知識(shí)點(diǎn)-立體幾何知識(shí)點(diǎn)常見(jiàn)結(jié)論總結(jié)

1、立體幾何高考知識(shí)點(diǎn)和解題思想?yún)R總補(bǔ)充：三角形內(nèi)心、外心、重心、垂心知識(shí)四心的概念介紹：（1）重心中線的交點(diǎn)：重心將中線長(zhǎng)度分成2：1；（2）垂心高線的交點(diǎn)：高線與對(duì)應(yīng)邊垂直；（3）內(nèi)心角平分線的交點(diǎn)（內(nèi)切圓的圓心）：角平分線上的任意點(diǎn)到角兩邊的距離相等；（4）外心中垂線的交點(diǎn)（外接圓的圓心）：外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等。F垂心重心內(nèi)心外心若為所在平面外一點(diǎn), 是點(diǎn)在 內(nèi)的射影，則：若或、與 所成角均相等, 則為的外心；若到的三邊的距離相等, 則為ABC的內(nèi)心；若、兩兩互相垂直, 或則為的垂心常見(jiàn)空間幾何體定義：1 棱柱：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相

2、平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱，這兩個(gè)面為底面，其他面為側(cè)面。棱柱具有下列性質(zhì)：1）棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，所有的側(cè)棱都平行且相等； 2）棱柱的兩個(gè)底面與平行于底面的截面是對(duì)應(yīng)邊互相平行的全等多邊形。3）直棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)與高相等；直棱柱的側(cè)面及經(jīng)過(guò)不相鄰的兩條側(cè)棱的截面都是矩形。棱柱的分類(lèi)：斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱。直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱。直棱柱的各個(gè)側(cè)面都是矩形；正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱。正棱柱的各個(gè)側(cè)面都是全等的矩形。平行六面體:底面是平行四邊形的棱柱。直平行六面體：側(cè)棱垂直于底面的平行六面體叫直平行六面體。長(zhǎng)方體：底面是矩形的直棱

3、柱叫做長(zhǎng)方體2 棱錐：有一個(gè)面是多邊形 ，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐(1) 如果一個(gè)棱錐的底面是正多邊形，且頂點(diǎn)與底面中心的連線垂直于底面，這樣的棱錐稱(chēng)為正棱錐正棱錐具有性質(zhì)：正棱錐的頂點(diǎn)和底面中心的連線即為高線；正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形，這些等腰三角形底邊上的高都相等，叫做這個(gè)正棱錐的斜高(2) 底邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都相等的三棱錐叫做正四面體(3) 依次連結(jié)不共面的四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形叫做空間四邊形常見(jiàn)幾何題表面積、體積公式1旋轉(zhuǎn)體的表面積 (1) 圓柱的表面積S 22 ( 其中r 為底面半徑，l 為母線長(zhǎng)) (2) 圓錐的表面積S （其中r 為底面半徑，

4、l 為母線長(zhǎng)) (4) 球的表面積公式S ( 其中R 為球半徑) 2幾何體的體積公式 (1)柱體的體積公式VSh(其中S為底面面積，h為高) (2)錐體的體積公式VSh(其中S為底面面積，h為高)(3)球的體積公式V(其中R為球半徑)三棱錐外接球問(wèn)題： 一、正四面體：如圖1，正四面體ABCD的邊長(zhǎng)為a，高為h ，其外接球與內(nèi)切球球心重合，且有關(guān)系：，有外接圓球半徑為：，內(nèi)切圓的球半徑為：，比例為3:1。 答案：C二、出現(xiàn)“墻角”結(jié)構(gòu)利用補(bǔ)形知識(shí)，聯(lián)系長(zhǎng)方體?！驹怼浚洪L(zhǎng)方體中從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱長(zhǎng)分別為，則體對(duì)角線長(zhǎng)為，幾何體的外接球直徑為體對(duì)角線長(zhǎng) 即【例題】：在四面體中，共頂點(diǎn)的三條棱兩

5、兩垂直，其長(zhǎng)度分別為，若該四面體的四個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，求這個(gè)球的表面積。解：因?yàn)椋洪L(zhǎng)方體外接球的直徑為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)，所以：四面體外接球的直徑為的長(zhǎng)即： ， 所以，球的表面積為2、 出現(xiàn)兩個(gè)垂直關(guān)系，利用直角三角形結(jié)論。【原理】：直角三角形斜邊中線等于斜邊一半。球心為直角三角形斜邊中點(diǎn)?！纠}】：已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，且，,求球的體積。解：且，, 因?yàn)?所以知所以 所以可得圖形為：在中斜邊為在中斜邊為取斜邊的中點(diǎn)，在中在中所以在幾何體中，即為該四面體的外接球的球心 所以該外接球的體積為【總結(jié)】斜邊一般為四面體中除了直角頂點(diǎn)以外的兩個(gè)點(diǎn)連線。立體幾何總結(jié)： 1、多邊形內(nèi)角和：

