材料力學(xué)課件6

1、1第六章第六章彎彎 曲曲 變變 形形2本章內(nèi)容本章內(nèi)容:1 工程中的彎曲變形問(wèn)題工程中的彎曲變形問(wèn)題2 撓曲線的微分方程撓曲線的微分方程3 用積分法求彎曲變形用積分法求彎曲變形4 用疊加法求彎曲變形用疊加法求彎曲變形5 簡(jiǎn)單靜不定梁簡(jiǎn)單靜不定梁6 提高彎曲剛度的一些措施提高彎曲剛度的一些措施36. 1 工程中的彎曲變形問(wèn)題工程中的彎曲變形問(wèn)題l 對(duì)梁除了有強(qiáng)度要求外，還有剛度要求。對(duì)梁除了有強(qiáng)度要求外，還有剛度要求。u 大多數(shù)情況下，要求梁的變形不能過(guò)大；大多數(shù)情況下，要求梁的變形不能過(guò)大；u 一些特殊情況下，要利用彎曲變形。一些特殊情況下，要利用彎曲變形。6. 2 撓曲線的微分方程撓曲線的微

2、分方程l 求解靜不定問(wèn)題需要計(jì)算梁的變形。求解靜不定問(wèn)題需要計(jì)算梁的變形。l 撓曲線撓曲線梁的軸線變形后的曲線。梁的軸線變形后的曲線。對(duì)稱彎曲時(shí)，是一條平面曲線。對(duì)稱彎曲時(shí)，是一條平面曲線。46. 2 撓曲線的微分方程撓曲線的微分方程1 基本概念基本概念梁的軸線變形后的曲線。梁的軸線變形后的曲線。對(duì)稱彎曲時(shí)，是一條平面曲線。對(duì)稱彎曲時(shí)，是一條平面曲線。l 彎曲變彎曲變形的度量形的度量u 撓度撓度橫截面形橫截面形心沿心沿y方向方向的位移，用的位移，用v表示。表示。l 撓曲線撓曲線5u 撓度撓度橫截面形心沿橫截面形心沿y方向方向的位移，用的位移，用v表示。表示。u 轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角變形后，橫截面相對(duì)其原來(lái)

3、位置轉(zhuǎn)過(guò)的角度。變形后，橫截面相對(duì)其原來(lái)位置轉(zhuǎn)過(guò)的角度。用用 表示。轉(zhuǎn)角表示。轉(zhuǎn)角 以以逆時(shí)針逆時(shí)針為為正正。l 撓曲線方程撓曲線方程)(xfv 轉(zhuǎn)角即為撓曲線在該點(diǎn)的切線與轉(zhuǎn)角即為撓曲線在該點(diǎn)的切線與x軸的夾角。軸的夾角。xvddtan62 2 撓曲線的微分方程撓曲線的微分方程上一章中，已得到：忽略剪力對(duì)變形的影響時(shí)，上一章中，已得到：忽略剪力對(duì)變形的影響時(shí)，梁對(duì)稱彎曲時(shí)的曲率為梁對(duì)稱彎曲時(shí)的曲率為u 由由高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)公式公式EIxMx)()(1)(1x2/ 3222dd1ddxvxv7,)()(1EIxMx)(1x2/ 3222dd1ddxvxv2/ 3222dd1ddxvxvEIxM

4、)(這就是撓曲線的微分方程。這就是撓曲線的微分方程。8l 撓曲線的近似微分方程撓曲線的近似微分方程2/ 3222dd1ddxvxvEIxM)(在小變形的情況下，在小變形的情況下，1ddxv22ddxvEIxM)(u 方程中正負(fù)號(hào)的確定方程中正負(fù)號(hào)的確定9l 撓曲線的近似微分方程撓曲線的近似微分方程在小變形的情況下，在小變形的情況下，1ddxv22ddxvEIxM)(u 方程中正負(fù)號(hào)的確定方程中正負(fù)號(hào)的確定所以方程中所以方程中應(yīng)應(yīng)取取正號(hào)正號(hào)。EIxM)(22ddxv10l 撓曲線的近似微分方程撓曲線的近似微分方程在小變形的情況下，在小變形的情況下，1ddxv22ddxvEIxM)(u 方程中正

