中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)與四邊形綜合專題匯總-共17頁(yè)

1、二次函數(shù)與四邊形綜合專題一.二次函數(shù)與四邊形的形狀2例1.如圖，拋物線y=x -2x-3與x軸交A、B兩點(diǎn)(A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè))，直線l與拋物線交于 A C兩點(diǎn)，其中C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2.(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線 AC的函數(shù)表達(dá)式；(2) P是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò) P點(diǎn)作y軸的平行線交拋物線于 E點(diǎn)，求線段PE長(zhǎng)度的最大值；(3)點(diǎn)G是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在 x軸上是否存在點(diǎn) F,使A、C、F、G這樣的四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有滿足條件的F點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：(1)令 y=0,解得 xi = 1 或 X2 =3 .A (-1, 0) B (3, 0);將

2、 C 點(diǎn)的橫坐標(biāo) x=2 代入 y = x2 -2x-3得y=-3,，C (2, -3) .直線AC的函數(shù)解析式是 y=-x-1(2)設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x (-1WxW2)則P、E的坐標(biāo)分別為：P (x, -x-1) , E (x, x2 -2x-3)P 點(diǎn)在 E 點(diǎn)的上方，PE=(2_1)_(x22xU3)=x2+x+219，當(dāng)*二一時(shí)，PE的最大值=一24(3)存在 4 個(gè)這樣的點(diǎn) F,分別是 F1(1,0), F2(3,0),F3(4+V7,0)下4(4一77,0)練習(xí)1.如圖，對(duì)稱軸為直線 x =7的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn) A (6, 0)和B (0, 4) 2(1)求拋物線解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2

3、)設(shè)點(diǎn)E (x, y)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且位于第四象限，四邊形 OEAF是以O(shè)A為對(duì)角線的平行四邊形.求平行四邊形 OEAF的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；當(dāng)平行四邊形 OEAF的面積為24時(shí)，請(qǐng)判斷平行四邊形 OEAF是否為菱形？是否存在點(diǎn) 巳 使平行四邊形 OEAF為正方形？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.練習(xí)1.解：(1)由拋物線的對(duì)稱軸是 x=7, 27 2可設(shè)解析式為 y = a(x -) +k.把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入上式，得7 2 a(6 )2 - k =0, 77一 7 2.a(0 )2 +k =4. 2故拋物線解析式為y 二一(x -) 32

4、2 _25,頂點(diǎn)為6725(2-).(2) 點(diǎn)E(x, y)在拋物線上，位于第四象限，且坐標(biāo)適合y=2(x_7)2_25，. y<0,即一y>0, y 表示點(diǎn) E至1J OA的距離.326. OA是OEAF的對(duì)角線，.一 一1 _ 一S = 2* oae =2 - OA - y = _6 y = -4(2 +25 因?yàn)閽佄锞€與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)是(1, 0)的(6, 0),所以,根據(jù)題意，當(dāng)S = 24時(shí)，即(x If+25 =24 化簡(jiǎn)，得2求的點(diǎn)E有兩個(gè)，分別為 E1 (3, 4) , E2 (4, 4).點(diǎn)E1 (3, 4)滿足OE = AE,所以|_OEAF是菱形；點(diǎn)E2(4,

5、 4)不滿足OE = AE,所以|_OEAF不是菱形. 當(dāng)OALEF,且OA = EF時(shí)，|_OEAF是正方形，此時(shí)點(diǎn)自變量 X的取值范圍是1vXv6.(x _-)2 =-解之，得 x=3,x2=4.故所24E的坐標(biāo)只能是(3, 3).而坐標(biāo)為(3, 3)的點(diǎn)不在拋物線上，故不存在這樣的點(diǎn)E,使L OEAF為正方形.練習(xí)2.如圖，已知與x軸交于點(diǎn)A(1,0)和B(5Q)的拋物線li的頂點(diǎn)為C(3,4),拋物線12與li關(guān)于x軸對(duì)稱，頂點(diǎn)為C'.(1)求拋物線12的函數(shù)關(guān)系式;(2)已知原點(diǎn)O,定點(diǎn)D(0,4), I2上的點(diǎn)P與li上的點(diǎn)P'始終關(guān)于x軸對(duì)稱，則當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)

