概率練習(xí)及答案

1、第一章 事件與概率1、對(duì)一個(gè)五人學(xué)習(xí)小組考慮生日問題：（1） 求五個(gè)人的生日都在星期日的概率； （2） 求五個(gè)人的生日都不在星期日的概率；（3） 求五個(gè)人的生日不都在星期日的概率.【解】（1） 設(shè)A1=五個(gè)人的生日都在星期日，基本事件總數(shù)為75，有利事件僅1個(gè)，故 P（A1）=（）5 （2） 設(shè)A2=五個(gè)人生日都不在星期日，有利事件數(shù)為65，故P（A2）=()5(3) 設(shè)A3=五個(gè)人的生日不都在星期日P（A3）=1-P(A1)=1-()52、一架升降機(jī)開始時(shí)有6位乘客，并等可能地停于十層樓的每一層.試求下列事件的概率：（1） A=“某指定的一層有兩位乘客離開”；（2） B=“沒有兩位及兩位以上

2、的乘客在同一層離開”；（3） C=“恰有兩位乘客在同一層離開”；（4） D=“至少有兩位乘客在同一層離開”.【解】 由于每位乘客均可在10層樓中的任一層離開，故所有可能結(jié)果為106種.（1） （2） 6個(gè)人在十層中任意六層離開，故（3） 由于沒有規(guī)定在哪一層離開，故可在十層中的任一層離開，有種可能結(jié)果，再從六人中選二人在該層離開，有種離開方式.其余4人中不能再有兩人同時(shí)離開的情況，因此可包含以下三種離開方式：4人中有3個(gè)人在同一層離開，另一人在其余8層中任一層離開，共有種可能結(jié)果；4人同時(shí)離開，有種可能結(jié)果；4個(gè)人都不在同一層離開，有種可能結(jié)果，故（4） D=.故3、兩人約定上午9001000

3、在公園會(huì)面，求一人要等另一人半小時(shí)以上的概率.【解】設(shè)兩人到達(dá)時(shí)刻為x,y,則0x,y60.事件“一人要等另一人半小時(shí)以上”等價(jià)于|x-y|>30.如圖陰影部分所示.4、一個(gè)袋內(nèi)裝有大小相同的7個(gè)球，其中4個(gè)是白球，3個(gè)是黑球，從中一次抽取3個(gè)，計(jì)算至少有兩個(gè)是白球的概率.【解】 設(shè)Ai=恰有i個(gè)白球（i=2,3），顯然A2與A3互斥.故 5、設(shè)A，B，C為三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件發(fā)生的概率.【解】 P（ABC）=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(

4、ABC)=+-=6、對(duì)任意的隨機(jī)事件A，B，C，試證P（AB）+P（AC）-P（BC）P(A).【證】 7、證明：域之交仍為域。證：設(shè)是域，記.(i) 每一，所以，即.(ii) ，則每一，由是域得每一，所以，從而.(iii) ，則諸必屬于每一，由于是域，所以每一，即.是域。第二章 條件概率與統(tǒng)計(jì)獨(dú)立性 1、某地某天下雪的概率為0.3，下雨的概率為0.5，既下雪又下雨的概率為0.1,求：（1） 在下雨條件下下雪的概率；（2） 這天下雨或下雪的概率.【解】 設(shè)A=下雨，B=下雪.（1） （2） 2、甲、乙、丙三人獨(dú)立地向同一飛機(jī)射擊，設(shè)擊中的概率分別是0.4,0.5,0.7，若只有一人擊中，則飛機(jī)

5、被擊落的概率為0.2；若有兩人擊中，則飛機(jī)被擊落的概率為0.6；若三人都擊中，則飛機(jī)一定被擊落，求：飛機(jī)被擊落的概率.【解】設(shè)A=飛機(jī)被擊落，Bi=恰有i人擊中飛機(jī)，i=0,1,2,3由全概率公式，得=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7=0.4583、按以往概率論考試結(jié)果分析，努力學(xué)習(xí)的學(xué)生有90%的可能考