5、負(fù)號(hào)的確定方程中正負(fù)號(hào)的確定方程中應(yīng)取正號(hào)。方程中應(yīng)取正號(hào)。EIxMxv)(dd22轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角:tan注意注意: 撓曲線的近似微分方程僅適用于撓曲線的近似微分方程僅適用于小變形小變形的的平面彎曲平面彎曲問(wèn)題。問(wèn)題。xvdd116. 3 用積分法求彎曲變形用積分法求彎曲變形撓曲線近似微分方程撓曲線近似微分方程積分一次，得積分一次，得EIxMxv)(dd22xvdd再積分一次，得再積分一次，得DCxxxEIxMvdd)(其中，其中，C、D為積分常數(shù)為積分常數(shù)l 邊界條件邊界條件CxEIxMd)(，由，由邊界條件邊界條件確定。確定。12l 邊界條件邊界條件幾種典型的邊界條件幾種典型的邊界條件u 簡(jiǎn)支梁

6、簡(jiǎn)支梁u 懸臂梁懸臂梁, 0)0(v0)(lv, 0)0(v0)0( vl 連續(xù)條件連續(xù)條件u 彎曲變形的彎曲變形的對(duì)稱點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)處處0v在撓曲線的任意點(diǎn)處，有唯一的撓度和轉(zhuǎn)角。在撓曲線的任意點(diǎn)處，有唯一的撓度和轉(zhuǎn)角。13l 梁的剛度條件梁的剛度條件, maxffmaxl 連續(xù)條件連續(xù)條件在撓曲線的任意點(diǎn)處，有唯一的撓度和轉(zhuǎn)角。在撓曲線的任意點(diǎn)處，有唯一的撓度和轉(zhuǎn)角。DDvv21 D點(diǎn)和點(diǎn)和C點(diǎn)點(diǎn)的連續(xù)條件的連續(xù)條件各為什么？各為什么？D點(diǎn)：點(diǎn)：C點(diǎn)：點(diǎn)：DD21,32DDvvDD32u 中間鉸處，撓度連續(xù)，轉(zhuǎn)角不連續(xù)。中間鉸處，撓度連續(xù)，轉(zhuǎn)角不連續(xù)。014例例 2 (書(shū)例書(shū)例6.3) 已知已知

7、：簡(jiǎn)支梁：簡(jiǎn)支梁受集中力作用。受集中力作用。解解：求求：轉(zhuǎn)角和撓：轉(zhuǎn)角和撓曲線方程。曲線方程。(1) 求支反力，列彎矩方程求支反力，列彎矩方程u 支反力支反力,lPbRAlPaRBu 彎矩方程彎矩方程AC段：段：11xlPbM )0(1ax 15(1) 求支反力，列彎矩方程求支反力，列彎矩方程u 彎矩方程彎矩方程AC段：段：11xlPbM )0(1ax CB段：段：)(222axPxlPbM)(2bxa(2) 列近似微分方程，積分列近似微分方程，積分AC段：段：11xlPbvEI ,211211CxlPbvEI11131161DxCxlPbEIv16(2) 列近似微分方程，積分列近似微分方程，

8、積分AC段：段：11xlPbvEI ,211211CxlPbvEI11131161DxCxlPbEIvCB段：段：)(222axPxlPbvEI 222222)(2121CaxPxlPbvEI22232322)(6161DxCaxPxlPbEIv17(3) 確定積分常數(shù)確定積分常數(shù)u 連續(xù)條件連續(xù)條件)()(21avavu 邊界條件邊界條件)()(21avav,21CC 21DD 01x時(shí)時(shí),;01vlx 2時(shí)時(shí),02v代入相應(yīng)的方程，得代入相應(yīng)的方程，得:021 DD21CC )(622bllPb18u 邊界條件邊界條件01x時(shí)時(shí),;01vlx 2時(shí)時(shí),02v代入相應(yīng)的方程，得代入相應(yīng)的方程

9、，得:021 DD21CC )(622bllPb將求得的積分常數(shù)代回方程，得將求得的積分常數(shù)代回方程，得:AC段：段：, )3(621221xbllPbvEI)(6212211xbllPbxEIvCB段：段：)(3)3(62222222axblxbllPbvEI19將求得的積分常數(shù)代回方程，得將求得的積分常數(shù)代回方程，得:AC段：段：, )3(621221xbllPbvEI)(6212211xbllPbxEIvCB段：段：)(3)3(62222222axblxbllPbvEI)()3(632222222axblxxbllPbEIv(4) 求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度20(4) 求最