6、,以點(diǎn)D, O, P, P'為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?(3)在l2上是否存在點(diǎn)M ,使4ABM是以AB為斜邊且一個(gè)角為30的直角三角形？若存，求出點(diǎn) M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.y54321-1-O-2-3-4-5x3Cli練習(xí)3.如圖，已知拋物線 Ci與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)依次是 A(M,0) , B(2,0) , E(0,8).(1)求拋物線Ci關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的拋物線 C2的解析式;(2)設(shè)拋物線Ci的頂點(diǎn)為M ,拋物線C2與x軸分別交于C, D兩點(diǎn)(點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè))，頂點(diǎn)為N ,四邊形MDNA的面積為S.若點(diǎn)A,點(diǎn)D同時(shí)以每秒1個(gè)單位的速度沿水平方向分別向右、向左運(yùn)動(dòng)；與此同時(shí)，點(diǎn)

7、M ,點(diǎn)N同時(shí)以每秒2個(gè)單位的速度沿堅(jiān)直方向分別向下、向上運(yùn)動(dòng)，直到點(diǎn) A與點(diǎn)D重 合為止.求出四邊形 MDNA的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t之間的關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量 t的取值范圍；(3)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形(4)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，四邊形MDNA的面積S有最大值，并求出此最大值；MDNA能否形成矩形？若能，求出此時(shí) t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.二.二次函數(shù)與四邊形的面積例1.如圖10,已知拋物線 P: y=ax2+bx+c(a w 0)與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在x軸的正半軸上)，與y軸 交于點(diǎn)C,矩形DEFG勺一條邊DE在線段AB上，頂點(diǎn)F、G分別在線段BG AC上，拋物線P上部分點(diǎn)的橫 坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的縱坐

8、標(biāo)如下：x-3-212y5-2-45-20(1)求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)D的坐標(biāo)為(m, 0),矩形DEFG的面積為S,求S與m的函數(shù)關(guān)系， 并指出m的取值范圍；(3)當(dāng)矩形DEFG勺面積S取最大值時(shí)，連接 DF并延長(zhǎng)至點(diǎn) M使FM=k-DF, 若點(diǎn)M不在拋物線P上，求k的取值范圍.練習(xí)1.如圖，平面直角坐標(biāo)系中有一直角梯形OMNH嵐H的坐標(biāo)為(一8, 0),點(diǎn)N的坐標(biāo)為(6, 4).(1)畫(huà)出直角梯形 OMNHg點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°的圖形OABC并寫(xiě)出頂點(diǎn) A, B, C的坐標(biāo)(點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為 A, 點(diǎn)N的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B,點(diǎn)H的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C);(2)求出過(guò)A, B, C三點(diǎn)的拋物線

9、的表達(dá)式；(3)截取CE=OF=AGm 且E, F, G分別在線段 CO OA AB上，求四邊形 BEFG勺面積S與m之間的函數(shù) 關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量 m的取值范圍；面積 S是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最小值；若不存在， 請(qǐng)說(shuō)明理由；練習(xí)2.如圖，正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為2cm,在對(duì)稱中心O處有一釘子.動(dòng)點(diǎn) P , Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，點(diǎn)P沿At Bt C方向以每秒2cm的速度運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)C停止，點(diǎn)Q沿At D方向以每秒1cm的速度運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)D停止. P , Q兩點(diǎn)用一條可伸縮的細(xì)橡皮筋聯(lián)結(jié)，設(shè)x秒后橡皮筋掃過(guò)的面積為 ycm2.(1)當(dāng)00 x0 1時(shí)，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)橡

10、皮筋剛好觸及釘子時(shí)，求 x值；(3)當(dāng)10x02時(shí)，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式， 并寫(xiě)出橡皮筋從觸及釘子到運(yùn)動(dòng)停止時(shí)/ POQ的變化范圍；(4)當(dāng)00x& 2時(shí)，請(qǐng)?jiān)诮o出的直角坐標(biāo)系中畫(huà)出y與x之間的函數(shù)圖象.練習(xí)3.如圖，已知拋物線li： y=x2-4的圖象與x軸相交于A、C兩點(diǎn)，B是拋物線li上的動(dòng)點(diǎn)(B不與A、C重合)，拋物線12與li關(guān)于x軸對(duì)稱，以AC為對(duì)角線的平行四邊形 ABCD的第四個(gè)頂點(diǎn)為 D.(1)求12的解析式；(2)求證：點(diǎn)D 一定在12上；DABCD能否為矩形？如果能為矩形, 有一個(gè)矩形符合條件，則求此矩形的面積 由.注：計(jì)算結(jié)果不取近似值三.二次函數(shù)與四邊形的動(dòng)

