平面幾何的26個(gè)定理

1、高一數(shù)學(xué)競(jìng)賽班二試講義第1講 平面幾何中的26個(gè)定理班級(jí) 姓名 一、知識(shí)點(diǎn)金1. 梅涅勞斯定理：若直線不經(jīng)過(guò)的頂點(diǎn)， 并且與的三邊或它們的延長(zhǎng)線 分別交于，則 注：梅涅勞斯定理的逆定理也成立 （用同一法證明）2. 塞瓦定理： 設(shè)分別是的三邊或它們的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，若三線共點(diǎn)，則注：塞瓦定理的逆定理也成立3. 托勒密定理：在四邊形中，有，并且當(dāng)且僅當(dāng)四邊形內(nèi)接于圓時(shí)，等式成立。EDCBA注：托勒密定理的逆定理也成立4. 西姆松定理：若從外接圓上一點(diǎn)作的垂線， 垂足分別為，則三點(diǎn)共線。 西姆松定理的逆定理：從一點(diǎn)作的垂線，垂足分別為。若三點(diǎn)共線，則點(diǎn)在的外接圓上。5 蝴蝶定理：圓O中的弦PQ的中點(diǎn)M

2、，過(guò)點(diǎn)M任作兩弦AB，CD，弦AD與BC分別交PQ于X，Y，則M為XY之中點(diǎn)。證明：過(guò)圓心O作AD與BC的垂線，垂足為S、T，連接OX，OY，OM，SM，MT。 AMDCMB AM/CM=AD/BC AS=1/2AD，BT=1/2BC AM/CM=AS/CT 又A=C AMSCMT MSX=MTY OMX=OSX=90 OMX+OSX=180 O，S，X，M四點(diǎn)共圓 同理，O，T，Y，M四點(diǎn)共圓 MTY=MOY，MSX=MOX MOX=MOY ， OMPQ XM=YM 注：把圓換成橢圓、拋物線、雙曲線蝴蝶定理也成立6 坎迪定理：設(shè)是已知圓的弦，是上一點(diǎn)，弦過(guò)點(diǎn)，連結(jié)，分別交于，則。7 斯特瓦爾

3、特定理：設(shè)為的邊上任一點(diǎn)，則有 。 注：斯特瓦爾特定理的逆定理也成立8張角定理： 設(shè)順次分別是平面內(nèi)一點(diǎn)所引三條射線上的點(diǎn)，線段 對(duì)點(diǎn)的張角分別為，且，則三點(diǎn)共線的充要條件是： 9九點(diǎn)圓定理：三角形的三條高的垂足、三邊的中點(diǎn)，以及垂心與頂點(diǎn)的三條連接線段的中點(diǎn)， 共九點(diǎn)共圓。此圓稱為三角形的九點(diǎn)圓，或稱歐拉圓。的九點(diǎn)圓的圓心是其外心與垂心所連線段的中點(diǎn)，九點(diǎn)圓的半徑是的外接圓半徑的。證明：的九點(diǎn)圓與的外接圓，以三角形的垂心為外位似中心，又以三角形的重心為內(nèi)位似中心。位似比均為。10歐拉線：的垂心，重心，外心三點(diǎn)共線。此線稱為歐拉線，且有關(guān)系：11歐拉公式：設(shè)三角形的外接圓與內(nèi)切圓的半徑分別為和

4、，則這兩圓的圓心距。由此可知，。 證明：設(shè)外心為，內(nèi)心為，連結(jié)，延長(zhǎng)交外接圓于兩點(diǎn)，令，交外接圓于，則12笛沙格定理;在和中，若相交于一點(diǎn)，則與，與，與的交點(diǎn)共線。證明：和梅尼線，；和梅尼線，；和梅尼線，三式相乘，得。得證13牛頓（Newton）定理1： 圓的外切四邊形的對(duì)角線的交點(diǎn)和以切點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形對(duì)角線交點(diǎn)重合。 證法1：設(shè)四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA與內(nèi)切圓分別切于點(diǎn)E,F,G,H. 首先證明,直線AC,EG,FH交于一點(diǎn).設(shè)EG,FH分別交AC于點(diǎn)I,I. 顯然 AHI=BFI ，因此易知 AI*HI/FI*CI=S(AIH)/S(CIF)=AH*HI/CF*FI 故

