廣東海洋大學(xué)第二學(xué)期高數(shù)試題與答案

1、姓名：GDOU-B-11-302廣東海洋大學(xué)20142015學(xué)年第二學(xué)期學(xué)號：試題共5頁加白紙3張1.設(shè)a2.3.高等數(shù)學(xué)課程試題題 號一一二四五六七八九十總分閱卷教師各題分?jǐn)?shù)241428286100實得分?jǐn)?shù)課程考試A卷 閉卷號：考查UB卷口開卷填空（3X8=24分）1, 2,1 , b x, 1, 0 , a b ,貝Ux 2, 0,0, 1, 0 ,則 a b曲面z2x2y2在點（1,1,處 處的切平面方程為24.將xoz平面上的曲線x2z-1繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)曲面的方4程為:5.函數(shù)Zln（3x2y2）的駐點為I3*I；6.設(shè)L為連接（1,0）到點（0,1）的直線段，則1（yx）d

2、sLII1xn：7.哥級數(shù)二的收斂半徑為nII8.微分方程ye3x的通解為yI：二.計算題（7X2=14分）1 .設(shè)zyln(x2y2),求dz.2 .設(shè)函數(shù)zf(x,y)是由方程z2導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，求上，一.xx3 .計算下列積分(7X4=28分)1 .(yx2)dxdy,其中D是由yD域。-一(1,1)_2 .證明曲線積分(0.0)(2xyy2)dx無關(guān)，并計算積分值。3 .計算口(1x)dydz(2y)dzdxx2y2z29的外側(cè)。4 .計算12dxdy，其中DD1xy4 .計算題(7X4=28分)3yzxa3所確定的具有連續(xù)偏0, y x2及x 1所圍成的閉區(qū)(x22xy )dy在整個xo

3、y平面內(nèi)與路徑(3 z)dxdy,其中 是球面x2 y225圍成的閉區(qū)域1 .判別級數(shù)(1)ni是否收斂？若收斂，是絕對收斂還是條n1.2n2件收斂？2 .將函數(shù)f(x)展開為x的哥級數(shù)。x33 .求微分方程dy2y6滿足初始條件yx02的特解。dx4 .求微分方程yyex的通解。5 .證明0dy:f(x)dx0(x)f(x)dx(6分)2014-2015學(xué)年第二學(xué)期高等數(shù)學(xué)A卷(參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)課程號：X21.填空（3X8=24分）2；2.1,Q23.4.4.y2z245.(0,0)；6.7.3；8.le3x9cxc2計算題(14分)1.x2xy22,xyln(xdz2xy22xydx2y

4、2x2,二,(4分)yln(x2y2)2y222xydy(3分）2.令F(x,y,z)3yz（1分），得Fx1,Fz3z23yFxFz3z23y(4分)2則一x6z(3z23y)2(3z26z3y)3.(2分）.計算下列積分7X4=28分)1.原式1dx02x0(yx2)dy112(2yx2y)2xdx010(-x4)dx21102.設(shè)P(x,y)2xyy2,Qx,y)x22xy,有-Py2x2y所以曲線積分與路徑無關(guān)。（4分）1原式二o（12y）dy0（3分）4.四.2.4.3.設(shè)V表示圍成的閉區(qū)域并表示它的體積，由高斯公式有4分原式4分原式1.令Unlimnv（1)n因此級數(shù)1因為1x所以

5、f(x)設(shè)P(x)(1x)x(2y)yU)dv3分zV(3)dv1083分rdrr1ln(12r2)ln262n2,貝1JUnUn'1,且limUn1、收斂。（3分）2n22n211，“，L一，發(fā)散，所以級數(shù)n1八.一發(fā)放。（3分）2n22,3.1)n1，條件收斂2n(3分)Qx)P(x)dx2dxe八2x2x=e3e代入初始條件得1分)x3d可)36,P(x)dxQx)edx2dx6edxCC所以特解為(4分)C2x(3分)(2分)(2分)2特征方程為r0,特征根為門0,2所以對應(yīng)的齊次方程的通解為c2e(4分)x一設(shè)yae是yyex的特解，則3張(3分)-,v1v所以原方程的通解為

