高中數(shù)學(xué)人教B版必修3課件：3.1.4 概率的加法公式

1、3 3.1 1.4 4概率的加法公式1.掌握互斥事件的概念及概率的加法公式.2.掌握對(duì)立事件的概念及概率的加法公式.3.理解互斥事件與對(duì)立事件的異同及概率加法公式的使用條件.4.能利用互斥事件與對(duì)立事件的概率公式求事件的概率.一般地,如果事件A1,A2,An兩兩互斥,那么事件“A1A2An”發(fā)生的概率,等于這n個(gè)事件分別發(fā)生的概率和,即P(A1A2An)=P(A1)+P(A2)+P(An).【做一做1】 從19這九個(gè)數(shù)字中任意取兩個(gè)數(shù),分別有下列事件:恰有一個(gè)是奇數(shù)和恰有一個(gè)是偶數(shù);至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)數(shù)都是奇數(shù);至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)數(shù)都是偶數(shù);至少有一個(gè)是奇數(shù)和至少有一個(gè)是偶數(shù).以上事件

2、中是互斥事件的是()A.B.C.D.答案:C互斥事件與對(duì)立事件的異同剖析:(1)從概念上區(qū)別:“互斥事件”和“對(duì)立事件”都是就兩個(gè)事件而言的.互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件,而對(duì)立事件是其中必有一個(gè)發(fā)生的互斥事件.因此,對(duì)立事件必須是互斥事件,但互斥事件不一定是對(duì)立事件.“對(duì)立”是所研究的互斥事件中兩個(gè)事件的非此即彼的關(guān)系.對(duì)立事件的兩個(gè)必要條件是:A與B互斥,A與B在一次試驗(yàn)中必有一個(gè)發(fā)生. (2)從集合的角度區(qū)別:A和B互斥是指這兩個(gè)事件所含的結(jié)果組成的集合不相交,即AB=,也就是沒有公共部分的基本事件.易知,必然事件與不可能事件是互斥的.如果事件A1,A2,An中的任何兩個(gè)都是互斥事

3、件,那么我們就說,事件A1,A2,An彼此互斥.從集合角度看,n個(gè)事件彼此互斥,是指由各個(gè)事件所含的結(jié)果組成的集合彼此不相交.例如,從一堆產(chǎn)品(其中正品和次品都多于2個(gè))中任取2件,其中:“恰有一件次品和恰有兩件次品”就是互斥事件;“至少一件次品和全是次品”就不是互斥事件;“至少有一件次品和全是正品”是對(duì)立事件.事件A與事件B對(duì)立是指由事件B所含的結(jié)果組成的集合,是全集U中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集,即滿足條件AB=,且AB=U.歸納總結(jié)互斥事件與對(duì)立事件都是兩個(gè)事件的關(guān)系,互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件,而對(duì)立事件除要求這兩個(gè)事件不同時(shí)發(fā)生外,還要求二者之中必須有一個(gè)發(fā)生.因此,

4、對(duì)立事件是互斥事件,是互斥中的特殊情況,但互斥事件不一定是對(duì)立事件.題型一題型二題型三互斥事件與對(duì)立事件的判斷【例1】 判斷下列各對(duì)事件是否為互斥事件,是否為對(duì)立事件,并說明理由.某小組有3名男生和2名女生,從中任選2名同學(xué)去參加演講比賽,其中(1)“恰有1名男生”和“恰有2名男生”;(2)“至少有1名男生”和“至少有1名女生”;(3)“至少有1名男生”和“全是男生”;(4)“至少有1名男生”和“全是女生”.分析:判斷兩個(gè)事件是否互斥,就是研究代表兩個(gè)事件的集合有無公共部分,若有,則一定不互斥;若沒有,則一定互斥.互斥是對(duì)立的前提,若兩個(gè)事件互斥,且它們的集合互為補(bǔ)集,則兩個(gè)事件是對(duì)立事件.如

5、果兩個(gè)事件不是互斥事件,則它們一定不是對(duì)立事件.題型一題型二題型三解:(1)是互斥事件,但不是對(duì)立事件.理由是:所選的2名同學(xué)中,“恰有1名男生”實(shí)質(zhì)選出的是“1名男生和1名女生”,它與“恰有2名男生”不可能同時(shí)發(fā)生,所以是一對(duì)互斥事件,同時(shí),不能保證其中必有一個(gè)發(fā)生,因?yàn)檫€可能選出“恰有2名女生”,因此二者不對(duì)立.(2)不是互斥事件,也不是對(duì)立事件.理由是“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”兩種情況,“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”兩種情況,它們共同含有“1名男生、1名女生”,能夠同時(shí)發(fā)生,因此不互斥也不對(duì)立.題型一題型二題型三 (3)