11、態(tài)探究OABC,已知 0(0, 0), A(4, 0), C(0, 3),點(diǎn) P 是例1.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，有一張矩形紙片0A邊上的動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)0、A不重合).現(xiàn)將 PAB沿PB翻折，得到 PDB;再在0C邊上選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn) E,將4 P0E沿PE翻折，得到 PFE ,并使直線PD、PF重合.(1)設(shè)P(x, 0), E(0, y),求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求 y的最大值；(2)如圖2,若翻折后點(diǎn) D落在BC邊上，求過(guò)點(diǎn)P、B、E的拋物線的函數(shù)關(guān)系式；(3)在(2)的情況下，在該拋物線上是否存在點(diǎn)Q,使4PEQ是以PE為直角邊的直角三角形？若不存在，說(shuō)圖2明理由；若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)

12、.例2.已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于 A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,其中點(diǎn)B在x軸的正半軸上,點(diǎn)C在y軸的正半軸上，線段 OB、OC的長(zhǎng)(OB<OC)是方程x210x+ 16=0的兩個(gè)根，且拋物線的對(duì) 稱軸是直線x= 一 2.(1)求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求此拋物線的表達(dá)式；(3)連接 AC、BC,若點(diǎn)E是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn) A、點(diǎn)B不重合)，過(guò)點(diǎn) E作EF/AC交BC 于點(diǎn)F,連接CE,設(shè)AE的長(zhǎng)為m, CEF的面積為S,求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量 m 的取值范圍；(4)在(3)的基礎(chǔ)上試說(shuō)明 S是否存在最大值，若存在，請(qǐng)求出S的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)

13、 E的坐標(biāo)，判斷此時(shí) BCE的形狀；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.例3.如圖，矩形ABCD中，AB=3, BC = 4,將矩形ABCD沿對(duì)角線 A平移，平移后的矩形為 EFGH (A、 E、C、G始終在同一條直線上)，當(dāng)點(diǎn)E與C重時(shí)停止移動(dòng).平移中 EF與BC交于點(diǎn)N, GH與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) M, EH與DC交于點(diǎn)P, FG與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) Q.設(shè)S表示矩形PCMH的面積，S'表 示矩形NFQC的面積.(1) S與S'相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.(2)設(shè)AE= x,寫(xiě)出S和x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出x取何彳I時(shí)S有最大值，最大值是多少？(3)如圖11,連結(jié)BE,當(dāng)AE為何值時(shí)， MBE

14、是等腰三角形.圖11練習(xí)1.如圖12,四邊形OABC為直角梯形，A (4, 0) , B (3, 4) , C (0, 4).點(diǎn)M從O出發(fā)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向 A運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)N從B同時(shí)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向 C運(yùn)動(dòng).其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).過(guò)點(diǎn) 結(jié)MQ .N作NP垂直x軸于點(diǎn)P ,連結(jié)AC交NP于Q,連(1)點(diǎn)(填M或N)能到達(dá)終點(diǎn);(2)求 AQM的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量 t的取值范圍，當(dāng)t為何值時(shí)，S的值最大;M的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由.(3)是否存在點(diǎn) M,使得 AQM為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)練習(xí)2.實(shí)驗(yàn)與探究(1)在圖1