6、ycic2ex-ex五.積分區(qū)D域為：0y0xy,更換積分次序有y0dy0f(x)dxodxf(x)dyx0(x)f(x)dx(6分)GDOU-B-11-302廣東海洋大學(xué)20132014學(xué)年第二學(xué)期班級：高等數(shù)學(xué)課程試題姓名：題號一一二四五六七八九十總分閱卷教師各題分?jǐn)?shù)211428325100實得分?jǐn)?shù)課程考試A卷閉卷號：考查UB卷口開卷填空（3X7=21分）r1一一1 .設(shè)，a1,0,1,b0,1,1，貝Uab2 .過點1,1,1且與x軸垂直相交的直線方程為學(xué)號：3.過1,0,1與平面x2yz1平行的平面方程為4 .函數(shù)zx2y22x的駐點為nn5 .哥級數(shù)的收斂半徑為16n6.曲線zx22

7、y2,xz0在xoy面上的投影曲線的方程為試題共5頁加白紙7.微分方程yy滿足y（0）2的特解為二.計算題（7X2=14分）1 .設(shè)zsin-5求dz.y2.設(shè)zf（x,y）是由方程ezxyz0所確定的具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，求上，上.xy3 .計算下列積分（7X4=28分）1 .xyd，其中D是由x軸y軸以及直線2xy2所圍成的閉區(qū)域。（2,1）.一，2 .證明曲線積分（00）（x2y）dx（2xy）dy在整個xoy平面內(nèi)與路徑無關(guān)，并計算積分值。3 .計算6xdydzydzdx3zdxdy,其中是某邊長為2的正方體的整個邊界曲面的外側(cè)。4 .計算°ex2y2d，其中D是由x2y24

8、圍成的閉區(qū)域。4 .計算題（8X4=32分）21 .判別級數(shù)nn是否收斂。n1e2 .將函數(shù)f（x）e3x展開為x的哥級數(shù)。3 .求微分方程yy2x的通解。4 .求微分方程y5y6y6的通解。5 .證明°dy：exsinxdxoxexsinxdx（5分）GDOU-B-11-302廣東海洋大學(xué)20132014學(xué)年第二學(xué)期高等數(shù)學(xué)試題參考答案和評分標(biāo)準(zhǔn)課程考試A卷閉卷號：考查UB卷口開卷題號一二二四五六七八九總分閱卷教師各題分?jǐn)?shù)211428325100實得分?jǐn)?shù).填空（3X7=21分）1 .設(shè)，a1,0,i,b0,1,1，貝uabi,1,12 .過點1,1,1且與x軸垂直相交的直線方程為x

9、1,yz3 .過1,0,1與平面x2yz1平行的平面方程為x2y3z24 .函數(shù)zx2y22x的駐點為1,0n5 .哥級數(shù)x的收斂半徑為_Jn16n6 .曲線v22、,2V0在xoy面上的投影線方程為x2x2y0,z0zx2y,xz0一/7 .微分方程yy滿足y02的特解為y2ex二.計算題（7X2=14分）1.設(shè)zsin-,求dz.y2.設(shè)z f(x, y)是由方程ez x yz0所確定的具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù),求二一xy兩邊對x求導(dǎo)(1)z z . ze 1 y x x0, x(3)兩邊對y求導(dǎo),0,衛(wèi)y.計算下列積分（7X4=28分）1.xyd,其中D是由x軸y軸以及直線2xy2所圍成的閉

10、區(qū)域。0y22x0x1122x(xy)d0dx0(xy)dy(3)D=3(2,1).一，2.證明曲線積分(00)(x2y)dx(2xy)dy在整個xoy平面內(nèi)與路徑無關(guān),并計算積分值。解：設(shè)Px2y,Q2xy,則-Q2(2)xy解：區(qū)域D可表示為(2)所以曲線積分與路徑無關(guān)（2）3.2113原式二°xdxo(4y)dy=計算06xdydzydzdx3zdxdy（3）其中是某邊長為2的正方體的整個邊界曲面的外側(cè)。解：設(shè)V是由圍成的閉區(qū)域并表示它的體積，由高斯公式原式=(回,且)dvVxyz10dvV10V10g23=80(1)4.計算Dex2y2d，其中D是由x2y24圍成的閉區(qū)域解：

11、區(qū)域D在極坐標(biāo)下可表示為02,0r2,(2)222原二derrdr00e41(3)(2)四.計算題（8X4=32分）1.判別級數(shù)2nn是否收斂。ie3n1n-(4)解：lime-2nnne所以級數(shù)收斂(4)2 .將函數(shù)f(x)e3x展開為x的哥級數(shù)。n解：ex-(4)non!2nnf(x)e3x",x(4)non!3 .求微分方程yy2x的通解。解：yyo的通解為ycex,(2)設(shè)原方程的通解為yc(x)ex,代入方程得c(x)2xex,得c(x)2x1exc(4)原方程的通解為y2x2cex(2)4 .求微分方程y5y6y6的通解。(2)(2)解：特征方程為2560,特征根為12,