6、試及格，不努力學(xué)習(xí)的學(xué)生有90%的可能考試不及格.據(jù)調(diào)查，學(xué)生中有80%的人是努力學(xué)習(xí)的，試問：（1）考試及格的學(xué)生有多大可能是不努力學(xué)習(xí)的人？（2）考試不及格的學(xué)生有多大可能是努力學(xué)習(xí)的人？【解】設(shè)A=被調(diào)查學(xué)生是努力學(xué)習(xí)的，則=被調(diào)查學(xué)生是不努力學(xué)習(xí)的.由題意知P（A）=0.8，P（）=0.2，又設(shè)B=被調(diào)查學(xué)生考試及格.由題意知P（B|A）=0.9，P（|）=0.9，故由貝葉斯公式知（1） 即考試及格的學(xué)生中不努力學(xué)習(xí)的學(xué)生僅占2.702%(2) 即考試不及格的學(xué)生中努力學(xué)習(xí)的學(xué)生占30.77%.4、設(shè)兩兩相互獨(dú)立的三事件，A，B和C滿足條件：ABC=F，P(A)=P(B)=P(C)&l

7、t; 1/2，且P（ABC）=9/16，求P（A）.【解】由 故或,按題設(shè)P（A）<,故P（A）=.5、已知某種疾病患者的痊愈率為25%，為試驗(yàn)一種新藥是否有效，把它給10個(gè)病人服用，且規(guī)定若10個(gè)病人中至少有四人治好則認(rèn)為這種藥有效，反之則認(rèn)為無效，求：（1） 雖然新藥有效，且把治愈率提高到35%，但通過試驗(yàn)被否定的概率.（2） 新藥完全無效，但通過試驗(yàn)被認(rèn)為有效的概率.【解】（1） (2) 6、證明：若P（AB）=P(A)，則A，B相互獨(dú)立.【證】 即亦即 因此 故A與B相互獨(dú)立.7、證明：若P（A|C）P(B|C), P(A|)P(B|)，則P（A）P(B).【證】由P（A|C）P

8、(B|C),得即有 同理由 得 故 第三章 隨機(jī)變量與分布函數(shù)1、設(shè)在15只同類型零件中有2只為次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽樣，以X表示取出的次品個(gè)數(shù)，求：（1） X的分布律；（2） X的分布函數(shù)并作圖；(3).【解】故X的分布律為X012P（2） 當(dāng)x0時(shí)，F(xiàn)（x）=P（X<x）=0當(dāng)0<x1時(shí)，F(xiàn)（x）=P（X<x）=P(X=0)= 當(dāng)1<x2時(shí)，F(xiàn)（x）=P（X<x）=P(X=0)+P(X=1)=當(dāng)x>2時(shí)，F(xiàn)（x）=P（X<x）=1故X的分布函數(shù)(3) 2、設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X分布函數(shù)為F（x）=（1） 求常數(shù)A，B；（2） 求P

9、X<2，PX3；（3） 求分布密度f（x）.【解】（1）由得（2） (3) 3、設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的分布密度f（x，y）=求：（1） 常數(shù)A；（2） 隨機(jī)變量（X，Y）的分布函數(shù)；（3） P0X<1，0Y<2.【解】（1） 由得 A=12（2） 由定義，有 (3) 4、.設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=求條件概率密度fYX（yx），fXY（xy）. 題4圖【解】 所以 5、設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布.證明：Y=1-e-2X在區(qū)間（0，1）上服從均勻分布. 【證】X的密度函數(shù)為由于P（X>0）=1，故0<1-e-2X<1，即P（0<

10、;Y<1）=1當(dāng)y0時(shí)，F(xiàn)Y（y）=0當(dāng)y1時(shí)，F(xiàn)Y（y）=1當(dāng)0<y<1時(shí)，即Y的密度函數(shù)為即YU（0，1）6、設(shè)X，Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其分布律分別為PX=k=p（k），k=0，1，2，PY=r=q（r），r=0，1，2，.證明隨機(jī)變量Z=X+Y的分布律為PZ=i=，i=0，1，2，.【證明】因X和Y所有可能值都是非負(fù)整數(shù)，所以 于是 第四章 數(shù)字特征與特征函數(shù)1、設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f（x）=求E（X），D（X）.【解】 故 2、設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)=對(duì)X獨(dú)立地重復(fù)觀察4次，用Y表示觀察值大于/3的次數(shù)，求Y2的數(shù)學(xué)期望?！窘狻苛?則.因?yàn)榧?所以,