15、, 2, 3中，給出平行四邊形 ABCD的頂點(diǎn)A, B,D的坐標(biāo)(如圖所示)，寫(xiě)出圖 1, 2, 3中的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)，它們分別是(5,2),給出平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A,(2)在圖4中,B, D的坐標(biāo)(如圖所示)，求出頂點(diǎn)C的坐標(biāo)(C點(diǎn)坐標(biāo)用含a, b,c, d, e, f的代數(shù)式表示)；歸納與發(fā)現(xiàn)(3)通過(guò)對(duì)圖1, 2, 3, 4的觀察和頂點(diǎn) C的坐標(biāo)的探究，你會(huì)發(fā)現(xiàn)：無(wú)論平行四邊形ABCD處于直角坐標(biāo)系中哪個(gè)位置，當(dāng)其頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(a,b),B(c,d),C(m,n),D(e,f)(如圖4)時(shí)，則四個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo) a, c, m, e之間的等量關(guān)系為；縱坐標(biāo)b, d, n, f之間的等量

16、關(guān)系為(不必證明)；運(yùn)用與推廣(4)在同一直角坐標(biāo)系中有拋物線y =x2 _(5c_3)x _c和三個(gè)點(diǎn)G'c, -c , S 1-C9 9ci, H(2c ,0)(其2 2 2 2中c A0) .問(wèn)當(dāng)c為何值時(shí)，該拋物線上存在點(diǎn) P,使得以G, S, H, P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？并求出所有符合條件的 P點(diǎn)坐標(biāo).參考答案：一.二次函數(shù)與四邊形的形狀例 1.解：(1)令 y=0,解得 Xi = 1 或 X2 = 3，A (-1, 0) B (3, 0);將C點(diǎn)的橫坐標(biāo)x=2代入y =x2 2x 3得y=-3,C (2, -3) .,.直線AC的函數(shù)解析式是y=-x-1(2)設(shè)P點(diǎn)

17、的橫坐標(biāo)為x (-1WxW2)則P、E的坐標(biāo)分別為：P (x, -x-1),E ( (x,x2 -2x -3) P 點(diǎn)在 E 點(diǎn)的上方，PE=(-x-1)-(x2 -2x-3) =x2 +x+219當(dāng)x=一時(shí)，PE的最大值=24(3)存在 4 個(gè)這樣的點(diǎn) F,分別是4(1,0), F2(-3,0), F3(4+V7,0),F4(4-77,0)練習(xí)1.解：(1)由拋物線的對(duì)稱軸是 x=7, 27、2可設(shè)解析式為y =a(x)2 + k .把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入上2式，得,7、2 ,a(6 -)k =0,2 7 2 .a(0')2 +k =4.2一 225解之，得 a =2,k = 一253

18、6故拋物線解析式為272 25 4y =- (x -) -一 , 頂點(diǎn)為326(7,-25).(2) 點(diǎn)E(x, y)在拋物線上，位于第四象限，且坐標(biāo)適合2/7.2 25y =Mx -)，326, y<0,即一y>0, y表示點(diǎn)E到OA的距離.< OA是OEAF的對(duì)角線,17 2S =2SOAE =2M1MOA y =-6y = -4(-7) +25.因?yàn)閽佄锞€與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)是(1, 0)的(6, 0),所以，自變量 x的取值范圍是1vx<6. 根據(jù)題意，當(dāng)S = 24時(shí)，即4(x _7)2 +25 =24 化簡(jiǎn)，得(x_，)2=1 解之，得x1=3,x2=4.224

19、,故所求的點(diǎn)E有兩個(gè)，分別為 Ei (3, -4) , E2 (4, -4).點(diǎn)Ei (3, 4)滿足OE = AE,所以|_OEAF是菱形；點(diǎn)E2 (4, 4)不滿足OE = AE,所以|_OEAF不是菱形. 當(dāng)OALEF,且OA = EF時(shí)，OEAF是正方形，此時(shí)點(diǎn) E的坐標(biāo)只能是(3, 3).而坐標(biāo)為(3, - 3)的點(diǎn)不在拋物線上，故不存在這樣的點(diǎn)巳使|_OEAF為正方形.練習(xí)2.解：(1)由題意知點(diǎn)C'的坐標(biāo)為(3,4).設(shè)12的函數(shù)關(guān)系式為y = a(x 3)24.又丁點(diǎn) A(1,0)在拋物線 y=a(x3)24 上，二(1 3)2a 4 =0 ,解得 a =1 .，拋物線