5、AI/CI=AH/CF. 同樣可證:AI/CI=AE/CG 又AE=AH,CF=CG. 故AI/CI=AH/CF=AI/CI. 從而I,I重合.即直線AC,EG,FH交于一點(diǎn). 同理可證:直線BD,EG,FH交于一點(diǎn). 因此 直線AC,BD,EG,FH交于一點(diǎn)。證法2：外四邊形為ABCD，對(duì)應(yīng)內(nèi)切四邊形為EFGH。連接EG，F(xiàn)H交于P。下面證明BD過(guò)P即可。 過(guò)D座EG的平行線交BA與S，過(guò)D做FH的平行線交BC于T。由于弦切角及同位角，角BEG=角CGE=角CDS=角BSD。所以SEGD四點(diǎn)共圓，且為等腰梯形。設(shè)此圓為圓M，圓M與圓O，內(nèi)切圓交于EG，所以其根軸為EG，同理對(duì)圓N，DHFT，

6、與圓O交于HF。HF為此兩圓的根軸。由根軸定理，只需證明BD為圓M與圓N的根軸即可證明BD，EG，HF共于點(diǎn)P。 D在圓M和圓N上，所以其為根軸一點(diǎn)。由于SEGD，和DHFT為等腰梯形，所以ES=DG，DH=FT。由切線長(zhǎng)定理，DH=DG，BE=BF；所以BE=BF，ES=FT，BS=BT。若B為圓M與圓N的根軸上一點(diǎn)，則BE*BS=BF*BT，其為割線長(zhǎng)。明顯等式成立。所以BD為圓M與圓N的根軸，則BD，EG，HF共于點(diǎn)P。同理AC，EG，HF共于點(diǎn)P。命題得證。14牛頓（Newton）定理2：圓外切四邊形的兩條對(duì)角線的中點(diǎn)，及該圓的圓心，三點(diǎn)共線。 證明：設(shè)四邊形ABCD是I的外切四邊形，

7、E和F分別是它的對(duì)角線AC和BD的中點(diǎn)，連接EI只需證它過(guò)點(diǎn)F，即只需證BEI與DEI面積相等。 顯然，SBEI=SBIC+SCEI-SBCE，而SDEI=SADE+SAIE-SAID。 注意兩個(gè)式子，由ABCD外切于I，AB+CD=AD+BC，SBIC+SAID=1/2*S四邊形ABCD，SADE+SBCE=1/2*SACD+1/2*SABC=1/2*S四邊形ABCD 即SBIC+SAID=SADE+SBCE，移項(xiàng)得SBIC-SBCE=SADE-SAID，由E是AC中點(diǎn)，SCEI=SAEI，故SBIC+SCEI-SBCE=SADE+SAIE-SAID，即SBEI=DEI，而F是BD中點(diǎn)，由共

8、邊比例定理EI過(guò)點(diǎn)F即EF過(guò)點(diǎn)I，故結(jié)論成立。 15牛頓（Newton）定理3：完全四邊形兩條對(duì)邊的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)和兩條對(duì)角線的中點(diǎn)，三點(diǎn)共線。這條直線叫做這個(gè)四邊形的牛頓線。 證明：四邊形ABCD,ABCD=E,ADBC=F,BD中點(diǎn)M,AC中點(diǎn)L,EF中點(diǎn)N 取BE中點(diǎn)P,BC中點(diǎn)R,PNCE=Q R,L,Q共線，QL/LR=EA/AB；M,R,P共線，RM/MP=CD/DE； N,P,Q共線，PN/NQ=BF/FC。 三式相乘得: QL/LR*RM/MP*PN/NQ=EA/AB*CD/DE*BF/FC QL/LR*RM/MP*PN/NQ=1 及梅尼線LMN，由梅涅勞斯定理的逆

