數(shù)值計算方法_正交多項式

1、4 正交多項式正交多項式 (1) ,則稱函數(shù)則稱函數(shù)f(x)和和g(x)在在區(qū)間區(qū)間a,b上正交上正交.0)()(badxxgxf(2) ,則稱函數(shù)則稱函數(shù)f(x)和和g(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上帶權(quán)上帶權(quán) (x)正交正交.0)()()(badxxgxfx(3) 代數(shù)多項式序列代數(shù)多項式序列 (下標(biāo)下標(biāo)k為多項式為多項式的次數(shù)的次數(shù), gk(x)表示表示k次多項式次多項式),在區(qū)間在區(qū)間a,b上滿足上滿足0)(kkxg一、正交多項式一、正交多項式定義定義1banbamndxxgxdxxgxgx0)()(0)()()(2當(dāng)當(dāng)mn當(dāng)當(dāng)m=n則稱多項式序列則稱多項式序列 為區(qū)間為區(qū)間a,b上帶權(quán)上帶

2、權(quán) (x)的正交多項式序列的正交多項式序列0)(kkxg 若若n次多項式次多項式gn(x)中含中含xn項的系數(shù)為項的系數(shù)為dn,則稱則稱dn為為gn(x) 的的首次系數(shù)首次系數(shù); dn0時時,稱稱 為首為首次系數(shù)為次系數(shù)為1的的n次多項式次多項式. nnndxgxg)()(*定義定義2 若若 是區(qū)間是區(qū)間a,b上帶權(quán)上帶權(quán) (x)的正交多的正交多項式序列項式序列,則它們線性無關(guān)則它們線性無關(guān).nkkxg0)(對任意的對任意的x a,b0)(0nkkkxgc若若兩邊同乘兩邊同乘 (x)gl(x)(l=0,1,.n),并從并從a到到b積分積分,由由 的正交性定義中的的正交性定義中的(3)可知必有可

3、知必有cl=0nkkxg0)(故正交多項式序列故正交多項式序列 線性無關(guān)線性無關(guān). .nkkxg0)(性質(zhì)性質(zhì)1證明證明二、正交多項式性質(zhì)二、正交多項式性質(zhì) 若若 為為a,b上帶權(quán)上帶權(quán) (x)的的正交多項式正交多項式序列序列,且且 ,則則0)(kkxg,)(baPxqnbakdxxgxqx0)()()(1)k=n+1,n+2,(2)baindxxxgx0)()(i=0,1,n-1記記badxxgxfxgf)()()(),( a,b上帶權(quán)函數(shù)上帶權(quán)函數(shù) (x)的正交多項式序列的正交多項式序列 相鄰三項的遞推關(guān)系為相鄰三項的遞推關(guān)系為0)(kkxgi=1,2,其中其中1nnndad1(,)(,)

4、nnnnnnndgxgdgg 性質(zhì)性質(zhì)2性質(zhì)性質(zhì)3)()()()(111xgxgxxgnnnnnn111211(,),(,)nnnnnnnnddggdgg a,b上帶權(quán)函數(shù)上帶權(quán)函數(shù) 的正交多項式序列的正交多項式序列 中任意相鄰兩個正交多項式中任意相鄰兩個正交多項式gn(x)和和gn+1(x)的根相的根相間間.0( )kkgx( ) x11,nnnddd11( ),( ),( )nnngx gx gx為為的首項系數(shù)的首項系數(shù)若記若記 gn(x), gn+1(x)的根分別為的根分別為 ,則所謂則所謂 與與 的根相間的根相間,即是指這兩個正即是指這兩個正交多項式的根有如下的關(guān)系交多項式的根有如下的

5、關(guān)系.1( )ngx( )ngxninix1)(11)1(njnjx)1(2)(1)1(1)()1(nininininixxxxxi=1,n-1性質(zhì)性質(zhì)4常見的正交多項式有常見的正交多項式有Legendre(勒讓德勒讓德)多項式、多項式、Hermite多項式、多項式、Chebyshev多項式以及多項式以及Jacobi多多項式。項式。 (1) 區(qū)間區(qū)間a,b上帶權(quán)函數(shù)上帶權(quán)函數(shù) (x)的正交多項式的正交多項式 序列序列 與與 對應(yīng)元素之間只對應(yīng)元素之間只 相差一個比例常數(shù)相差一個比例常數(shù).0( )nnfx0( )nng x (2)區(qū)間區(qū)間a,b上帶權(quán)函數(shù)上帶權(quán)函數(shù) (x)首項系數(shù)為首項系數(shù)為1的