11、從而3、設(shè)兩個(gè)隨機(jī)變量X，Y相互獨(dú)立，且都服從均值為0，方差為1/2的正態(tài)分布，求隨機(jī)變量|X -Y|的方差. 【解】設(shè)Z=X -Y，由于且X和Y相互獨(dú)立，故ZN（0，1）.因 而 ，所以 .4、試求均勻分布的特征函數(shù)。解：。當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí).5、設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為fX(x)=令Y=X2，F(xiàn)（x,y）為二維隨機(jī)變量（X，Y）的分布函數(shù)，求：(1) Y的概率密度fY(y)；(2) Cov(X,Y);(3). 解： (1) Y的分布函數(shù)為.當(dāng)y0時(shí)， ，；當(dāng)0y1時(shí)，；當(dāng)1y<4時(shí)， ；當(dāng)y4時(shí)，.故Y的概率密度為(2) , , ,故 Cov(X,Y) =.(3) .6、設(shè)二維隨機(jī)變量（X，

12、Y）的概率密度為f（x，y）=試驗(yàn)證X和Y是不相關(guān)的，但X和Y不是相互獨(dú)立的.【解】設(shè). 同理E(Y)=0.而 ,由此得,故X與Y不相關(guān).下面討論獨(dú)立性，當(dāng)|x|1時(shí)， 當(dāng)|y|1時(shí)，.顯然故X和Y不是相互獨(dú)立的.7、對(duì)于任意兩事件A和B，0<P(A)<1，0<P(B)<1,則稱=為事件A和B的相關(guān)系數(shù).試證：（1） 事件A和B獨(dú)立的充分必要條件是=0；（2） |1. 【證】（1）由的定義知，=0當(dāng)且僅當(dāng)P(AB) -P(A)·P(B)=0.而這恰好是兩事件A、B獨(dú)立的定義，即=0是A和B獨(dú)立的充分必要條件.(2) 引入隨機(jī)變量X與Y為 由條件知，X和Y都服從

13、0 -1分布，即 從而有E(X)=P(A),E(Y)=P(B),D(X)=P(A)·P(),D(Y)=P(B)·P(),Cov(X,Y)=P(AB) -P(A)·P(B)所以，事件A和B的相關(guān)系數(shù)就是隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù).于是由二元隨機(jī)變量相關(guān)系數(shù)的基本性質(zhì)可得|1.第五章 極限定理1、設(shè)隨機(jī)變量X和Y的數(shù)學(xué)期望是2, 方差分別為1和4, 而相關(guān)系數(shù)為0.5, 試用切比雪夫不等式估計(jì)概率P(|XY| ³ 6).解. E(XY) = E(X)E(Y) = 22 = 0 D(XY) = D(X) + D(Y)= 1 + 42×0.5×

14、1×2 = 3所以 .2、某廠有400臺(tái)同型機(jī)器, 各臺(tái)機(jī)器發(fā)生故障的概率均為0,02, 假如各臺(tái)機(jī)器相互獨(dú)立工作, 試求機(jī)器出現(xiàn)故障的臺(tái)數(shù)不少于2臺(tái)的概率.解. 假設(shè)X表示400臺(tái)機(jī)器中發(fā)生故障的臺(tái)數(shù), 所以XB(400, 0.02)由棣莫佛拉普拉斯定理: 所以 » 1F(2.5) = F(2.5) = 0.9938.3、設(shè)供電網(wǎng)中有10000盞燈, 夜晚每一盞燈開著的概率都是0.7, 假設(shè)各燈開、關(guān)時(shí)間彼此無關(guān), 計(jì)算同時(shí)開著的燈數(shù)在6800與7200之間的概率.解. 假設(shè)X表示10000盞燈中開著的燈數(shù), 所以XB(10000, 0.7)由棣莫佛拉普拉斯定理: 所以 » F(4.36)F(4.36) = 2F(4.36)1 = 2×0.9999931 = 0.999.4、在一定保險(xiǎn)公司里有10000人參加保險(xiǎn)，每人每年付12元保險(xiǎn)費(fèi)，在一年內(nèi)一個(gè)人死亡的概率為0.006,死亡者其家屬可向保險(xiǎn)公司領(lǐng)得1000元賠償費(fèi).求：（1） 保險(xiǎn)公司沒有利潤的概率為多大；（2） 保險(xiǎn)公司一年的利潤不少于60000元的概率為多大？【解】設(shè)X為在一年中參加保險(xiǎn)者的死亡人數(shù)，則XB（10000，0.006）.(1) 公司沒有利潤當(dāng)且僅當(dāng)“1000X=10000×12”即“X