20、12的函數(shù)關(guān)系式為 y=(x3)24 (或y =x26x+5) .(2) ；P與P'始終關(guān)于x軸對(duì)稱，:PP'與y軸平行.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m ,則其縱坐標(biāo)為m26m+5 , ：* OD = 4 ,二2 m2.6m+5 =4，即m2 -6m+5 =2 .當(dāng)m2 -6m 5 2時(shí)，解得m =3 ± J6 .當(dāng)m2 6m布=2 時(shí)，解得m = 3 ± J2 .:當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到（3病,2） 或(3 +冊(cè),2)或(3 點(diǎn)，2)或(3 +也2)時(shí)，PP，d，以點(diǎn)d, o, p, P'為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.(3)滿足條件的點(diǎn) M不存在.理由如下：若存在滿足條件

21、的點(diǎn)則/AMB =90), V. BAM =30(或. ABM =30；),1 1BM = -AB =一父4 =2 .22過(guò)點(diǎn) M 作 ME _L AB于點(diǎn) E ,可得 NBME =/BAM =30 ., EB =-BM =-父2 =1，EM =點(diǎn)，OE =4 22二點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4,一 J3).但是，當(dāng) x=4 時(shí)，y=42 64+5=1624+5=3 ¥-73.，不存在這樣的點(diǎn) M構(gòu)成滿足條件的直角三角形.練習(xí)3.解(1)點(diǎn)A(Y,0)，點(diǎn)B(2,0)，點(diǎn)E(0,8)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為D(4,0), C(2,0), F(0,8).設(shè)拋物線C2的解析式是16a 4b c=0,a

22、=_1,y =ax2 +bx +c(a =0),則 J4a +2b+c =0,解得 1b =6, !cc - -8Jc - -8-所以所求拋物線的解析式是y = -x2+6x -8 .由(1)可計(jì)算得點(diǎn) M(_3, _1), N(31).過(guò)點(diǎn)N作NH 1 AD ,垂足為H .當(dāng)運(yùn)動(dòng)到時(shí)刻 t 時(shí)，AD =2OD =8 -2t , NH =1 +2t.根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì) OA=OD, OM =ON ,所以四邊形 MDNA是平行四邊形.所以 S = 2S. ADN .所以，四邊形MDNA的面積S = (82t)(1+2t) = 4t2+14t+8 .因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)至點(diǎn) A與點(diǎn)D重合為止，據(jù)題意可知0 0

23、 t父4 .所以，所求關(guān)系式是 S = 4t2+14t+8, t的取值范圍是0&t<4.(3) S=Y，t71+81, ( 0&t<4) .所以 t=7 時(shí)，S 有最大值如.I 4 J 444提示：也可用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式來(lái)求.(4)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中四邊形MDNA能形成矩形.由(2)知四邊形 MDNA是平行四邊形，對(duì)角線是AD, MN ,所以當(dāng) AD=MN 時(shí)四邊形 MDNA 是矩形.所以 OD = ON .所以O(shè)D2 =ON2=OH2+NH2. 所以 t2+4t22=0.解之得 力=762, t2=-762 (舍).所以在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中四邊形MDNA可以形成矩形，此時(shí)t=J6-

24、2.點(diǎn)評(píng)本題以二次函數(shù)為背景，結(jié)合動(dòng)態(tài)問(wèn)題、存在性問(wèn)題、最值問(wèn)題，是一道較傳統(tǒng)的壓軸題，能力要求較高。二.二次函數(shù)與四邊形的面積21 o例1.斛：(1)斛法一：設(shè)y =ax +bx+c(a=0),任取x,y的三組值代入，求出解析式y(tǒng)= x + x- 4 ,2令 y=0,求出 xi = - 4,旭=2;令 x=0,得 y=-4 , A、日 C 三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是 A(2 , 0), B(-4 , 0), C(0, -4) 解法二：由拋物線 P過(guò)點(diǎn)(1 , - 5) , (-3 , -5)可知，2 2拋物線P的對(duì)稱軸方程為x=-1 ,又拋物線P過(guò)(2, 0)、(-2 , -4),則由拋物線的對(duì)稱性可