6、正交的正交多項式序列多項式序列 唯一唯一.*0( )nngx性質(zhì)性質(zhì)5施密特正交化公式施密特正交化公式n,21線性無關(guān)線性無關(guān)11 1111222),(),(11111111),(),(),(),(nnnnnnnn三、三、Legendre多項式多項式Pn(x) -1,1上由上由1,x,xn,帶權(quán)帶權(quán)(x)1正交化正交化得到的多項式序列得到的多項式序列.(1)多項式定義多項式定義定義定義3隱式表達式隱式表達式, 2 , 1,) 1(!21)(1)(20ndxxdnxPxPnnnnn顯式表達式顯式表達式, 2 , 1,)!2()!( !)22() 1(21)(1)(020nxjnjnjjnxPxP

7、Njjnjnn其中其中2/ ) 1(2/nnN當(dāng)當(dāng)n為偶數(shù)時為偶數(shù)時當(dāng)當(dāng)n為奇數(shù)時為奇數(shù)時在在-1,1上帶權(quán)上帶權(quán)(x)1正交化正交化1,x,xn,例例解解11111111dxdxxx120 xxxxdxxxdxxdxdxxx111121111221111312 x1)(0 xP1) 1 , 1 () 1 ,()(1xxxP)()(),()(,()()(),()(,()(111120000222xPxPxPxPxxPxPxPxPxxxP(2)多項式的主要性質(zhì)多項式的主要性質(zhì) n次次Legendre多項式多項式 Pn(x)的首項系數(shù)的首項系數(shù)2) !(2)!2()(nnxdnn當(dāng)當(dāng)x=-1當(dāng)當(dāng)x

8、=1, nnP)1(1)1(1220)()(),(11ndxxPxPPPnmnm當(dāng)當(dāng)m n當(dāng)當(dāng)m=n Legendre多項式相鄰三項的遞推關(guān)系為多項式相鄰三項的遞推關(guān)系為n=1,2,1)(0 xPxxP)(1)(1)(112)(11xPnnxPnnxxPnnn 在所有最高項系數(shù)為在所有最高項系數(shù)為1的的n次多項式中次多項式中,最高項系最高項系數(shù)為數(shù)為1的的Legendre多項式多項式 Pn(x)在在-1,1上與零的上與零的平平方誤差方誤差最小最小.(1) 多項式定義多項式定義定義定義4四、四、Chebyshev多項式多項式Tn(x) -1,1上由上由1,x,xn,帶權(quán)帶權(quán) 正交化得到的多項式序

9、列正交化得到的多項式序列.211)(xx顯式表達為顯式表達為: Tn(x)=cos(n arccosx), |x|1Chebyshev多項式序列多項式序列 在在-1,1上滿足上滿足0)(kkxT02001)()(112nmnmnmdxxxTxTnm性質(zhì)性質(zhì)6n次次Chebyshev多項式多項式Tn(x)的首項系數(shù)為的首項系數(shù)為2n-1性質(zhì)性質(zhì)7n次次Chebyshev多項式相鄰三項有遞推關(guān)系多項式相鄰三項有遞推關(guān)系 ： T0(x)=1,T1(x)=x, Tn+1(x)=2xTn(x)-Tn-1(x), n=1,2,.性質(zhì)性質(zhì)8(2)Chebyshev多項式的性質(zhì)多項式的性質(zhì) 當(dāng)當(dāng) 時，時， 即