10、大轉(zhuǎn)角和最大撓度求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度u 最大轉(zhuǎn)角最大轉(zhuǎn)角由圖，最大轉(zhuǎn)角由圖，最大轉(zhuǎn)角可能發(fā)生在可能發(fā)生在A點(diǎn)點(diǎn)或或B點(diǎn)。點(diǎn)。EIlblPbA6)(22EIlblPab6)( EIlalPabB6)( u 最大撓度最大撓度21u 最大撓度最大撓度經(jīng)分析，最大撓經(jīng)分析，最大撓度發(fā)生在度發(fā)生在AC段。段。01 v令：令：3220blx322max)(39blEIlPbf經(jīng)討論知，不論經(jīng)討論知，不論P(yáng)力作用在何處，最大撓度總發(fā)力作用在何處，最大撓度總發(fā)生在中點(diǎn)附近生在中點(diǎn)附近(或中點(diǎn)或中點(diǎn))。所以可。所以可近似地近似地以中點(diǎn)的以中點(diǎn)的撓度作為最大撓度。撓度作為最大撓度。22本例中本例中 (書(shū)例書(shū)例6.

11、3) 書(shū)上書(shū)上 p. 222: 采取了采取了一些措施一些措施AC段：段：11xlPbM u 關(guān)于確定積分常數(shù)關(guān)于確定積分常數(shù)CB段：段：)(222axPxlPbM(1) 列彎矩方程列彎矩方程措施措施1 各段的坐標(biāo)原點(diǎn)為同一點(diǎn)：左端點(diǎn)。各段的坐標(biāo)原點(diǎn)為同一點(diǎn)：左端點(diǎn)。措施措施2積分時(shí)，保留積分時(shí)，保留(x2-a) 作為自變量。作為自變量。23u 關(guān)于確定積分常數(shù)關(guān)于確定積分常數(shù)措施措施1 各段的坐標(biāo)原點(diǎn)為同一點(diǎn)：左端點(diǎn)。各段的坐標(biāo)原點(diǎn)為同一點(diǎn)：左端點(diǎn)。措施措施2 積分時(shí)，保留積分時(shí)，保留(x2-a) 作為自變量。作為自變量。措施措施3 有有分布載荷分布載荷時(shí)，需將其延長(zhǎng)到梁的右端，時(shí)，需將其延長(zhǎng)

12、到梁的右端，并在延長(zhǎng)部分加上等值反向的分布載荷。并在延長(zhǎng)部分加上等值反向的分布載荷。措施措施4 有有集中力偶集中力偶時(shí)，采用時(shí)，采用 m(xi-ai)0 的形式。的形式。246. 4 用疊加法求彎曲變形用疊加法求彎曲變形l 疊加法疊加法EIxMxv)(dd22在在線彈性線彈性小變形小變形的條件下，得到撓曲線近似的條件下，得到撓曲線近似這是一個(gè)這是一個(gè)線性線性的常微分方程。的常微分方程。微分方程微分方程在第四章中，證明了在在第四章中，證明了在小變形小變形的條件下，彎矩與的條件下，彎矩與外載荷成線性關(guān)系，可用疊加法求彎矩圖。外載荷成線性關(guān)系，可用疊加法求彎矩圖。設(shè)：設(shè)：)()()(21xMxMxM

13、25EIxMxv)(dd22這是一個(gè)這是一個(gè)線性線性的常微分方程。的常微分方程。撓曲線近似微分方程撓曲線近似微分方程設(shè)：設(shè)：)()()(21xMxMxM,)(dd1212EIxMxvEIxMxv)(dd2222則共同作用時(shí)：則共同作用時(shí)：)(dd22xMxvEI)()(21xMxM212ddxvEI222ddxvEI2212d)(dxvvEI26則共同作用時(shí)：則共同作用時(shí)：)(dd22xMxvEI)()(21xMxM212ddxvEI222ddxvEI2212d)(dxvvEI即：共同作用下的撓度等于分別在即：共同作用下的撓度等于分別在M1(x) 、M2(x)單獨(dú)作用下的撓度的代數(shù)和。單獨(dú)作用

14、下的撓度的代數(shù)和。綜合以上討論得到：綜合以上討論得到：在在線彈性線彈性小變形小變形的條件下，的條件下，外載荷外載荷與與撓度撓度 (力與力與位移位移)成線性關(guān)系，可用成線性關(guān)系，可用疊加法疊加法計(jì)算梁的撓度。計(jì)算梁的撓度。21vvv27l 疊加法的基礎(chǔ)疊加法的基礎(chǔ)要求記?。阂笥涀。?、2、4、6、8、10。熟記簡(jiǎn)單載荷作用下的撓度和轉(zhuǎn)角。熟記簡(jiǎn)單載荷作用下的撓度和轉(zhuǎn)角。見(jiàn)教材見(jiàn)教材 p. 185 表表6.1 。l 疊加法的兩種類(lèi)型疊加法的兩種類(lèi)型(1) 載荷疊加法載荷疊加法將載荷分解為幾個(gè)簡(jiǎn)單載荷，分別求解后，將載荷分解為幾個(gè)簡(jiǎn)單載荷，分別求解后，進(jìn)行疊加；進(jìn)行疊加；(2) 變形疊加法變形疊加