12、23對應(yīng)的齊次方程的通解為yge2xc2e3xy1是方程的一個特解，(2)原方程的通解為y1C1e2xae3x(2)五.證明0dy0yexsinxdx0Xexsinxdx(5分)證明：設(shè)區(qū)域D為0xy則0yex sin xdDy xdy e sin xdx 00(2)區(qū)域D可表示為xxxe sin xd dx e sin xdy = x e sin xdx 0 xD0班級：廣東海洋大學(xué)20122013學(xué)年第 二 學(xué)期高等數(shù)學(xué)課程試題姓名：題 號一一二四五六七八九十總分閱卷教師各題分?jǐn)?shù)211428325100實得分?jǐn)?shù)課 程考試 A卷 閉卷號：考查 UB卷 口開卷填空（3X7=21分）i.設(shè)，a

13、0,1,2 ,b2,0*，若 a b =2，貝u a b 2.過點1,0,1且與平面2x 3y z2平行的平面方程為學(xué)號：3 .設(shè)曲線L : x 4cos t, y 4sin t,(0t 2 ),則？(x2 y2)3ds =4 .函數(shù)z ln Jx2 y2的駐點為 5 .哥級數(shù)xl的收斂域為n1 3n6 .曲線z x2 y2,y z 1在xoy面上的投影線方程為 姓名試題共6頁加白紙7 .微分方程ysin2x滿足y01的特解為.計算題（7X2=14分）x1 .設(shè)zey,求dz.2 .設(shè)zf（x,y）是由方程e2z2xyz0所確定的具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù),求上，上.xy3 .計算下列積分（7X4=

14、28分）1 .2x3yd,其中D是由兩坐標(biāo)軸以及xy2所圍成的閉區(qū)域。D2 .設(shè)曲線積分：（2xky）dx（x3y）dy在整個xoy平面內(nèi)與路徑無關(guān)，求常數(shù)k,并計算積分值。3 .計算xdydz2ydzdx4zdxdy，其中是圓錐體zxxy,0z1的整個表面的外側(cè)。4 .計算D1x2y2d，其中D是由x2y21圍成的閉區(qū)域。4 .計算題（8X4=32分）31 .判別級數(shù)】是否收斂。n13n2 .將函數(shù)f（x）xcos2x展開為x的哥級數(shù)。3 .求微分方程yyx的通解。4 .求微分方程y3y2y2的通解。5 .設(shè)級數(shù)Un2收斂，證明級數(shù)a-J發(fā)散。（5分）n1n1nGDOU-B-11-302廣東

15、海洋大學(xué)20112012學(xué)年第二學(xué)期高等數(shù)學(xué)課程試題答案和評分標(biāo)準(zhǔn)課程考試A卷閉卷號：考查UB卷口開卷題號一二二四五六七八九十總分閱卷教師各題分?jǐn)?shù)211428325100實得分?jǐn)?shù).填空(3X7=21分)1 .設(shè),a1,0,1,br1,2,0,貝Uab=,ab2,1,22 .過點1,1,1且垂直于直線上二U4的平面方程為2122(x1)(y1)2(z1)03 .設(shè)曲線L:x3cost,y3sint,(0t2),則、(x2y2)ds=541y4 .改變積分次序；dx；f(x,y)dy=0dy0f(x,y)dxn5 .哥級數(shù)x的收斂半徑為1n12n6 .函數(shù)zsin(xy)在點(0,0)處的梯度為1

16、,17.微分方程y cos3x的通解為yy1cos3x qx C29二.計算題(7X2=14分)1 .設(shè) z ln(1 x2 y2),求 dz.解： 一號i,x 1 x yydz dx dy (2)x y= 2x2 y.22 dx 22 dy1 x y 1 x y2 .設(shè)z f(x,y)是由方程z3 xz2數(shù)，求二，二.x y1 x y(1)yez 1所確定的具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函解：在方程兩邊對x求偏導(dǎo)數(shù),(1)2 Z 2Z z Z3z z 2xz ye 0xx x得,2z3z2 2xz yez(2)(1)在方程兩邊對y求偏導(dǎo)數(shù),c 2 z c Z Z Z Z c3z 2xz e ye 0y y