6、(n-2)*1802、30°直角三角形，邊比例1:2：根33、30°30°120°三角形邊比例1:1：根34、45°直角三角形邊比例1:1：根25、多面體的體積為V，表面積為S，則有內(nèi)切球的半徑為第一節(jié) 平面、空間直線圖9-2-1（3）、求異面直線所成角的方法：遵循“先作角，再求角”的原則，用平移轉(zhuǎn)化法放到三角形中去求，用好正、余弦定理常用的平移方法有：直接平移法；中位線平移法（涉及中點(diǎn)時(shí)常用）；補(bǔ)形法第二節(jié) 空間直線與平面核心知識(shí)點(diǎn)2、線面平行的判定和性質(zhì)（2）線面平行的判定（用來(lái)證明直線與平面平行的方法）：（判定定理）如果平面外一直線與平面

7、內(nèi)一直線平行，則直線與平面平行，下面的這些定理或推論也是證明線面平行的常用方法：如果平面外的兩條平行直線中有一條和平面平行，則另一條也和平面平行如果兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線都平行于另外一個(gè)平面如果直線垂直于平面，平面外的直線與直線垂直，則直線平行于平面若平面和外的一直線都垂直于同一個(gè)平面，則直線平行于平面圖9-2-2（3）線面平行的性質(zhì)定理：(如圖9-2-2)如果直線與平面平行，過(guò)直線的平面與面相交，則交線與直線平行3、線面垂直的判定和性質(zhì)：（1）定義：如果一條直線與平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，則這條直線和這個(gè)平面垂直。（2）線面垂直的判定（證明直線與平面垂直的方法）（判定

8、定理1）如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則這條直線與這個(gè)平面垂直。（判定定理2）如果兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面。（面面平行的性質(zhì)定理）如果一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，則這條直線垂直于另一個(gè)平面。 （面面垂直的性質(zhì)定理）如果兩個(gè)平面垂直，則在其中一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面。如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三個(gè)平面，則交線也垂直于第三個(gè)平面（3） 線面垂直的性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，則這兩條直線平行4、線面角（1）如果平面外的直線與平面不平行也不垂直，則稱(chēng)直線為平面的斜線，設(shè)，在上任取一點(diǎn)（不與斜足重合），過(guò)作面的垂

9、線，垂足為，則垂足與斜足的連線叫做斜線在平面上的射影，與其射影的夾角叫做與面所成的角。規(guī)定：當(dāng)或時(shí)，時(shí)，于是線面角的范圍是5、三垂線定理：一條直線，如果和穿過(guò)這個(gè)平面的一條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直6、三垂線逆定理：一直線，如果和穿過(guò)這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直7、方法總結(jié)：下面的幾個(gè)結(jié)論是找垂足的有力工具： （1）若為所在平面外一點(diǎn), 是點(diǎn)在 內(nèi)的射影，則：若或、與 所成角均相等, 則為的外心；若到的三邊的距離相等, 則為ABC的內(nèi)心；若、兩兩互相垂直, 或則為的垂心（2） 面面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面垂直，則在一個(gè)平面內(nèi)垂直于

10、交線的直線垂直于另一個(gè)平面。第三節(jié) 空間平面與平面核心知識(shí)點(diǎn)：1、 面面平行的判定和性質(zhì)（1）面面平行的判定：（判定定理）如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行；（線面平行面面平行）垂直于同一直線的兩平面平行；（線面垂直面面平行）（面面平行的傳遞性）如果兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行；（2）面面平行的性質(zhì)若兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都平行于另一個(gè)平面；（面面平行線面平行）若兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，則兩交線平行；（面面平行線線平行）若一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)，則該直線也和另一個(gè)平面垂直； 夾在兩平行平面間的平行線段

11、相等；經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面與已知平面平行2、 兩個(gè)平行平面間的距離：如果直線與兩平行平面都垂直，垂足分別為，則稱(chēng)線段的長(zhǎng)為兩平行平面間的距離3、二面角的定義及表示方法：（1）定義：平面內(nèi)的一條直線把這個(gè)平面分成兩部分，其中的每一部分都叫做半平面，從一條直線發(fā)出的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面；（2）表示方法：棱為（或），面為的二面角記為（或）4、二面角的平面角在二面角的棱上任取一點(diǎn)，過(guò)該點(diǎn)分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作垂直于棱的兩條射線，兩射線所成的角叫做二面角的平面角（范圍：）5、面垂直的判定和性質(zhì)（1）面面垂直的判定：（定義法）兩個(gè)平面

12、相交，如果它們所成的二面角是直二面角，則稱(chēng)這兩個(gè)平面垂直（即求證二面角的平面角是直角）（判定定理）如果平面經(jīng)過(guò)了平面的一條垂線，則；（線面垂直面面垂直）（2）面面垂直的性質(zhì)：如果兩個(gè)平面垂直，則在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面；（面面垂直線面垂直）若兩平面垂直，則經(jīng)過(guò)第一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)且垂直于第二個(gè)平面的直線在第一個(gè)平面內(nèi)方法總結(jié)（1）熟記面面平行和垂直的判定和性質(zhì)的相關(guān)定理，能快速明確題目解體思路，比如，要證面面平行，則只需去其中一個(gè)平面內(nèi)找到兩相交的直線與另一平面都平行即可；又如，證面面垂直，則只需在其中一個(gè)平面內(nèi)去找到一條直線與另一平面垂直即可，解題過(guò)程中應(yīng)注意轉(zhuǎn)化的思想；（2