15、法在內(nèi)力不變的前提下，將梁分解在內(nèi)力不變的前提下，將梁分解(或剛化或剛化)為為幾段，求出各段的變形，然后進(jìn)行疊加。幾段，求出各段的變形，然后進(jìn)行疊加。28例例 1 已知已知： q , l , EI = 常數(shù)。常數(shù)。解解：求求：vC , B。 分解為三個(gè)分解為三個(gè)簡(jiǎn)單載荷。簡(jiǎn)單載荷。29u 由由p. 185 表表6.1 中的中的10EIqlvC384541EIqlB2431u 由表由表6.1 中的中的830u 由由p. 185表表6.1 中的中的10EIqlvC384541EIqlB2431u 由表由表6.1 中的中的8EIPlvC4832EIPlB1622EIql484EIql16331u 由

16、表由表6.1 中的中的8EIPlvC4832EIPlB1622u 由表由表6.1 中的中的6EImlvC1623EImlB33EIql164EIql33EIql484EIql16332u 由表由表6.1 中的中的6EImlvC1623EImlB33EIql164EIql33u 疊加疊加321CCCCvvvv321BBBBEIql384114EIql4811333例例 2 已知已知： q , l , EI = 常數(shù)。常數(shù)。解解：求求：vC , C。 表中沒(méi)有對(duì)應(yīng)表中沒(méi)有對(duì)應(yīng)的情況。的情況。方法：方法：湊成湊成表中相表中相應(yīng)的情況。應(yīng)的情況。再分為兩種載荷。再分為兩種載荷。u 由由p. 185 表

17、表6.1 中的中的434再分為兩種載荷。再分為兩種載荷。u 由由p. 185 表表6.1 中的中的4EIqlvC841EIqlC631u 由由p. 185表表6.1 中的中的4EIlqvB8)2/(42EIlqB6)2/(32,1284EIqlEIql48335u 由由p. 185 表表6.1 中的中的4EIlqvB8)2/(42EIlqB6)2/(32,1284EIqlEIql483u 注意，變形后注意，變形后BC為直線。為直線。22212CCCvvvEIql12842Bv2/2lB2483lEIqlEIql3847422BCEIql4833622212CCCvvvEIql12842Bv2/

18、2lB2483lEIqlEIql3847422BCEIql483所以所以21CCCEIql487321CCCvvvEIql38441437例例 3 (書(shū)例書(shū)例6.5)已知已知：P1 , P2 , a, l, EI = 常數(shù)。常數(shù)。解解：求求：vC , B。 簡(jiǎn)化為外伸簡(jiǎn)化為外伸梁如圖。梁如圖。將將AC梁分為兩梁分為兩個(gè)部分。個(gè)部分。簡(jiǎn)支梁在簡(jiǎn)支梁在B處的處的內(nèi)力內(nèi)力:1PQaPM138將將AC梁分為兩梁分為兩個(gè)部分。個(gè)部分。簡(jiǎn)支梁在簡(jiǎn)支梁在B處的處的內(nèi)力內(nèi)力:1PQaPM1l 求求 Bu 由由p. 185表表6.1中的中的6EIMlMB3)(EIalP331u 由表由表6.1中的中的8EIlP

19、PB16)(222所以所以2)()(PBMBBEIalP331EIlP1622Q不引起變形。不引起變形。39所以所以2)()(PBMBBEIalP331EIlP1622l 求求 vC u 由表由表6.1中的中的2C點(diǎn)的位移由兩部分組成：點(diǎn)的位移由兩部分組成：由由B截面轉(zhuǎn)角引起的位移和由懸臂梁截面轉(zhuǎn)角引起的位移和由懸臂梁BC的變形的變形BCav1EIlaP3321EIalP1622EIaPvC3312引起的位移。引起的位移。40l 求求 vC u 由表由表6.1中的中的2C點(diǎn)的位移由兩部分組成：點(diǎn)的位移由兩部分組成：由由B截面轉(zhuǎn)角引起的位移和由懸臂梁截面轉(zhuǎn)角引起的位移和由懸臂梁BC的變形的變形B