25、知，點(diǎn) A、B C的坐標(biāo)分別為 A(2 , 0) , B(-4 , 0) , C(0, -4).(2)由題意， =- =,而 AO=2 OC=4 AD=2-m故 DG=4-2mg AO OCp BE EF八 /口又一=,EF=DG 彳B BE=4-2m,DE=3miBO OCSdefg =DG DE=(4-2m) 3m=12m-6m2 (0 < m< 2).注：也可通過(guò)解 RtBOC及RtAAOCC或依據(jù) BOB等腰直角三角形建立關(guān)系求解 2 SDEFG=12m-6n(0 < m< 2),，m=1時(shí)，矩形的面積最大，且最大面積是6 .當(dāng)矩形面積最大時(shí)，其頂點(diǎn)為 D(1,

26、 0), G(1, -2) , F(-2 , -2) , E(-2 , 0),2222設(shè)直線DF的解析式為y=kx+b,易知，k=2, b=- 2 , /. y = - x-,3 333又可求得拋物線 P的解析式為：y = 1 x2 + X- 4 ,2令2x- 2 = -x2+ x- 4,可求出X = _1 r 61 .設(shè)射線DF與拋物線P相交于點(diǎn)N,33 23則N的橫坐標(biāo)為-1-。61，過(guò)N作x軸的垂線交x軸于H,有 30-1-61_FN HE - 2-3_- 5+ 61= = _ DF DE39點(diǎn)M不在拋物線P上，即點(diǎn)M不與N重合時(shí)，此時(shí)k的取值范圍是2- 5 + "61且卜&g

27、t; 0. 9說(shuō)明：若以上兩條件錯(cuò)漏一個(gè)，本步不得分.若選擇另一問(wèn)題：(2) . AD= DG，而 ad=1, AO=2 OC=4 貝U DG=2 又FG = -CP ,而 AB=6, CP=2, OC=4 貝U FG=3, AO OCAB OCSdefg =DG FG=6.練習(xí)1.解：利用中心對(duì)稱性質(zhì)，畫(huà)出梯形 OABC 1分A, B, C三點(diǎn)與 M N, H分別關(guān)于點(diǎn) 。中心對(duì)稱， . A (0, 4) , B (6, 4) , C (8,0) 3 分(寫(xiě)錯(cuò)一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)扣 1分)2A (0,(2)設(shè)過(guò)A, B, C三點(diǎn)的拋物線關(guān)系式為y-aX +BX + C,二拋物線過(guò)點(diǎn)2 c二4 .則拋

28、物線關(guān)系式為y=或+如+4.將B (6, 4) , C (8, 0)兩點(diǎn)坐標(biāo)代入關(guān)系式，得 36a +6b +4 =4,64a + 88 + 4 = 0.45AB,垂足為 G 則 sin / FEG= sin / CA樂(lè) 5 分141 2 3, v = -x +-x+442解得I. T所求拋物線關(guān)系式為:(3) OA=4 OC=8AF=* m, OE=8- m. 8 分1 1 1 1 -OA (AB+OC - AF AG _ OE- OF _ CE- OA=-x4x(6 + 3)-工由(4一&一小)-1x4加2。二10分-m -8w3 + 28( 0朋4)S=伽-4y+12. .當(dāng)=4

29、時(shí),s的取最小值. 又,0vm<4,.不存在 m值，使S的取得最小值. 12分y =1 AQAP =x2,即 y=x2 .2BP = 2x-2，AQ=x，1(2x_2+xy 2=1M22，(4)當(dāng)測(cè)二一2+2J?時(shí)，GB=GF 當(dāng)期二 2 時(shí)，BE=BG 14 分 練習(xí) 2.解(1)當(dāng) 00X01 時(shí)，AP=2x, AQ=x,1(2)當(dāng)Sg邊形ABPQ = 2 S正方形AD時(shí)，橡皮筋剛好觸及釘子,4X = 一 .3(3)當(dāng) 1WxW4 時(shí)，AB=2, PB =2x-2, AQ = x , - y = AQ +BPJab = x + 2x-2x2 =3x-2 322即 y =3x-2.作O