9、定理知L，M，N三點(diǎn)共線。16布利安雙定理：設(shè)一六角形外切于一條圓錐曲線，那么它的三雙對(duì)頂點(diǎn)的連線共點(diǎn)。在此，提供用初等幾何證明外切于圓的情形。記六邊形為ABCDEF外切于圓O，AB，BC，CD,DE,EF,FA上的切點(diǎn)分別是G,H,I,J,K,L.設(shè)AB,DC交于X,AF,DE交于Y.則四邊形AXDY外切于圓O,切點(diǎn)分別是G,I,J,L。圓外切四邊形對(duì)邊切點(diǎn)連線與主對(duì)角線交于一點(diǎn)，有AD,GJ,LI共點(diǎn)(記為點(diǎn)P)。同理，BE,GJ,KH共點(diǎn)(記為點(diǎn)r),CF,LI,KH共點(diǎn)（記為點(diǎn)q則命題可轉(zhuǎn)為證明DP,BR,FQ共點(diǎn)。17拿破侖定理：若在任意三角形的各邊向外作正三角形。則它們的中心構(gòu)成一

10、個(gè)正三角形。證明：設(shè)等邊ABD的外接圓和等邊ACF的外接圓相交于O；連AO、CO、BO。 ADB=AFC=60； A、D、B、O四點(diǎn)共圓；A、F、C、O四點(diǎn)共圓； AOB=AOC=120； BOC=120； BCE是等邊三角形 BEC=60； B、E、C、O四點(diǎn)共圓； 這3個(gè)等邊三角形的外接圓共點(diǎn)。設(shè)等邊ABD的外接圓N，等邊ACF的外接圓M，等邊BCE的外接圓P 相交于O；連AO、CO、BO。 A、D、B、O四點(diǎn)共圓； A、F、C、O四點(diǎn)共圓，B、E、C、O四點(diǎn)共圓，AFC=ADB=BEC=60； AOB=AOC=BOC=120； NP、MP、MN是連心線； BO、CO、AO是公共弦； BO

11、NP于X； COMP于Y； AONM于Z。 X、P、Y、O四點(diǎn)共圓； Y、M、Z、O四點(diǎn)共圓； Z、N、X、O四點(diǎn)共圓； N=M=P=60； 即MNP是等邊三角形。 18帕斯卡（Pascal）定理：如圖，圓內(nèi)接六邊形ABCDEF的邊AB、DE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，邊BC、EF的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H，邊CD、FA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)K。則H、G、K三點(diǎn)共線。證明：延長(zhǎng)AB、CD、EF，分別交直線CD、EF、AB于M、N、L三點(diǎn)，構(gòu)成LMN。直線BC截LM、MN、NL于B、C、H三點(diǎn)，則直線DE截LM、MN、NL于G、D、E三點(diǎn)，則|LG|/|MG|.|MD|/|ND|.|NE|/|LE|=1直線AF截LM、MN

12、、NL于A、K、F三點(diǎn)，則連BE，則LALB=LFLE，。同理，。將相乘，得。點(diǎn)H、G、K在LMN的邊LN、LM、MN的延長(zhǎng)線上，H、G、K三點(diǎn)共線。19蒙日定理（根心定理）：平面上任意三個(gè)圓，若這三個(gè)圓圓心不共線，則三條根軸相交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫它們的根心；若三圓圓心共線，則三條根軸互相平行。注：在平面上任給兩不同心的圓，則對(duì)兩圓圓冪相等的點(diǎn)的集合是一條直線，這條線稱為這兩個(gè)圓的根軸。 另一角度也可以稱兩不同心圓的等冪點(diǎn)的軌跡為根軸，或者稱作等冪軸。 （1）平面上任意兩圓的根軸垂直于它們的連心線； （2）若兩圓相交，則兩圓的根軸為公共弦所在的直線； （3）若兩圓相切，則兩圓的根軸為它們的內(nèi)公切