17、yy 3z2 2xz yez(2)(1).計算下列積分(7X4=28分)1. xyd ,其中D是由直線y0, x 0以及x y 1所圍成的閉區(qū)域解：區(qū)域D可表示為0y1x,0x1,(1)(3)11xxyd0dx°xydyD11一 x(1 02、2 .x) dx124- 一(1,2)2.設(shè)曲線積分00)(x+ky)dx(x(2)(1)y)dy在整個xoy平面內(nèi)與路徑無關(guān)，求常數(shù)k,并計算積分值解：設(shè) P x ky,Q x y,則-Q (2)x y3.4 1上k,所以k 1x y原式=1xdx 2(1 y)dy =1 002計算 o 2xdydz ydzdx 3zdxdy,其中(2)是球

18、面x2 y2 z2 1的外側(cè)。解：設(shè)V是由 圍成的閉區(qū)域并表示它的體積，由高斯公式原式二(衛(wèi)) 二 -(3z)dv(3)V x y z=V6dv= 6V(2)=6g4 gl3 =8(1)4.cos(x2 y2)d ,其中 D是由 x2Dy2 4圍成的閉區(qū)域解：區(qū)域D在極坐標(biāo)下可表示為02 ,0 r 2,(2)(3)(1)(1)原=dcosr2gdr00,21sin4d02sin4四.計算題(8X4=32分)判別級數(shù)4X是否收斂，若收斂，是絕對收斂，還是條件收n1.2n1斂。解：|=發(fā)散，n12n1n1、2n1單調(diào)減少,limr-10,(3)2n1n2n1所以X收斂，并且是條件收斂。(3)n1.

19、2n12.將函數(shù)f(x)xe2x展開為x的哥級數(shù)。n解：ex-(4)n0n!e2x區(qū)(2)n0n!(2)2nxn1f(x)xe2xn0n!3.求微分方程y2y3x的通解。解：y 2y 0的通解為y ce2x,(2)設(shè)原方程的通解為y c(x)e2x,代入方程得c(x) 3xe2x 得 c(x) 3xe2x -e2x c24原方程的通解為(4)33 2xy - x ce244.求微分方程y 2y 3y 1的通解。(2)解：特征方程為2 23 0,特征根為13, 2對應(yīng)的齊次方程的通解為3xyC1exc2e(2)y3是方程的一個特解，原方程的通解為y3xc1ex c?e(2)五.設(shè)級數(shù) Y收斂,n

20、 1證明級數(shù)(u11)2也收斂 n(5分)證:nuni12un-nn1 22ununn2un n2(un2 白(2)而Un2收斂, n 1工也收斂。n 1 n(1)由比較判別法知，原級數(shù)收斂。(2)廣東海洋大學(xué) 20112012學(xué)年第學(xué)期高等數(shù)學(xué)試題答案和評分標(biāo)準(zhǔn)考試UA卷閉卷號：考查B卷口開卷題號一一二四五六七八九十總分閱卷教師各題分?jǐn)?shù)211428325100實得分?jǐn)?shù)、填空(3X7=21分)rr1.設(shè)a1,2,0,b1,1,1,貝Uab,ab2 .過點(1,0,1)且與平面xyz10垂直的直線方程為3 .設(shè)曲線L:xcost,ysint(0t2),則？(x2y2)2ds=1x24 .改變積分

21、次序0dx0f(x,y)dy=5 .函數(shù)yx(x)的傅立葉級數(shù)在x=處收斂于6 .函數(shù)zx2y2在點(1,1)處的梯度為7 .微分方程ysin5x通解為y.計算題(7X2=14分)1 .設(shè)z2x2,求dz.xy2 .設(shè)zf(x,y)是由方程zxyez10所確定的具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，求二，二.xy.計算下列積分(7X4=28分)1 .(xy)d,其中D是由直線y0,yx以及x1所圍成的閉區(qū)域。2 .sin(x2y2)d，其中D是由x2y21圍成的閉區(qū)域。D3 .設(shè)曲線積分：xy)dx(kxy)dy在整個xoy平面內(nèi)與路徑無關(guān)，求常數(shù)k,并計算積分值4 .計算0xdydz2ydzdxzdxdy,

22、其中是區(qū)域0x1,0y1,0z1的整個表面的外側(cè)。4 .計算題（8X4=32分）1 .判別級數(shù)是否收斂，若收斂，是絕對收斂，還是條件收ni3n斂。2 .將函數(shù)f（x）x2e3x展開為x的哥級數(shù)。3 .求微分方程yy3x的通解。4 .求微分方程yy2yx的通解。5 .設(shè)級數(shù)un2收斂，證明級數(shù)（Un2）2也收斂。（5分）n1n1n試題答案和評分標(biāo)準(zhǔn)一、填空（3X7=21分）rr，-1 .設(shè)a1,2,0,b1,1,1,則ab-1,ab2,1,32 .過點（1,0,1）且與平面xyz10垂直的直線方程為一上y-一1113 .設(shè)曲線L:xcost,ysint（0t2）,則？（x2y2）2ds=24 .