30、ELAB, E為垂足.-4當(dāng)一wx02 時(shí)，BP=2x-2, AQ=x, OE =1, 31 .2x 2Lx _ 3、，y - S梯形 BEOP + S梯形 OEAQ =父1 + 父1 - x ,2 22rr 3即 y = ±x . 90° <Z POQ & 180，或 180 <Z POQ < 270，2(4)如圖所示：練習(xí)3.解(1)設(shè)l2的解析式為y=ax2+bx+c(aw0),1i與x軸的交點(diǎn)為 A(-2, 0), C(2, 0),頂點(diǎn)坐標(biāo)是(0,-4), l2與1i關(guān)于x軸對(duì)稱, 山過(guò) A(-2,0),C(2,0),頂點(diǎn)坐標(biāo)是(0, 4)

31、,4a -2b c =0 ,4a 2b c =0, c =4.a=- 1,b=0,c=4 ,即 l2 的解析式為 y= - x2+4 .(還可利用頂點(diǎn)式、對(duì)稱性關(guān)系等方法解答)(2)設(shè)點(diǎn) B(m, n)為 1i： y=x2-4 上任意一點(diǎn),則 n= m2-4 (*).四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn) A、C關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，B、D關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱,點(diǎn)D的坐標(biāo)為 D(-m,-n).由(*)式可知，-n=-( m2-4)=-(- m)2+4,即點(diǎn)D的坐標(biāo)滿足y= -x2+4,點(diǎn)D在12上.DABCD能為矩形.過(guò)點(diǎn)B作BHx軸于H,由點(diǎn)B在1i： y=x2-4上，可設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(刈，Xo2-4),則OH

32、=| x°|, BH=| xo2-4| .易知，當(dāng)且僅當(dāng) BO= AO=2時(shí)，DABCD為矩形.在 RHOBH 中，由勾股定理得，| xo|2+| xo2-4|2=22, (%2-4)( x。2-3)=0 ,x0= ±2(舍去)、xo=i73 .所以，當(dāng)點(diǎn)B坐標(biāo)為B(43 , -1)或B'-Q3 , -1)時(shí)，DABCD為矩形, 此時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)分別是 D(-43 ,1)、D'(3 , 1).因此，符合條件的矩形有且只有2個(gè)，即矩形ABCD和矩形AB'CD'.設(shè)直線 AB與y軸交于E ,顯然，AOEsahb,.EOBH EO 1-= =A。A

33、H '22+行EO=4-2 ,3 .由該圖形的對(duì)稱性知矩形ABCD與矩形AB CD重合部分是菱形，11其面積為 S=2SMCE=2X2 XAC XE。=2 2 >4X(4-243 )=16 - 8班.三.二次函數(shù)與四邊形的動(dòng)態(tài)探究例1.解:(1)由已知 PB 平分/APD, PE 平分/OPF,且 PD、PF 重合，貝 U/ BPE=90°./ OPE+Z APB=90°.又/ APB+/ABP=90° , .OPE=/PBA.POBAx 3110 4 RtAPOERtABPA.一=一 ,即=.y=1 x(4-x) =-1x2+-x (0< x

34、< 4).OEAPy4 -x333且當(dāng)x=2時(shí)，y有最大值1 .0), E(0, 1),1.a=2,"b=/, 2jc =1.B(4, 3).3(2)由已知， PAB、 POE均為等腰三角形，可得 P(1 ,c =1,設(shè)過(guò)此三點(diǎn)的拋物線為 y=ax2+bx+c,則Q+b+c =0|16a - 4b - c =3.12 3dy= x - x + 1 .221).(3)由(2)知/ EPB=90 °,即點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)滿足條件.直線 PB為y=x 1,與y軸交于點(diǎn)(0, 將PB向上平移2個(gè)單位則過(guò)點(diǎn) E(0, 1),，該直線為y=x+ 1.y =x 1,由 41 2 3

35、得 JxC Q(5，6).y =-x -x 1, y =6.22故該拋物線上存在兩點(diǎn)Q(4, 3)、(5, 6)滿足條件.例2.解:(1)解方程 x2- 10x+ 16=0 得 x1 = 2, x2=8點(diǎn)B在x軸的正半軸上，點(diǎn) C在y軸的正半軸上，且 OBvOC .點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2, 0）,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0, 8）又.拋物線y= ax2+bx+c的對(duì)稱軸是直線 x= - 2，由拋物線的對(duì)稱性可得點(diǎn) A的坐標(biāo)為（一6, 0） 4分(2) .點(diǎn) C (0, 8)在拋物線 y=ax2 + bx+c的圖象上，c= 8,將 A ( 6, 0)、B (2, 0)代入表達(dá)2'0 = 36a-6&am