13、線； 20莫利定理（Morleys theorem），也稱為莫雷角三分線定理：將三角形的三個(gè)內(nèi)角三等分，靠近某邊的兩條三分角線相得到一個(gè)交點(diǎn)，則這樣的三個(gè)交點(diǎn)可以構(gòu)成一個(gè)正三角形。這個(gè)三角形常被稱作莫利正三角形。 證法一： 在ABR中，由正弦定理，得AR=csin/sin(+)。 不失一般性，ABC外接圓直徑為1，則由正弦定理，知c=sin3，所以AR= （sin3*sin）/sin(60-)=sin*sin(3-4sin2 )/1/2(3cos-sin)= 2sinsin（3cos+sin）=4sinsinsin（60+）. 同理,AQ=4sinsinsin(60+) 在ARQ中,由余弦定理

14、,得RQ2 =16sin2 sin2 sin2 (60+)+sin2 (60+)-2sin(60+)*sin（60+）cos=16sin2 sin2 sin2 . 這是一個(gè)關(guān)于，的對(duì)稱式，同理可得PQ2 ，PR2 有相同的對(duì)稱性，故PQ=RQ=PR,所以PQR是正三角形。 證法二： AE：AC=sin：sin（+）， AF：AB=sin：sin（+） ， AB：AC=sin3：sin3， AE:AF=（ACsin（+）/sin）：（ABsin（+）/sin）， 而sin3：sin3=（sinsin(60+)sin(60-) ）：（sin sin(60+) sin(60-) ）， AE：AF=s

15、in(60+)：sin(60+)， 在AEF中，AEF=60+， 同理CED=60+， DEF=60， DEF為正三角形。21斯坦納萊默斯定理：如圖，已知ABC中，兩內(nèi)角的平分線BD=CE。求證：AB=AC。 證法 作BDF=BCE；并使DF=BC BD=EC， BDFECB,BF=BE,BEC=DBF. 設(shè)ABD=DBC=,ACE=ECB=，F(xiàn)BC=BEC+=180-2-+=180-(+); CDF=FDB+CDB=+180-2-=180-(+); FBC=CDF， 2+2180, +90 過(guò)C點(diǎn)作FB的垂線和過(guò)F點(diǎn)作CD的垂線必都在FB和CD的延長(zhǎng)線上. 設(shè)垂足分別為G、H;HDF=CBG

16、;BC=DF,RtCGBRtFHD，CG=FH,BC=FD 連接CF，CF=FC,FH=CG，RtCGFFHC（HL），F(xiàn)G=CH, 又BG=DH,BF=CD, 又BF=BE,CD=BE，BE=CD,BC=CB,EC=DB,BECCDB，ABC=ACB AB=AC. 證法 設(shè)二角的一半分別為、 ,sin(2+)/ sin2= BC/CE = BC/BD = sin(+2)/ sin2, 2sincossin(+2) - 2sincossin(2+) =0 sinsin2(+)+sin 2- sinsin2（+）+ sin2=0 sin2(+)sin-sin+2 sinsincos- cos=0

17、 sin (-)/2sin2(+) cos(+)/2 + 2 sinsinsin (+)/2=0 ，sin(-)/2=0 =,AB=AC. 證法 用張角定理： 2cos/BE=1/BC+1/AB ,2cos/CD=1/BC+1/AC ,若 可推出ABAC矛盾！ 若 可推出AB AC矛盾！所以AB=AC 22費(fèi)爾馬點(diǎn)：費(fèi)爾馬點(diǎn)就是到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最短的點(diǎn)。 對(duì)于一個(gè)頂角不超過(guò)120度的三角形，費(fèi)爾馬點(diǎn)是對(duì)各邊的張角都是120度的點(diǎn)。 對(duì)于一個(gè)頂角超過(guò)120度的三角形，費(fèi)爾馬點(diǎn)就是最大的內(nèi)角的頂點(diǎn)。 證明：在平面三角形中: (1).三內(nèi)角皆小于120的三角形，分別以 AB,BC,CA，