23、改變積分次序0dx°f（x,y）dy=°dy1f（x,y）dx5 .函數(shù)yx（x）的傅立葉級數(shù)在x=處收斂于06 .函數(shù)zx2y2在點（1,1）處的梯度為2,27 .微分方程ysin5x通解為ysin5xqxc252二.計算題（7X2=14分）1.設(shè)z2x求dz.解：1兆干z 4xy-22y (x y )(2)dz dx -z dy x y(2)消Tdx4xy/22(x y )dy(1)2.設(shè)zf(x,y)是由方程zxyez10所確定的具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，求上，三.xy解：在方程兩邊對x求偏導(dǎo)數(shù)，(1)-yezxyezz0(2)xxz得，-er(1)x1xye在方程兩邊對

24、y求偏導(dǎo)數(shù)，-xezxyez0(2)yyz得，-產(chǎn)T(1)y1xye.計算下列積分(7X4=28分)x以及x 1所圍成的閉區(qū)域1. (xy)d,其中D是由直線y0,y解：區(qū)域D可表本為0yx,0x1,(1)(3)1xxyd0dx0(xy)dyD13cxdx02_122. sin(x2y2)d,其中D是由x2y2(1)1圍成的閉區(qū)域解：區(qū)域D在極坐標(biāo)下可表示為0(2)原= d sin r 2rdr 002 11° (- -cos1)d(3)(1)(1 cos1)(1)3.設(shè)曲線積分(1,1)(x y)dx (0.0)(kx y)dy在整個xoy平面內(nèi)與路徑無關(guān)，求常數(shù)k,并計算積分值。

25、解：設(shè)P x y,Qkx y,(2)QPk, 1, xy所以k 1(2)1原式=0 xdx10(1 y)dy=14. 計算 0xdydz 2ydzdx zdxdy,其中是區(qū)域0 x 1,0 y 1,0 z 1的整個表面的外側(cè)。解：設(shè)V是由 圍成的閉區(qū)域并表示它的體積，由高斯公式原式二V(T(2y)y)dvzD4dvV=44V(1)四.計算題(8X4=32分)1.判別級數(shù)上是否收斂，若收斂，是絕對收斂，還是條件收ni3n斂。解:(1)n3n工發(fā)散,n i 3n(2)工單調(diào)減少，lim 03nn 3n所以 收斂，并且是條件收斂。n i 3n(3)(3)2.將函數(shù)f (x) x2e3x展開為x的哥級

26、數(shù)。解：exn xo n!(4)3x e(3x)n o n!(2)f(x)2 3x x e(2)3. 求微分方程yy 3x的通解。解：y y 0的通解為y cex,(2)(4)(2)解：特征方程為22 0,特征根為i 2, 2(2)對應(yīng)的齊次方程的通解為yC|e2xc2ex(2)設(shè)原方程的通解為yc(x)ex,代入方程得c(x)3xex,得c(x)3xex3exc原方程的通解為y3x3cex4.求微分方程yy2yx的通解。(2)是原方程的一個特解原方程的通解為y-x-c1e2xc2ex(2)24五.設(shè)級數(shù)Un2收斂，證明級數(shù)(Un2)2也收斂。(5分)n1n1n224Tit：2unun2nn2224Un424、eunun-2(un=)(2)nnnn而Un2收斂，;也收斂。(1)n1n1n由比較判別法知，原級數(shù)收斂。(2)廣東海洋大學(xué)20102011學(xué)年第二學(xué)期高等數(shù)學(xué)I課程試題課程考試A卷閉卷號：考查UB卷口開卷題號一一二四五六七八九十總分閱卷教師各題分?jǐn)?shù)214039100實得分?jǐn)?shù)填空(3X7=21分)_.r.'r1.已知a=1,2,3,b=-2,1,4,則ab=12。2 .過點A(1,2,3)和點B(-2,1,-4)的直線方程為x1y