直線的參數(shù)方程

1、【教學論文、中學數(shù)學】學校：西安市慶安高級中學姓名： 杜曉紅 電話淺析直線參數(shù)方程的理解及其應用 慶安高級中學 杜曉紅【內容概要】直線的參數(shù)方程在數(shù)學解題中的應用非常廣泛。掌握直線參數(shù)方程的標準形式和一般形式，理解參數(shù)t的幾何意義，并熟悉直線的參數(shù)方程與普通方程之間的互化，那么在利用直線的參數(shù)方程處理求線段的長，求距離與中點有關等問題的時候有它獨到的優(yōu)勢?！娟P鍵詞】直線的參數(shù)方程，標準式，一般式，t的幾何意義，距離，中點，轉化?！菊摹恐本€的參數(shù)方程過點P0()，傾斜角為的直線的參數(shù)方程是： （t為參數(shù)）設P() 為直線上任意一點，t表示有向線段的數(shù)量，即|t| 當t

2、>0時，點P在點P0的上方； 當t0時，點P與點P0重合； 當t<0時，點P在點P0的下方；一、 直線參數(shù)方程標準式與一般式的理解與轉化例1：已知直線過點M0（1，3），傾斜角為，判斷方程（t為參數(shù)）和方程（t為參數(shù)）是否為直線的參數(shù)方程？如果是直線的參數(shù)方程，指出方程中的參數(shù)t是否具有標準形式中參數(shù)t的幾何意義。解：由于以上兩個參數(shù)方程消去參數(shù)后，均可以得到直線的的普通方程，所以以上兩個方程都是直線的參數(shù)方程。其中（t為參數(shù)） cos =, sin=，是標準形式，參數(shù)t是有向線段的數(shù)量。而方程是非標準形式，參數(shù)t不具有上述的幾何意義。點撥：直線的參數(shù)方程不唯一，對于給定的參數(shù)方程

3、能辨別其標準形式，會利用參數(shù)t 的幾何意義解決有關問題。探究：直線的參數(shù)方程如何化為標準形式？ 令t¢= 得到直線參數(shù)方程的標準形式（t¢為參數(shù)）， t¢的幾何意義是有向線段的數(shù)量。結論：一般地，對于傾斜角為、過點M0()直線參數(shù)方程的一般式為： （t為參數(shù)）， 斜率為（1）當1時，我們稱其為直線參數(shù)方程的標準式，則t的幾何意義是有向線段的數(shù)量； （2）當1時，我們稱其為直線參數(shù)方程的一般式，則t不具有上述的幾何意義；可化為 令t¢=則可得到標準式 （t¢為參數(shù)）， t¢的幾何意義是有向線段的數(shù)量。二、利用t的幾何意義求定點到動點的距

4、離例2：寫出經(jīng)過點M0（2，3），傾斜角為的直線的標準參數(shù)方程，并且求出直線上與點M0相距為2的點的坐標。 解：直線的標準參數(shù)方程為 即（t為參數(shù)）（1） 設直線上與已知點M0相距為2的點為M點，且M點對應的參數(shù)為t, 則| M0M|t| =2, t=±2 將t的值代入(1)式 當t=2時，M點在 M0點的上方，其坐標為（2，3）； 當t=-2時，M點在 M0點的下方，其坐標為（2，3）。點撥：若使用直線的普通方程利用兩點間的距離公式求M點的坐標較麻煩， 而使用直線的參數(shù)方程，充分利用參數(shù)t的幾何意義求M點的坐標較容易。例3：已知直線經(jīng)過點P（1,3）,傾斜角為， (1)求直線與直線

5、：的交點Q與P點的距離| PQ|； (2)求直線和圓16的兩個交點A，B與P點的距離之積；解：(1)直線經(jīng)過點P（1,3）,傾斜角為,直線的標準參數(shù)方程為，即（t為參數(shù)）代入直線： 得 整理，解得t=4+2 t=4+2即為直線與直線的交點Q所對應的參數(shù)值，根據(jù)參數(shù)t的幾何意義可知：|t|=| PQ|,| PQ|=4+2.(2) 把直線的標準參數(shù)方程為（t為參數(shù)）代入圓的方程16，得,整理得：t28t+12=0，=82-4×12>0,設此二次方程的兩個根為t1、t2 則t1t2=12，根據(jù)參數(shù)t的幾何意義，t1、t2 分別為直線和圓16的兩個交點A, B所對應的參數(shù)值，則|t1|

6、=| PA|,|t2|=| PB|,所以| PA|·| PB|=|t1 t2|=12。點撥：利用直線標準參數(shù)方程中的參數(shù)t的幾何意義解決距離問題、距離的乘積（或商）的問題，比使用直線的普通方程，與另一曲線方程聯(lián)立先求得交點坐標再利用兩點間的距離公式簡便。三、巧用t的幾何意義解決直線與圓錐曲線相交的弦長、中點問題ABMP (2,0)y0例4：已知直線過點P（2，0），斜率為，直線 和拋物線相交于A、B兩點，設線段AB的中點為M,求：（1）P、M兩點間的距離|PM|； （2）M點的坐標； （3）線段AB的長|AB|。解：(1)直線過點P（2，0），斜率為,設直線的傾斜角為，= cos =

7、, sin=直線的標準參數(shù)方程為（t為參數(shù)）*因為直線和拋物線相交，將直線的參數(shù)方程代入拋物線方程中，整理得 8t215t500 ， =152+4×8×50>0,設這個二次方程的兩個根為t1、t2，由韋達定理得 t1t2, t1t2 ，由M為線段AB的中點，根據(jù)t的幾何意義，得| PM| ；（2）中點M所對應的參數(shù)為t M=,將此值代入直線的標準參數(shù)方程*，M點的坐標為 即 M（，）（3）|AB|t 2t 1 點撥：利用直線的標準參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義，在解決諸如直線上兩點間的距離、直線上某兩點的中點以及與此相關的一些問題時，比用直線的普通方程來解決顯得比較靈活和簡捷。結論：（1）A、B兩點之間的距離為，特別地，A、B兩點到直線恒過的定點M0()的距離分別為；（2）A、B兩點的中點所對應的參數(shù)為。 高中階段在必修和選修中分別學習了直線的方程和圓錐曲線的內容，它們都是高考的重點內容，若將兩者結合起來，復雜的推理和大量的運算更使學生望而生畏。而在本文中我們通過探究直線方程的另一種形式參數(shù)式，利用 t 的幾何意義，則可以使問題的解決變得簡單有趣了，而且可以讓學生從一個嶄新的角度去認識這些問題，從而激發(fā)學生的學習熱情，拓展學生的思維能力，教師在教學過程中對直線的參數(shù)方程作適當?shù)难a充與滲透，對學生數(shù)學視野的拓展，探索能力的培養(yǎng)