10、即 x1, , xn 為為Tn(x)的的n個零點。個零點。21cos(1,., )2kkxknn0)( knxT 當(dāng)當(dāng) 時，時， 交錯交錯 取到極大值取到極大值 1 1 和極小值和極小值 1 1，即，即),., 1, 0(cosnknktk )(kntT |)(|) 1()(xTtTnkkn記記1*2)()(nnnxTxT顯然顯然 是首項系數(shù)為是首項系數(shù)為1的的n次次Chebyshev多項式多項式)(*xTn性質(zhì)性質(zhì)9性質(zhì)性質(zhì)10記記 為一切定義在為一切定義在1,1上首項系數(shù)為上首項系數(shù)為1的的n次多項式的集合次多項式的集合 1 , 1*nP 在在 中，中， 的的無窮模無窮模 最小最小 1 ,

11、 1*nP)(*xTn|)(|*xTn即即 1 , 1)(,|)(|)(|*nnnnPxpxpxT這個性質(zhì)，稱為這個性質(zhì)，稱為Chebyshev多項式多項式最小模性質(zhì)最小模性質(zhì).性質(zhì)性質(zhì)11 多項式降次多項式降次( reduce the degree of polynomial with a minimal loss of accuracy) 設(shè)設(shè) f (x) Pn(x)。在降低在降低 Pn(x) 次數(shù)的同時次數(shù)的同時, 使使因此增加的誤差盡可能小因此增加的誤差盡可能小, 也叫也叫 economiza-tion of power series。從從 Pn中去掉一個含有其最高次項的中去掉一個含有

12、其最高次項的 , 結(jié)果降結(jié)果降次為次為 , 則：則：PnPn 1| )(|max| )()(|max| )()(|max1 , 11 , 111 , 1xPxPxfxPxfnnn 因降次而增的誤差因降次而增的誤差設(shè)設(shè) Pn 的首項系數(shù)為的首項系數(shù)為an，則取則取 可使可使精度盡可能少損失。精度盡可能少損失。12)()( nnnnxTaxP(3)Chebyshev 多項式的應(yīng)用多項式的應(yīng)用 f (x) = ex 在在 1, 1上的上的4 階階 Taylor 展開為展開為246214324xxxxP ，此時誤差，此時誤差023. 0|!5| )(|54 xexR請將其請將其降為降為2階多項式階多項

13、式。 取取)81(241)(2124124434 xxxTP188244 xxT（查表知（查表知 ）)81(24162123244 xxxxPP32612413192191xxx 取取)43(61)(21613323xxxTP xxT3433 （查表知（查表知 ）192191892413233 xxPP2|( )|0.047xeP x若簡單取若簡單取 ，則誤差，則誤差21)(22xxxP 45.0!3 e注：注：對一般區(qū)間對一般區(qū)間a, b，先將先將 x 換為換為 t ，考慮考慮 f (t)在在 1, 1上上的逼近的逼近Pn(t)，再將再將 t 換回換回x，最后得到最后得到Pn(x)。例例1解

14、解定義定義6(1) 第二類第二類Chebyshev 多項式多項式Un(x)相鄰三項的遞推關(guān)系為相鄰三項的遞推關(guān)系為五、其它正交多項式五、其它正交多項式 (- -1,+1)上權(quán)函數(shù)上權(quán)函數(shù) 的正交多項式的正交多項式序列序列21)(xx顯式表達顯式表達:21) 1()(xarccosxnsinxUnnmnmdxxxUxUUUnmnm201)()(),(112U0(x)=1, U1(x)=2xn=1,2,)()(2)(11xUxxUxUnnn定義定義7(2) 拉蓋爾拉蓋爾Laguerre多項式多項式Ln(x)相鄰三項的遞推關(guān)系為相鄰三項的遞推關(guān)系為 0,+)上權(quán)函數(shù)上權(quán)函數(shù) 的正交多項式序列的正交多項式序列顯式表達顯式表達:L0(x)=1, L1(x)=1-xn=1,2,xex)(nxnnnndxexdexL)()(nmnnmdxxLxLeLLnmxnm2) !(0)()(),()()(2)(11xLxxLxLnnn定義定義8(3) Hermite多項式多項式Hn(x)nxnxnndxedexH)() 1()(222)(xex相鄰三項的遞推關(guān)系為相鄰三項的遞推關(guān)系為H0(x)=1, H1(x)=2x)(2)(2)(11xnHxxHxHnnnn=1