6、不是互斥事件,也不是對(duì)立事件.理由是:“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”,這和“全是男生”能同時(shí)發(fā)生,因此不互斥也不對(duì)立.(4)是互斥事件,同時(shí)也是對(duì)立事件.理由是:“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”兩種結(jié)果,它和“全是女生”不可能同時(shí)發(fā)生,且其中必有一個(gè)發(fā)生,故它們既是互斥的,又是對(duì)立的.反思從集合的角度來看,互斥事件就是交集為空集的事件,對(duì)立事件不僅交集為空集而且并集為全集,故對(duì)立一定互斥,互斥不一定對(duì)立.題型一題型二題型三 【變式訓(xùn)練1】 一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是()A.至多有一次中靶B.兩次都中

7、靶C.只有一次中靶D.兩次都不中靶解析:“至少有一次中靶”即“一次中靶或兩次中靶”,A,B,C中的事件都有可能與“至少有一次中靶”同時(shí)發(fā)生,因此不是互斥事件.答案:D題型一題型二題型三互斥事件、概率加法公式的應(yīng)用【例2】 黃種人群中各種血型的人所占的比例見下表:已知同種血型的人可以輸血,O型血可以輸給任一種血型的人,AB型血的人可以接受任一種血型的血.其他不同血型的人不能互相輸血.小明是B型血,若小明因病需要輸血,問: (1)任找一個(gè)人,其血可以輸給小明的概率是多少? (2)任找一個(gè)人,其血不能輸給小明的概率是多少?分析:從事件之間的關(guān)系入手,將事件進(jìn)行分解,用互斥事件的概率加法公式求解.1題

8、型一題型二題型三解:(1)對(duì)任一人,其血型為A,B,AB,O型血的事件分別記為A,B,C,D,它們是互斥的.由題意可知P(A)=0.28,P(B)=0.29,P(C)=0.08,P(D)=0.35.因?yàn)锽,O型血可以輸給B型血的人,所以“可以輸給B型血的人”為事件BD.根據(jù)互斥事件的加法公式,有P(BD)=P(B)+P(D)=0.29+0.35=0.64. (2)由于A,AB型血不能輸給B型血的人,則“不能輸給B型血的人”為事件AC,且P(AC)=P(A)+P(C)=0.28+0.08=0.36.故任找一人,其血可以輸給小明的概率為0.64,其血不能輸給小明的概率為0.36.11題型一題型二題

9、型三反思應(yīng)用互斥事件的概率加法公式求概率的步驟:(1)確定各事件彼此互斥;(2)各事件中有一個(gè)發(fā)生;(3)先求出各事件分別發(fā)生的概率,再求和.值得注意的是:(1)(2)兩點(diǎn)是公式的使用條件,不符合這兩點(diǎn),是不能運(yùn)用互斥事件的概率加法公式的.【變式訓(xùn)練2】 假設(shè)向三個(gè)相鄰的軍火庫投一個(gè)炸彈,炸中第一個(gè)軍火庫的概率為0.025,炸中第二、第三個(gè)軍火庫的概率各為0.1.只要炸中一個(gè),另兩個(gè)也會(huì)發(fā)生爆炸,求軍火庫發(fā)生爆炸的概率.解:設(shè)事件A,B,C分別表示炸彈炸中第一、第二、第三個(gè)軍火庫這三個(gè)事件,則P(A)=0.025,P(B)=P(C)=0.1.又設(shè)事件D為“軍火庫爆炸”,則D=ABC,其中A,B

10、,C互斥,故P(D)=P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)=0.225.1題型一題型二題型三對(duì)立事件的概率公式的應(yīng)用 【例3】 一名射手在某次射擊訓(xùn)練中,射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、7環(huán)的概率分別為0.21,0.23,0.25,0.28,計(jì)算這個(gè)射手在這次射擊中:(1)射中的環(huán)數(shù)不低于9環(huán)的概率;(2)射中的環(huán)數(shù)低于7環(huán)的概率.分析:(1)射中的環(huán)數(shù)不低于9環(huán),即射中10環(huán)或9環(huán),因此可用互斥事件的概率加法公式計(jì)算. (2)“射中的環(huán)數(shù)低于7環(huán)”從正面考慮有以下幾種情況:射中6環(huán),5環(huán),4環(huán),3環(huán),2環(huán),1環(huán),0環(huán).但由于這些概率都未知,故不能直接求解,可考慮從反面入手.“射中的環(huán)數(shù)低于7環(huán)”的反面是“射中的環(huán)數(shù)大于或等于7環(huán)”,即“7環(huán),8環(huán),9環(huán),10環(huán)”,由于這兩個(gè)事件必有一個(gè)發(fā)生,故是對(duì)立事件,因此,可用對(duì)立事件的概率公式計(jì)算.1題型一題型二題型三解:(1)設(shè)“射中10環(huán)”為事件A,“射中9環(huán)”為事件B,由于在這次射擊中,事件A與事件B不可能同時(shí)發(fā)生,則事件A與事件B是互斥事件,“射中的環(huán)數(shù)不低于9環(huán)”的事件為AB.由P(AB)