20、Cav1EIlaP3321EIalP1622EIaPvC3312引起的位移。引起的位移。21CCCvvv)(321laEIaPEIalP162241例例 4 已知已知：P, l, EI, EA。解解：求求：vE 。 (1) 將剛架看成將剛架看成是剛體是剛體則則AB相當(dāng)于簡(jiǎn)相當(dāng)于簡(jiǎn)(2) 剛架變形剛架變形支梁。支梁。1Ev2Ev2/Bvl 思路思路42(1) 將剛架看成將剛架看成是剛體是剛體則則AB相當(dāng)于簡(jiǎn)相當(dāng)于簡(jiǎn)(2) 剛架變形剛架變形支梁。支梁。1Ev2Ev2/Bvl 求求 vB(3) CD看成看成剛體剛體1Bv(4) BC看成看成剛體剛體43l 求求 vB(3) CD看看成成剛體剛體1Bv

21、(4) BC看看成成剛體剛體,2Bv3Bvl 具體計(jì)算具體計(jì)算u 對(duì)對(duì)BC，由表，由表6.1中的中的2EIlPvB32/31u CD的壓縮變形的壓縮變形EAlPvB2/244l 具體計(jì)算具體計(jì)算u 對(duì)對(duì)BC，由表，由表6.1中的中的2EIlPvB32/31u CD的壓縮變形的壓縮變形EAlPvB2/2u CD的彎曲變形，由表的彎曲變形，由表6.1中的中的1EIlPC22/ 所以，所以，CBlv3EIlP32/ 321BBBBvvvvEIPl323EAPl245u CD的彎曲變形，由表的彎曲變形，由表6.1中的中的1EIlPC22/ 所以，所以，CBlv3EIlP32/ 321BBBBvvvvE

22、IPl323EAPl2u 對(duì)簡(jiǎn)支梁對(duì)簡(jiǎn)支梁AB, EIPlvE4831又又:BEvv212由表由表6.1中的中的846EIPlvB323EAPl2u 對(duì)簡(jiǎn)支梁對(duì)簡(jiǎn)支梁AB, EIPlvE4831又又:BEvv212由表由表6.1中的中的821EEEvvvEIPl483EIPl33EAPl4476. 5 簡(jiǎn)單靜不定梁簡(jiǎn)單靜不定梁 本節(jié)討論簡(jiǎn)單靜不定梁的求解。本節(jié)討論簡(jiǎn)單靜不定梁的求解。l 例子例子車(chē)床上被加工的車(chē)床上被加工的工件。工件。u計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖是一次靜不定是一次靜不定問(wèn)題。問(wèn)題。l 基本概念基本概念u 靜定基靜定基48l 基本概念基本概念u 靜定基靜定基將靜不定系統(tǒng)中的將靜不定

23、系統(tǒng)中的多余約束多余約束解除解除后，得到的后，得到的“靜定基本系統(tǒng)靜定基本系統(tǒng)”。u 相當(dāng)系統(tǒng)相當(dāng)系統(tǒng)在靜定基上加上外載荷以及多余約在靜定基上加上外載荷以及多余約束力，便得到束力，便得到受力受力和和變形變形與靜不定與靜不定系統(tǒng)完全相同的系統(tǒng)完全相同的“相當(dāng)系統(tǒng)相當(dāng)系統(tǒng)”。l 本例中本例中u 解除解除B處可處可動(dòng)支座約束，動(dòng)支座約束，得到得到靜定基靜定基。49u 解除解除B處可動(dòng)處可動(dòng)支座約束，得支座約束，得到到靜定基靜定基。u 在靜定基上在靜定基上加上加上P和和RB, 得得到到相當(dāng)系統(tǒng)相當(dāng)系統(tǒng)。PRBu 求求B點(diǎn)撓度點(diǎn)撓度用疊加法用疊加法50u 在靜定基上在靜定基上加上加上P和和RB, 得得到到相當(dāng)系統(tǒng)相當(dāng)系統(tǒng)。PRBu 變形協(xié)調(diào)條件變形協(xié)調(diào)條件u 求求B點(diǎn)撓度點(diǎn)撓度BRBPBBfff)()(0用疊加法用疊加法BRBPBBfff)()(u 具體計(jì)算具體計(jì)算B點(diǎn)撓度點(diǎn)撓度51u