36、p;+8:，LH式，得仍+ 8解得一與_2_8 所求拋物線的表達(dá)式為 y= 3x2 3x+8 7分(3)依題意，AE=m,則 BE= 8-m, / OA=6, OC= 8, . AC= 10 EF / AC . BEFA BAC而 BE BF 8-w40-5w穿26題圖（批卷教師用圖） = = AC AB 即 108 , EF= 4FG 44 “RF = 5 - FG = 5 ,4 = 8 m1 1 .S= S；A BCE - S；A BFE= 2 (8m) X8 2 (8m) (8 m)1 1 1=2 (8m) (88+m) = 2 (8m) m= 2m2+4m 自變量m的取值范圍是0vmv

37、8 11分1 1 1(4)存在.理由：= S = - 2 m2 + 4m = 2 (m 4) 2+8且一2 v 0, 當(dāng)m=4時(shí)，S有最大值，S最大值=8 12分 m= 4, 點(diǎn) E 的坐標(biāo)為（一2, 0） .BCE為等腰三角形. 14分（以上答案僅供參考，如有其它做法，可參照給分）例3解：（1）相等。理由是：因?yàn)樗倪呅蜛BCD、EFGH 是矩形,所以S.Egh =SEGF , S.ECN =SRp，S.CGQ=S.Cgm所以S.Egh -S.Ecp - S.CgmS. egf -SecnSCGQ ,即:(2)AB=3, BC=4, AC =5,設(shè) AE = x,則 EC=5-x,-3-4PC

38、 =-(5 f), MC x,552512x(0 _x _5)所以 S =PCl_MC =12x(5 x)，即 S = 25配方得：S = 12(x5)2+3,所以當(dāng)x=5時(shí)，S有最大值3 2522(3)當(dāng)AE=AB=3或AE=BE= 0或AE=3.6時(shí)，AABE是等腰三角形2練習(xí)1.解：(1)點(diǎn)M 1分(2)經(jīng)過(guò) t 秒時(shí)，NB =t , OM =2t則 CN=3t, AM =42t ./BCA=/MAQ =452 . QN = CN =3t，PQ=1+t1121 2 Saamq JamLPQ =1(4 2t)(1+t) 一 t 2，S =-t2+t+2 = ；tI22210 &t

39、0 2.當(dāng)t =_時(shí)，S的值最大.2(3)存在.設(shè)經(jīng)過(guò) t秒時(shí)，NB=t, OM=2t 則 CN =3t , AM =4 2t，/BCA = /MAQ =45若NAQM =90，則PQ是等腰RtA MQA底邊MA上的高，PQ是底邊 MA的中線 ，-111PQ =AP =MA . 1+t = (4 2t) t =-222點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,0)若/QMA =90",此時(shí) QM 與 QP 重合，QM =QP =MA . 1+t=4 2t . t=1點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2, 0)練習(xí)2.解：(1) (e +c, d), (c +e-a, d). 分別過(guò)點(diǎn)A, B, C, D作x軸的垂線，垂足分別為

40、 A,國(guó)C1, D1 ,分別過(guò)A, D作AE _L BB1于E, DF _LCCi 于點(diǎn) F .在平行四邊形 ABCD中，CD = BA,又B BB1 / CC1 ,EBA +/ABC +/BCF =/ABC +/BCF +/FCD =180.，/EBA = /FCD .又：BEA = CFD =90；,aABEAACFD .，AF=DF=a-c, BE=CF=d-b.設(shè) C(x, y).由 e-x=a-c,得x=e + c-a.由 y - f =db,得 y=f +db.，C(e+c -a, f +d -b).(3) m=c+ea, n=d+fb.或 m+a=c + e, n+b = d + f.(4)若GS為平行四邊形的對(duì)角線，由(3)可得P(2c,7c),要使P在拋物線上，則有 7c =4c2 (5c3)x(2c) -c ,即 c2 c = 0 .ci =0 (舍去)，c2 =1 .此時(shí) P(2,7).若SH為平行四邊形的對(duì)角線，由(3)可得p2(3c,2