 B公司 C公司 D公司1980 8.2800 8.8100 8.0200 10.50001981 8.3429 8.8667 7.9

13、619 10.24761982 8.0783 9.0522 8.0000 9.86091983 8.3828 9.0703 8.2109 10.07031984 8.3692 8.7615 8.2308 10.15381985 8.1000 8.9500 8.0000 10.17141986 7.9800 9.0533 8.6733 9.93331987 7.9603 9.0728 8.7682 10.11921988 8.0000 8.7632 9.0921 10.00001989 8.0187 8.9500 9.2125 10.60001990 7.9429 9.0514 9.9029 1

14、0.98861991 8.1722 8.1500 10.2778 11.66111992 8.9006 8.2818 9.7901 12.82871993 9.0110 8.0000 10.1374 12.74181994 9.0317 7.6984 10.4603 12.71961995 8.8796 7.7487 10.2408 12.41881996 8.5685 7.8223 10.0000 12.62941997 8.6000 7.8800 10.2600 13.67001998 9.4619 7.9810 10.7190 13.39051999 9.5687 8.3791 10.9

15、479 13.45022000 9.3023 8.0605 10.8093 13.40002001 9.1290 7.8479 10.7005 12.30882002 8.8584 7.7397 10.8493 9.05022003 9.0619 7.3717 10.8407 9.0619由于方差能夠反映一組數(shù)據(jù)波動(dòng)的大小，其表達(dá)式為，對于一組離散且無明顯分布概率的數(shù)據(jù)，還可表示為。通過如下Matlab的程序可以得到A,B,C,D四個(gè)子公司在1980年消費(fèi)指數(shù)條件下的醫(yī)療費(fèi)用方差份分別為：，。在下圖是1980年到2003年各年份各子公司按1980年消費(fèi)指數(shù)的醫(yī)療支出費(fèi)用的走勢圖。（單位：萬元）

16、從此圖中我們不難看出A,B,C三個(gè)子公司的醫(yī)療費(fèi)用的波動(dòng)是比較小的，同上面所作的方差一致。且從圖中可以明顯看出2003年A,C兩子公司的醫(yī)療費(fèi)用在2002年的基礎(chǔ)上是增加的，而B公司則剛好相反。于是我們可以預(yù)測2004年A,B,C三個(gè)子公司在1980年物價(jià)情況下的醫(yī)療費(fèi)用符合關(guān)系式：。由此我們求出：（萬元），（萬元），（萬元）。接下來我們再對D公司進(jìn)行預(yù)測，由于無論是從方差還是從走勢圖都顯示出D公司的醫(yī)療費(fèi)用波動(dòng)是非常大的，所以D公司2004年的醫(yī)療費(fèi)用不能用上面的方法預(yù)測。又從走勢圖中可以看出D公司的醫(yī)療費(fèi)用在1990到2000年間很高，而在2002到2003年又降下來并趨近于平穩(wěn)。由此我們

17、可以這樣認(rèn)為：該公司在1990到2000年間，雇員的健康程度逐年下滑（暫且認(rèn)為年齡增長），而在2000到2003年由于老雇員的退出和年輕雇員的引進(jìn)，年醫(yī)療費(fèi)用就降下來并趨于穩(wěn)定。因此可以用1990到2003年的平均值作為2004年的醫(yī)療費(fèi)用：。由方案一預(yù)測出的2004年通貨膨脹指數(shù)2.26乘以上面算出的結(jié)果就得到了2004年各公司應(yīng)分配的醫(yī)療費(fèi)用分別是:20.7189萬元，17.7369萬元，24.1846萬元和25.8031萬元。這個(gè)結(jié)果和方案一的結(jié)果是非常接近的，于是我們可以認(rèn)為方案一是合理的。六.模型的評價(jià)與推廣：1.通過多種方法對此模型求解結(jié)果的比較可以看出采用擬合方法對各年醫(yī)療支出費(fèi)

18、用的預(yù)測是合理的，符合公司的實(shí)際情況，可以在公司推廣和應(yīng)用。2.在預(yù)測2004年各個(gè)子公司A、B、C、D的醫(yī)療費(fèi)用分配問題時(shí)，對近24年來這些大量波動(dòng)且隨機(jī)的數(shù)據(jù)，我們采用了擬合和方差兩種方案，并對結(jié)果的比較，選取最優(yōu)方案，保證了模型的正確性和準(zhǔn)確性。3.在對題中所給的大量數(shù)據(jù)進(jìn)行處理時(shí)，為了避免大量的計(jì)算，我們利用了Matlab語言編程。這種做法值得推廣到更大的數(shù)據(jù)處理問題中。七.參考文獻(xiàn)：1.XXXXX2.XXXXX八.文中涉及的各源程序如下：（A）擬合方法對各年醫(yī)療支出費(fèi)用源程序：A=load('e:7.txt');f=A'b=f(4,:);t=1980:2003

19、;ni=polyfit(t,b,5);nit1=1980:2004;y1=polyval(ni,t1);plot(t,b,'k*',t1,y1,'k');title('A公司醫(yī)療支出費(fèi)用預(yù)測圖表');xlabel('年份');ylabel('A公司醫(yī)療支出費(fèi)用');y1（B）擬合方法對通貨膨脹指數(shù)進(jìn)行預(yù)測源程序：A=load('e:6.txt');b=A't=1980:2003;ni=polyfit(t,b,7);nit1=1980:2004;y1=polyval(ni,t1);plot(t

20、,b,'k*',t1,y1,'k');title('通貨膨脹指數(shù)預(yù)測圖表');xlabel('年份');ylabel('通貨膨脹指數(shù)');y1（C）方差程序：n1=;n2=;n3=;n4=;a=;k1=0;k2=0;k3=0;k4=0;b1=0;b2=0;b3=0;b4=0;x1=0;x2=0;x3=0;x4=0;c=8.2800 8.8100 8.0200 10.5000 8.3429 8.8667 7.9619 10.2476 8.0783 9.0522 8.0000 9.8609 9.0932 9.8390

21、8.9068 10.9237 8.3692 8.7615 8.2308 10.1538 8.1000 8.9500 8.0000 10.1714 7.9800 9.0533 8.6733 9.9333 7.9603 9.0728 8.7682 10.1192 8.0000 8.7632 8.7368 10.0000 8.0188 8.9500 9.2125 10.6000 7.9429 9.0514 9.9029 10.9886 8.1722 8.1500 10.2778 11.6611 8.9006 8.2818 9.7901 12.8287 9.0110 8.0000 10.1374 12

22、.7418 9.0317 7.6984 10.4603 12.7196 8.8796 7.7487 10.2408 12.4188 8.5685 7.8223 10.0000 12.6294 8.6000 7.8800 10.2600 13.6700 9.4619 7.9810 10.7190 13.3905 9.5687 8.3791 10.9479 13.4502 9.3023 8.0605 10.8093 13.4000 9.1290 7.8479 10.7005 12.3088 8.8584 7.7397 10.8493 9.0502 9.0619 7.3717 10.8407 9.0619;for i=1:24 n1(i,1)=c(i,1)-8.612975