18、為邊，向三角形外側(cè)做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后連接AA1,BB1,CC1,則三線交于一點(diǎn)P,則點(diǎn)P就是所求的費(fèi)馬點(diǎn). (2).若三角形有一內(nèi)角大于或等于120度,則此鈍角的頂點(diǎn)就是所求. (3)當(dāng)ABC為等邊三角形時(shí),此時(shí)外心與費(fèi)馬點(diǎn)重合 （1） 等邊三角形中BP=PC=PA，BP、PC、PA分別為三角形三邊上的高和中線、三角上的角分線。是內(nèi)切圓和外切圓的中心。BPCCPAPBA。 （2） 當(dāng)BC=BA但CAAB時(shí)，BP為三角形CA上的高和中線、三角上的角分線。 證明 (1)費(fèi)馬點(diǎn)對(duì)邊的張角為120度。 CC1B和AA1B中,BC=BA1,BA=BC1,CBC1=B+60度=A

19、BA1, CC1B和AA1B是全等三角形,得到PCB=PA1B 同理可得CBP=CA1P 由PA1B+CA1P=60度，得PCB+CBP=60度,所以CPB=120度 同理,APB=120度，APC=120度 (2)PA+PB+PC=AA1 將BPC以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)60度與BDA1重合，連結(jié)PD，則PDB為等邊三角形，所以BPD=60度 又BPA=120度，因此A、P、D三點(diǎn)在同一直線上， 又CPB=A1DB=120度，PDB=60度，PDA1=180度，所以A、P、D、A1四點(diǎn)在同一直線上，故PA+PB+PC=AA1。 (3)PA+PB+PC最短 在ABC內(nèi)任意取一點(diǎn)M（不與點(diǎn)P重合），

20、連結(jié)AM、BM、CM，將BMC以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)60度與BGA1重合，連結(jié)AM、GM、A1G(同上)，則AA1A1G+GM+MA=AM+BM+CM.所以費(fèi)馬點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的距離最短。 平面四邊形費(fèi)馬點(diǎn) 平面四邊形中費(fèi)馬點(diǎn)證明相對(duì)于三角型中較為簡(jiǎn)易，也較容易研究。 （1）在凸四邊形ABCD中，費(fèi)馬點(diǎn)為兩對(duì)角線AC、BD交點(diǎn)P。 （2）在凹四邊形ABCD中，費(fèi)馬點(diǎn)為凹頂點(diǎn)D（P）。23等差冪線定理：已知A、B亮點(diǎn)，則滿足AP-BP=k(k為常數(shù))的點(diǎn)P軌跡是垂直于AB的一條直線。24婆羅摩笈多定理若圓內(nèi)接四邊形ABCD的對(duì)角線相互垂直，則垂直于一邊CD且過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)E的直線EF將AB平分

21、對(duì)邊。 25萊莫恩（Lemoine）定理：過(guò)ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C作它的外接圓的切線，分別和BC、CA、AB所在直線交于P、Q、R，則P、Q、R三點(diǎn)共線。直線PQR稱為ABC的萊莫恩線。 證明：由弦切角定理可以得到： sinACR=sinABC ，sinBCR=sinBAC sinBAP=sinBCA， sinCAP=sinABC sinCBQ=sinBAC sinABQ=sinBCA 所以，我們可以得到：(sinACR/sinBCR)*(sinBAP/sinCAP)*(sinCBQ/sinABQ)=1，這是角元形式的梅涅勞斯定理，所以，由此，得到ABC被直線PQR所截，即P、Q、R共線。26清宮定理：設(shè)P、Q為ABC的外接圓上異于A、B、C的兩點(diǎn)，P關(guān)于三邊BC、CA、AB的對(duì)稱點(diǎn)分別是U、V、W，且QU、QV、QW分別交三邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線于D、E、F，則D、E、F在同一直線上 證明：設(shè)P、Q為ABC的外接圓上異于A、B、C的兩點(diǎn)，P關(guān)于三邊BC、CA、AB的對(duì)稱點(diǎn)分別是U、V、W，且QU、QV、QW分別交三邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線于D、E、F 這時(shí)，P、Q兩點(diǎn)和D、F、E、三點(diǎn)有如下關(guān)系： 將三角形的三邊或者其延長(zhǎng)線作為鏡面，則從P點(diǎn)出發(fā)的光線照到D點(diǎn)經(jīng)過(guò)BC反射以后通過(guò)Q點(diǎn)，