13、）有關(guān)面面平行和垂直的相關(guān)的定理之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，要結(jié)合上節(jié)的知識(shí)；（3）與面面距離相關(guān)的問(wèn)題：二面角的平面角的作法及求法將在第四、五節(jié)中系統(tǒng)地講解第四節(jié) 空間角核心知識(shí)點(diǎn)：高考中立體幾何題的計(jì)算常涉及“求角”、“求距離”、“求面積或體積”三類(lèi)問(wèn)題，其中“求角”問(wèn)題幾乎年年涉及，求角問(wèn)題包括異面直線所成的角，線面角及二面角的平面角三種空間角的概念及范圍（1）異面直線所成的角：過(guò)空間任一點(diǎn)分別引兩異面直線的平行線，則此兩相交直線所成的銳角（或直角）叫做兩異面直線所成的角異面直線所成角的范圍 （2）直線與平面所成的角：當(dāng)或時(shí)，與所成的角為；當(dāng)時(shí)， 與所成的角為；當(dāng)與斜交時(shí)，與所成的角是指與在面上的射

14、影所成的銳角線面角的范圍： （3）二面角的平面角須具有以下三個(gè)特點(diǎn)：頂點(diǎn)在棱上；角的兩邊分別在兩個(gè)半平面內(nèi)；角的兩邊與棱都垂直二面角的范圍： 方法總結(jié)：1、求異面直線所成角的方法：主要通過(guò)平移轉(zhuǎn)化法來(lái)作出異面直線所成的角，然后利用三角形的邊角關(guān)系（正、余弦定理）求角的大小，要注意角的范圍2、求線面角的一般過(guò)程是：（1）在斜線上找到一個(gè)合適的點(diǎn)，過(guò)作面的垂線（注意垂足的確定），垂足和斜足的連線即為斜線在平面上的射影，則即為所求；（2）將放到或其它包含此角的三角形中去求說(shuō)明：在解題過(guò)程中，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)求角問(wèn)題難在作角，其中又難在過(guò)平面外一點(diǎn)，作平面的垂線后，垂足位置的確定復(fù)習(xí)過(guò)程中應(yīng)注意對(duì)常用的找垂

15、足的方法進(jìn)行歸納總結(jié) 上面的（2）及下面的幾個(gè)結(jié)論是找垂足的有力工具： （1）若為所在平面 外一點(diǎn), 是點(diǎn)在 內(nèi)的射影，則：若或、與 所成角均相等, 則為的外心；若到的三邊的距離相等, 則為ABC的內(nèi)心；若、兩兩互相垂直, 或則為的垂心（2）面面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面垂直，則在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面；第五節(jié) 空間距離核心知識(shí)點(diǎn)點(diǎn)線距、點(diǎn)面距、線面距、面面距、兩異面直線之間的距離是高考中常見(jiàn)求距離的問(wèn)題常見(jiàn)的空間距離的求法：（1）求點(diǎn)到直線的距離利用三垂線定理找到垂線段，垂線段就是所求；（2）點(diǎn)到平面的距離的求解方法一般有兩種：直接求解法：從該點(diǎn)向平面引垂線，確定垂足位

16、置，這里要用到兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理，求出點(diǎn)和垂足之間的距離即可“體積代換法”：把點(diǎn)到平面的距離轉(zhuǎn)化為以該點(diǎn)為頂點(diǎn)，平面內(nèi)的一個(gè)三角形為底面的三棱錐的高，再通過(guò)變換（從方便求高的角度）三棱錐頂點(diǎn)用等體積法，求點(diǎn)到平面的距離這種方法比較常用，應(yīng)掌握（3）直線到它的平行平面的距離通常轉(zhuǎn)化為直線上一個(gè)特殊點(diǎn)到平面的距離，要找到直線和它的平行平面的公垂面，直線和公垂面的垂足就是這個(gè)特殊點(diǎn)，從這點(diǎn)向公垂面和已知平面的交線引垂線段，該垂線段就是直線到它的平行平面的距離，還可以用等體積法求特殊點(diǎn)到平面的距離（4）兩個(gè)平行平面的距離求解時(shí)，在一個(gè)面內(nèi)任取一點(diǎn)，作它到另一平面的垂線段，垂線段的長(zhǎng)就是所求實(shí)質(zhì)上也是點(diǎn)到平面的距離因此，點(diǎn)面距離的求解方法,對(duì)求解面到面的距離仍然適用(5)兩條異面直線間的距離要注意定義中“都垂直且相交”的理解兩條異面直線的距離是分別連結(jié)兩條異面直線上兩點(diǎn)的線段中最段的一條.求解方法主要是定義法:找出兩異面直線的公垂線段,求出其長(zhǎng)度 (6)兩點(diǎn)之間的球面距離求